上海市复旦中学2021-2022学年高三数学下学期期中试题（Word版附解析）

上海市复旦中学2021-2022学年高三下期中数学试卷一､填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知全集，集合，则_________.【答案】【解析】【分析】先求得集合，再根据集合补集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，根据集合的补集的概念及运算，可得.故答案为：.2.已知向量，，若，则________.【答案】2【解析】【分析】根据得到，从而得到的值.【详解】因为向量，，且，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，同角三角函数关系，属于简单题.3.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则______．【答案】-14 【解析】【分析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得解得：．故答案为．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.4.二项式展开式的各项系数的和为____________【答案】81【解析】【分析】由二项式各项系数和性质，令即得解【详解】由题意，令，可得二项式展开式的各项系数的和为故答案为：815.若满足，则目标函数的最大值是________．【答案】；【解析】【详解】画出可行域,如下图阴影部分,其中令，则,为经过坐标原点得到直线,将此直线向右上方平移,当经过点时,有最大值3. 6.直线倾斜角是______.（用反三角表示）【答案】【解析】【分析】将直线的参数方程整理为直线的一般方程,进而得到倾斜角【详解】由题,可得,设倾斜角为,,【点睛】本题考查直线的参数方程与一般方程的转化,考查反三角函数求角7.已知幂函数过点，则的反函数为____【答案】（）【解析】【分析】先根据幂函数通过的点求出该幂函数，再求它的反函数即得．【详解】设幂函数（为常数），由题得，解得，故.由可得，把x与y互换可得，得的反函数为.【点睛】本题考查求幂函数的解析式进而求其反函数，属于基础题．8.设等差数列的公差为，前项和为，则__________.【答案】【解析】【分析】由等差数列性质表示出，再结合极限定义求解即可【详解】设数列首项为，则，，则 故答案为：【点睛】本题考查数列极限的求法，等差数列性质的应用，属于基础题9.一颗标有数字的骰子连续郑两次，朝上的点数依次记为，使得复数为实数的概率是___________.【答案】【解析】【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有种结果，满足条件的事件是使复数为实数，进行复数的乘法运算，得到的结果，列举出所有情况，得到概率．【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有种结果，满足条件的事件是使复数为实数，，要使是一个实数，有，，，或，因为，，所以有，；，；，，共有3种结果，由古典概型得到概率，故答案为：．10.已知是球表面上的点，平面，，，，则球的表面积为__________.【答案】【解析】 【分析】可将几何体还原，分析可知求解的是长方体外接球的表面积【详解】如图，将几何体还原成长方体，则长方体外接球的半径，则球体的表面积为：故答案为：【点睛】本题考查几何体外接球的表面积求法，能根据题意还原出几何体是关键，属于基础题11.设抛物线的焦点为，点在抛物线上，线段的延长线与直线交于点，则的值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得为,准线方程为,过点作垂直于准线,垂足为,准线与轴的交点为,可得∽,进而得到,化简即为所求【详解】由题可得,为,准线方程为,过点作垂直于准线,垂足为,准线与轴的交点为,则由抛物线的定义得, ,,且易得∽,,即,两边同时除以故答案为2【点睛】本题考查抛物线的定义,标准方程,考查抛物线的性质的应用,考查数形结合12.已知数列通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，对任意恒成立，则实数的取值范围是_____;【答案】.【解析】【详解】试题分析：数列是取和中的最大值，据题意是数列的最小项，由于函数是减函数，函数是增函数，所以或，即或，解得或，所以．考点：分段函数与数列的通项公式，数列的最小项问题．二､选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.已知无穷等比数列的首项为1，公比为，则各项的和为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由无穷递减等比数列的各项的和为，可求出答案.【详解】无穷等比数列的首项为1，公比为所以各项和为故选：D14.一组统计数据与一组统计数据相比较是A.标准差相同B.中位数相同C.平均数相同D.以上都不同【答案】D【解析】【分析】根据数据，，，，的平均数、方差、标准差和中位数，写出数据，，，，的平均数、方差、标准差和中位数即可．【详解】设数据，，，，的平均数为，方差为，标准差为，中位数为；则数据，，，，的平均数为，方差为，标准差为，中位数为；它们的平均数不相同，标准差不同，中位数也不同．故选：D．【点睛】本题考查数据的平均数、方差、标准差和中位数的应用问题，考查数据处理能力，属于基础题．15.在中，若，则是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状.【详解】由正弦定理，即，因为，，，所以，所以是等边三角形.故选：B【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，从而判断三角形的形状，属基础题.16.对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①；②；③；④．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A.①②③B.②③C.①③D.②③④【答案】B【解析】【详解】①函数的周期是4,正弦函数的性质我们易得,为函数的一个“可等域区间”,同时当时也是函数的一个“可等域区间”,不满足唯一性.②当时,,满足条件,且由二次函数的性质可知,满足条件的集合只有一个.③为函数的“可等域区间”, 当时,,函数单调递增,,满足条件,,n取值唯一.故满足条件.