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上海市嘉定区第二中学2021-2022学年高三数学下学期模拟试题(Word版附解析)
上海市嘉定区第二中学2021-2022学年高三数学下学期模拟试题(Word版附解析)
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2021学年第二学期高三年级模拟练习数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合,,则______.【答案】【解析】【分析】利用交集定义直接求解.【详解】解:集合,,.故答案为:.2.不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】将分式不等式化为整式不等式,利用二次不等式的求解方法,即可求得结果.【详解】.故答案为:【点睛】本题考查了分式不等式的解法,一元二次不等式的解法,考查了转化的思想.属于基础题.3.若等差数列满足,则____.【答案】8【解析】【分析】由是等差数列可得,从而即可求出的值.【详解】解:是等差数列, ,.故答案为:8.4.已知函数,它的反函数为,则_______.【答案】【解析】【分析】令,求函数的自变量即为对应反函数的函数值.【详解】因为,所以令,解得,根据互为反函数之间的关系,可得.故答案为:.5.在展开式中,的系数为________(结果用数值表示).【答案】【解析】【分析】根据二项式定理求出展开式中含的项,由此即可求解.【详解】解:展开式中含的项为,所以的系数为60,故答案为:60.6.若实数、满足,则的最大值为_______.【答案】【解析】【分析】先画出不等式组表示的可行域,然后由,得,作出直线,向上平移过点时,目标函数取得最大值,求出点的坐标,代入目标函数可求得结果 【详解】不等式组表示的可行域如图所示由,得,作出直线,向上平移过点时,目标函数取得最大值,由,得,即,所以的最大值为,故答案为:67.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的体积为________.【答案】【解析】【分析】由三视图确定三棱柱的底面面积和高,即可求得答案.【详解】由“堑堵”的三视图可知,直三棱柱的底面直角三角形斜边为2,其上的高为1,三棱柱高为2,原几何体如图示: 则底面积为,故三棱柱的体积为:,故答案为:28.若数列是首项为,公比为的无穷等比数列,且各项的和为,则的值为________【答案】【解析】【分析】由题意可得:,化为:,解得并验证即可得出.【详解】由题意可得:,化为:,解得或,时,公比为0,舍去..故答案为:1.【点睛】本题考查无穷等比数列的求和公式,考查推理能力与计算能力,属于中档题.9.从、、、、、、、、、这个数中任取个不同的数,则这个不同的数的中位数为的概率为________(结果用最简分数表示).【答案】【解析】【分析】算出10个数中任取5个的可能数量,再算出所选个不同的数的中位数为的可能 种数,根据古典概型的概率公式,即可求得答案.【详解】由题意知,从、、、、、、、、、这个数中任取个不同的数,有种可能,所选个不同的数的中位数为,则比6小的数有2个,共有种可能,比6大的数有2个,有种可能,故所选个不同的数的中位数为的情况共有种可能,故这个不同的数的中位数为的概率为,故答案为:10.已知函数是定义域为的奇函数,且当时,.若函数在上的最小值为,则实数的值为________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当时函数的解析式,再利用函数的单调性对进行分类讨论,确定单调性即可求解.【详解】由题意可知,因为,所以,所以,因为函数是定义域为的奇函数,所以.因为函数在上的最小值为当时,由函数的性质知,函数在上单调递增;当时,取得最小值为,因为函数在上的最小值为,所以,解得(舍),当时,由函数的性质知,函数在上单调递增;当时,取得最小值为,因为函数在上的最小值为,所以,解得, 当时,由对勾函数的性质知,函数在上单调递增;在上单调递减;当时,取得最小值为,因为函数在上的最小值为,所以,解得(舍),综上,实数的值为.故答案为:.11.已知椭圆为参数,,的焦点分别、,点为椭圆的上顶点,直线与椭圆的另一个交点为.若,则椭圆的普通方程为__.【答案】【解析】【分析】根据题意,由椭圆的焦点坐标可得,即可得,结合椭圆的性质可得、的长,分析可得的坐标,进而可得,两式联立解可得、的值,即可得答案.【详解】解:根据题意,椭圆为参数,,,其普通方程为,若其焦点分别、,则,则有,① 点为椭圆的上顶点,则的坐标为,又由,而,则,,又由,且、、三点共线,则的坐标为,又由,则有,②联立①②,解可得:,;故椭圆的方程为;故答案为:.12.已知函数,其中,,恒成立,且在区间上恰有个零点,则的取值范围是______________.【答案】【解析】【分析】确定函数的,由此可得,再利用在区间上恰有个零点得到,求得答案.【详解】由已知得:恒成立,则,,由得,由于在区间上恰有3个零点, 故,则,,则,只有当时,不等式组有解,此时,故,故答案为:二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知复数(为虚数单位),则“为纯虚数”是“”的().A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】求为纯虚数的等价条件,结合充要条件判断得解.【详解】当时,,所以为纯虚数;若为纯虚数,,所以,所以或,所以“为纯虚数”是“”的必要非充分条件.故选:B.14.若、,且,则的最小值为().A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式计算求解. 【详解】因为、,所以,即,所以,即,当仅当,即时,等号成立.故选:A.15.在中,,.若,则().A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算,将转化为,结合数量积的运算,即可求得答案.【详解】由题意可得,即,即,即,解得,故选:B16.在正方体中,、分别是线段、上的动点,且直线与所成的角为,则下列直线中与所成的角必为的是().A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在上取一点T,使,则直线与所成的角即直线与所成的角,建立空间直角坐标系,根据与所成的角为,找出点T位置,利用空间向量计算线线角分别验证答案即可.