上海市南汇中学2022届高三数学下学期期中试题（Word版附解析）

上海市南汇中学2021-2022学年高三下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.设是虚数单位，是实数，若是实数，则__．【答案】1【解析】【分析】根据复数的标准式，结合复数的乘法，建立方程，可得答案.【详解】因为是实数，所以，所以．故答案为：.2.若，则=_________．【答案】【解析】【详解】试题分析：∵，∴，∴，故答案为.考点：诱导公式；二倍角的余弦.3.函数的定义域是_________．【答案】【解析】【分析】由对数函数的定义知，其真数大于0，解得﹣1＞0即可.【详解】∵﹣1＞0，∴0＜x＜1，∴函数y＝lg（﹣1）的定义域：{x|0＜x＜1}．故答案为（0，1）．【点睛】本题考查了对数函数的定义域，属于基础题．4.幂函数的图象过点，则的值__．【答案】16【解析】【分析】 根据幂函数的定义，利用待定系数法，求得函数解析式，柑橘反函数的定义，代指可得答案.【详解】设，由题意得，所以，所以，令，得，所以．故答案为：.5.设满足约束条件，则的最大值为__．【答案】4【解析】【分析】根据可行域结合几何意义求最值.【详解】作出可行域如下，由可得，当直线过点时，最小，则最大，此时.故答案为:4.6.已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是______【答案】【解析】【分析】先求圆锥的底面圆的周长，就是展开图的扇形的弧长，求出圆锥的母线长，再求其高，可求体积．【详解】由题意扇形的弧长为：6π，圆锥的底面周长为：6π，所以圆锥母线长为9， 又底面半径为：3，圆锥的高为，所求体积Vπ×（3）2×618．故答案为18．【点睛】本题考查圆锥的体积，考查学生空间想象能力，计算能力，是基础题．7.若展开式的第3项为288，则________【答案】2【解析】【分析】先由展开式的第3项为，求出x．再由无穷递减等比数列的极限公式求出的值．【详解】36，解得x，∴=故答案为：2.8.一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌花色各不相同的概率为_____．【答案】【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从52张牌中抽取3张，共有种结果，满足条件的事件是抽出的3张牌花色各不相同，首先需要选出3个花色，而每一个花色又有13种不同的选法，计算可得到结果．【详解】试验发生包含的事件是从52张牌中抽取3张，共有种结果，满足条件的事件是抽出的3张牌花色各不相同，共有种结果， 所以抽出的3张牌花色各不相同的概率为．故答案为：9.函数的部分图象如图所示，则____.【答案】6【解析】【详解】试题分析：由图可知，，∴.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现分别是函数轴右侧的第一个零点和函数值为的点，即可求得的坐标，进而求得向量的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.10.已知函数，若存在实数、（），使得，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】首先令，转化为，根据，可知转化为和的交点个数求参数的取值范围. 详解】当，即即，转化为与有两个交点，如图，由图象可知当时图象有两个交点.故答案为.【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数取值范围，意在考查数形结合分析问题的能力，一般判断函数零点个数或是根据零点个数求参数取值范围，都可以转化成两个函数的交点个数.11.已知定点，动点在圆上，点关于直线的对称点为，向量是坐标原点，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【详解】令,而点关于直线的对称点为，所以,;而,所以;而,所以;所以,=;而动点在圆上,所以,所以,即,所以的取值范围是.故答案为.12.已知数列满足：，，记数列的前项 和为，若对所有满足条件的列数，的最大值为，最小值为，则________.【答案】1078【解析】【分析】根据数列的递推关系式，求出数列的前几项的最大值和最小值，进而结合计算规律和等差、等比数列的求和公式，求得的最大值和最小值，即可求解.【详解】由题意，数列满足：，，由，可得；由，可得或；由，可得或；或；或；由，可得或或；或或；或或或或；或或或或或；综上可得的最大值，最小值为，所以.故答案为：【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.已知、都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】时，一定有，充分性成立，当时，满足，但不成立，则必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A．14.以下能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据矩阵运算，整理直线方程，结合直线法向量的概念，可得答案.【详解】直线方程为，一个法向量是，故选：B．15.某科研所共有职工人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是年龄3839404142人数532A.年龄数据的中位数是，众数是 B.年龄数据的中位数和众数一定相等C.年龄数据的平均数D.年龄数据的平均数一定大于中位数【答案】C【解析】【详解】由表可知，解得，所以，选.16.已知平面直角坐标系中两个定点，，如果对于常数，在函数，的图像上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】画出函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围．【详解】函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4，（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2．∴（3﹣x，6+2x），（﹣3﹣x，6+2x）．∴x2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27=，∵x∈[﹣4，﹣2]，∴λ≤11．∴当λ或时有一解，当λ≤-1时有两解； （2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2．∴（3﹣x，2），（﹣3﹣x，2）．∴x2﹣9+4＝x2﹣5，∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解；（3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4．（3﹣x，6﹣2x），（﹣3﹣x，6﹣2x），∴x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27，∵2＜x≤4，∴λ≤11．∴当λ或时有一解，当λ<-1时有两解；综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是λ＜﹣1．故选C．【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，二次函数的根的个数判断，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，在直三棱柱中，，，，､､分别是､､的中点． （1）求异面直线与所成角的大小；（2）求点到平面之间距离．