④单调递增,且函数的定义域为,若存在“可等域区间”,则满足,即,,n是方程的两个根,设,,当时,,此时函数单调递增,不可能存在两个解,故不存在“可等域区间”.所以B选项是正确的.三､解答题（本大题共5题，满分76分）17.设在直三棱柱中，，，依次为 的中点.（1）求异面直线所成角的大小（用反三角函数表示）（2）求点到平面的距离.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由于几何体比较规则，优先考虑建系法，以A为原点建立空间直角坐标系（1）分别表示出向量，利用夹角公式即可求解；（2）求出平面的法向量，再表示出，利用点到直线距离的向量公式即可求解详解】（1）如图所示，以点为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，，，，则；（2），，设平面的法向量为，则有，令，解得，则， ，点到平面的距离为【点睛】本题考查异面直线夹角的求法，点到平面距离公式，属于中档题18.已知函数（，）是上的偶函数，其图像关于点对称.（1）求的值；（2），求的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据函数是偶函数可先求得，再将对称点代入可求得关于的通式，结合即可求得具体值；（2）结合函数表达式，由求得的范围，再结合函数图像即可求得函数值域，进而求解；【详解】是上的偶函数，，又，，，又图像关于点对称，，化简得，又，所以；（2），由，，【点睛】本题考查由三角函数的性质求解具体参数，在给定区间内求余弦型三角函数的最值，属于中档题 19.治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．（1）写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；（2）设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．【答案】（1）（2）有效，理由见详解【解析】【分析】（1）分别求出当时和时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式；（2）先根据，利用作差法，可证明数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势【小问1详解】设治理年后，S市的年垃圾排放量构成数列.当时，是首项为，公差为的等差数列，所以；当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为【小问2详解】设为数列的前项和， 则．由于由（1）知，时，，所以为递减数列，时，，所以为递减数列，且，所以为递减数列，于是因此，所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的20.已知椭圆长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线过点，且与椭圆相交于另一点.（1）求椭圆的方程；（2）若线段长为，求直线的倾斜角；（3）点在线段的垂直平分线上，且，求的值. 【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】【分析】（1）由椭圆长轴长为短轴长的两倍，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，列出方程组求出，，即可求椭圆的方程；（2）直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求得结论．（3）设直线的方程为，由，得，由此根据和两种情况分类讨论经，能求出结果．【详解】解：（1）椭圆长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，，解得，．所以椭圆的方程为．（2）由（1）可知点的坐标是．设点的坐标为，，直线的斜率为，则直线的方程为．代入椭圆方程，消去并整理，得．由，得．从而．所以． 由，得．整理得，即，解得．所以直线的倾斜角或．（3）由（1）可知．设点的坐标为，，直线的斜率为，则直线的方程为，于是，两点的坐标满足方程组，由方程组消去并整理，得，由，得，从而，设线段是中点为，则的坐标为，，以下分两种情况：①当时，点的坐标为．线段的垂直平分线为轴，于是，，由，得；②当时，线段的垂直平分线方程为，令，解得，由，，，，整理得，故，解得．综上或．【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆与直线位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查整体思想、分类讨论思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，属于中档题．21.若定义在上的函数满足：对于任意实数、，总有恒成立.我们称为“类余弦型”函数.（1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值.（2）在（1）的条件下，定义数列求的值.（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，证明：函数为偶函数；设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）；；（2）2037171；（3）证明见解析，.【解析】【分析】（1）先令，，解出，然后再令解出；（2）由题意可以推出是以为首项，公比为的等比数列，然后得出数列的通项公式，再利用对数的运算法则求的值；（3）先令，得出，然后令，得可证明为偶函数；由时，，则，即，令(为正整数)，有，由此可递推得到对于任意为正整数，总有成立，即有时，成立，可设，，其中是非负整数，都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论即可得到大小.【详解】解：（1）令，，得，∴； 再令，得，∴，∴.（2）由题意可知，令，，得，∴∴.∴是以3为首项，以2为公比的等比数列.因此，故有所以（3）令，，，又∵，∴令，，∴，即.∴对任意的实数总成立，∴为偶函数.结论：.证明：设，∵时，，∴，即.∴令，故，总有成立. ∴对于，总有成立.∴对于，若，则有成立.∵，所以可设，，其中，是非负整数，，都是正整数，则，，令，，，则.∵，∴，∴，即.∵函数为偶函数，∴，.∴.【点睛】本题考查新定义函数问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，考查函数的基本性质在解题中的应用，属于难题.