【详解】在上取一点T,使,则直线与所成的角即直线与所 成的角,设直线与所成的角为,则,,以D为原点建立如图空间坐标系,则,所以,,所以,化简得,所以,对于A:,所以与所成的角的余弦值即与所成的角的余弦值,即,与所成的角的正切值为,故A错误;同理,对于B:与所成的角的正切值为,故B错误;对于C:与所成的角的正切值为,故C正确;对于D:与所成角为,故D错误;故选:C.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.如图,圆锥的底面半径,高,点是底面直径所对弧的中点,点是母线的中点.求:(1)该圆锥的表面积;(2)直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示).【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出圆锥母线长,求得圆锥侧面积,即可求得答案;(2)作辅助线,找到直线与平面所成角,解直角三角形可得答案.【小问1详解】由已知,得OA=2,PO=6,则,所以圆锥的侧面积为,于是圆锥的表面积为,即所求圆锥的表面积为.【小问2详解】连接OD,由题意得平面,因为平面,所以.又因为点是底面直径所对弧的中点,所以. 而、平面,,所以平面即是在平面上的射影,所以是直线与平面所成角.在中,,,则,由于为锐角,所以,因此直线与平面所成角的大小为.18.设常数,函数.(1)若函数是偶函数,求实数的值;(2)若对任意,,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据函数的偶函数的定义即可求解;(2)利用分离参数法解决函数恒成立问题,再利用换元法及二次函数在区间上的最值问题的处理办法即可求解.小问1详解】函数的定义域为.因为函数是偶函数,所以.即,即,即.因,所以,解得.所以实数的值为.【小问2详解】因为,即,因为,可得.令,因为,所以的取值范围是,于是对任意都成立. 令函数,对称轴为,开口向上,由二次函数的性质知,在区间上是增函数,所以当时,函数取得的最小值为,则得,解得.所以实数的取值范围是.19.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯,要求灯柱与地面垂直,灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直,路灯采用锥形灯罩,射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知,,路宽米.设().(1)当时,求的面积;(2)求灯杆与灯柱长度之和(米)关于的函数解析式,并求当为何值时,取得最小值.【答案】(1)平方米(2)(),且当时,取得最小值【解析】【分析】(1)利用三角形的内角和定理及正弦定理,结合三角形的面积公式即可求解;(2)根据已知条件的出角之间的关系,利用正弦定理求出,,及两角差的正弦公式及二倍角公式,结合辅助角公式及正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】 因为,,所以.由题意得,所以,因此是等边三角形,所以.在中,由正弦定理得,即,解得,所以的面积等于(平方米).所以的面积等于平方米.【小问2详解】因为,,所以.又因为灯柱与地面垂直,即,所以.因为,所以.在中,由正弦定理得,即,解得.又在中,由正弦定理得,即,解得,,则得,所以,化简得().因为,则得, 所以当,即时,(米).所以关于的函数解析式为(),且当时,取得最小值.20.已知双曲线的一条渐近线的方程为,它的右顶点与抛物线的焦点重合,经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点.(1)求双曲线的标准方程;(2)若点是线段的中点,求点的坐标;(3)设、是直线上关于轴对称的两点,求证:直线与的交点必在直线上.【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)证明见解析【解析】【分析】(1)由题意得,解得,即可求解;(2)设,,因为是线段的中点,所以,代入双曲线方程即可求解;(3)由题意可设直线的方程为,与双曲线方程联立后整理即可得证.【小问1详解】由题意得,解得,所以双曲线的标准方程为; 【小问2详解】设,,因为是线段的中点,所以,则得,解得,,所以所求点的坐标为或;小问3详解】证明:由题意可设直线的方程为,联立方程组,消去,并整理得,设,,,,由一元二次方程根与系数的关系,得,又设,,,则得直线的方程为,直线的方程为,两个方程相减得①,因为,把它代入①得,所以,因此直线与的交点在直线上.21.若项数为且的有穷数列满足:,则称数列具有“性质”.(1)判断下列数列是否具有“性质”,并说明理由; ①1,2,4,3;②2,4,8,16.(2)设,2,,,若数列具有“性质”,且各项互不相同.求证:“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”;(3)已知数列具有“性质”.若存在数列,使得数列是连续个正整数1,2,,的一个排列,且,求的所有可能的值.【答案】(1)数列1,2,4,3不具有“性质M”;数列2,4,8,16具有“性质M”(2)证明见解析(3)或5【解析】【分析】(1)按照题目给出的定义:数列具有“性质”直接判断;(2)根据充要条件的概念直接证明;(3)根据条件可知,,逐渐增大,且最小值为1,分情况可求之.【小问1详解】解:,该数列不具有“性质”;,该数列具有“性质”;【小问2详解】证明:充分性,若数列是常数列,则,即,或又数列且各项互不相同,,数列为等差数列;必要性,若数列为等差数列,则,即,数列为常数列;【小问3详解】解:数列是连续个正整数1,2,,的一个排列,当时,,,不符合题意;当时,数列3,2,4,1满足,,符合题意;当时,数列2,3,4,5,1满足,符合题意; 当时,令,2,,,则,且,的取值有以下三种可能①,②,③,当时,,由(2)知,,,是公差为1或的等差数列,若公差为1时,由得或,,不合题意,不合题意;若公差为,同上述方法可得不符合题意;当满足②,③时,同理可证不符合题意,故:或5.【点睛】本题考查了给出新定义求解问题,数列的通项公式,充要条件等知识,综合性较强,是难题.
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文章作者:随遇而安
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