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设的中点为．连接．证明或其补角即为异面直线与所成的角．连接．在中．可求异面直线与所成角的大小；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量．即可求点到平面之间的距离．【详解】（1）设的中点为．连接．则且，或其补角即为异面直线与所成的角．连接，在中，．异面直线与所成角的大小为：．（2）在直三棱柱中，．故以点为坐标原点， 分别以所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系．则，，．，．设平面的一个法向量为，则．令，则，平面的一个法向量为．又，故点到平面之间的距离．【点睛】本题主要考查了异面直线的夹角以及利用空间向量求解点到面的距离问题，解题关键是掌握向量法求点到面距离的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．18.已知函数的定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质.（1）已知函数，判断是否具有性质，并说明理由； （2）求证：任取，函数，具有性质.【答案】（1）具有性质；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据新定义可知，即，代入求即可进行判断；（2）根据条件验证时的取值范围即可；【详解】解：（1）当时，设，，令，则，解得，，故具有性质；（2）证明：任取，，令，则，因为，解得，又，所以，当，时，，即，即任取实数，都具有性质．19.东西向的铁路上有两个道口、,铁路两侧的公路分布如图,位于的南偏西,且位于的南偏东方向,位于的正北方向,,处一辆救护车欲通过道口前往处的医院送病人,发现北偏东方向的处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要分钟,救护车和火车的速度均为.（1）判断救护车通过道口是否会受火车影响,并说明理由;（2）为了尽快将病人送到医院,救护车应选择、中的哪个道口？通过计算说明.【答案】（1）救护车通过会受影响，详见解析（2）选择过道，详见解析【解析】 【分析】（1）因为位于的南偏西,在北偏东方向上,在中,,,根据正弦定理求得,求得救护车到达处需要时间,结合已知,即可求得答案;（2）分别求出选择道口共需要花费时间和选择道口共需要花费时间,即可求得答案.【详解】（1）位于的南偏西,在北偏东方向上在中,,正弦定理可得:解得:.救护车和火车的速度均为救护车到达处需要时间:,又火车到达处需要时间:,火车影响道口时间为,救护车通过会受影响.（2）若选择道口:一共需要花费时间为:若选择道口:通过道口不受火车影响,一共需要花费时间为:由余弦定理求长: .选择过道.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在实际中的应用,解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20.已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2），（3）存在，或【解析】【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则可求；（2）设，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求得的坐标；（3）设，，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结合，得，再由直线的方程：，得纵坐标，由直线的方程： ，得的纵坐标，结合根与系数的关系，得，解得值，从而得到直线方程．【小问1详解】解：依题意，，当轴时，将代入，解得，则，，所以；【小问2详解】解：设，，，，所以，，又在椭圆上，满足，即，，解得，即．所以直线，联立，解得或，所以；【小问3详解】设，，，，直线，则，．联立，得． 则，．由直线的方程：，得纵坐标；由直线的方程：，得的纵坐标．若，即，，，，代入根与系数的关系，得，解得．存在直线或满足题意．点睛】方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法：（1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离；（2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半.21.已知数列{an}的各项均为整数，其前n项和为Sn．规定：若数列{an}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{an}为“r关联数列”．（1）若数列{an}为“6关联数列”，求数列{an}通项公式；（2）在（1）的条件下，求出Sn，并证明：对任意n∈N*，anSn≥a6S6；（3）已知数列{an}为“r关联数列”，且a1=﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+ak﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（或）（2）见解析；（3）存在或或或．【解析】【详解】试题分析：（1）若数列{an}为“6关联数列”，{an}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，可得a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1，即可求数列{an}的通项公式；（2）由（1）得（或，可见数列{anSn}的最小项为a6S6=﹣6，即可证明：对任意n∈N*，anSn≥a6S6；（3），分类讨论，求出所有的k，m值．解：（1）∵数列{an}为“6关联数列”，∴{an}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1=﹣3∴（或）（2）由（1）得（或） ，{Sn}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{anSn}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，可见数列{anSn}的最小项为a6S6=﹣6，证明：，列举法知当n≤5时，（anSn）min=a5S5=﹣5；当n≥6时，，设t=2n﹣5，则．（3）数列{an}为“r关联数列”，且a1=﹣10，∵∴①当k＜m≤12时，由得（k+m）（k﹣m）=21（k﹣m）k+m=21，k，m≤12，m＞k，∴或．②当m＞k＞12时，由2k﹣11﹣56=2m﹣11﹣56得m=k，不存在③当k≤12，m＞12时，由，2m﹣10=k2﹣21k+112当k=1时，2m﹣10=92，m∉N*；当k=2时，2m﹣10=74，m∉N*；当k=3时，2m﹣10=58，m∉N*；当k=4时，2m﹣10=44，m∉N*；当k=5时，2m﹣10=25，m=15∈N*；当k=6时，2m﹣10=22，m∉N*；当k=7时，2m﹣10=14，m∉N*；当k=8时，2m﹣10=23，m=13∈N*；当k=9时，2m﹣10=22，m=12舍去；当k=10时，2m﹣10=2，m=11舍去当k=11时，2m﹣10=2，m=11舍去；当k=12时，2m﹣10=22，m=12舍去综上所述，∴存在或或或．考点：数列的应用．