上海市奉贤区2021-2022学年高三数学下学期二模试题（Word版附解析）

2021学年第二学期高三数学练习卷2022.6考生注意：1、本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.2、所有答案务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.3、用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知，（其中为虚数单位），则________.【答案】##【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的加法求即可.【详解】由题设，.故答案为：2.已知集合，，，{3，，5}，则________.【答案】【解析】【分析】利用并集的定义直接求解作答.【详解】因集合，所以.故答案为：3.在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为________.【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式及常数项可得，进而写出常数项即可.【详解】由题设，二项展开式通项，由第四项是常数项，即时，，故， 所以常数项为.故答案为：1604.若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________.【答案】##【解析】【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件【详解】由，可得，由关于，的方程组有唯一解，可得方程有唯一解，则故答案为：5.抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则_______．【答案】【解析】【详解】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即6.满足线性约束条件的目标函数的最大值是________.【答案】2【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解. 【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.故答案为：.7.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为的三角形，则该圆锥的表面积是________.【答案】【解析】【分析】根据给定的主视图求出圆锥底面圆半径，再利用圆锥表面积公式计算作答.【详解】依题意，如图，圆锥母线长，底面圆半径， 所以圆锥表面积.故答案为：8.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则的反函数________.【答案】##【解析】【分析】先求得幂函数的解析式，再去求的反函数，即可解决.【详解】若幂函数在上递减，则，又幂函数为奇函数，则，则的反函数为故答案为：9.已知数列的通项公式为，则__________【答案】【解析】【分析】先对等比数列进行求和，再进行极限运算.【详解】因为，所以， 所以.故答案.【点睛】本题考查等比数列前项和、数列极限计算，考查数列中的基本量法，考查基本的运算求解能力.10.已知三角形的三边分别是，，，则该三角形的内切圆的半径是________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求出，根据同角三角函数的基本关系即可求出，根据面积公式及等面积法求出内切圆的半径；【详解】解：设中、、，由余弦定理可得，即，所以，则，所以，设的内切圆的半径为，则，即，解得；故答案为：11.设项数为的数列满足：，且对任意，，都有，则这样的数列共有_____个.【答案】31【解析】【分析】根据列举出所有可能的数列，再结合、、、、 同时成立，排除不满足条件的，即可得答案.详解】当，时，，所以可能情况如下：1、{一个1，三个0}：、、、，4个；2、{两个1，一个和0}：、、、、、、、、、、、，12个；3、{一个，三个0}：、、、，4个；4、{两个，一个1和0}：、、、、、、、、、、、，12个；5、{四个0}：，1个；6、{两个，两个1}：、、、、、，6个；7、{两个0，一个1和}：、、、、、、、、、、、，12个；综上，数列共有51个.当，时，，当，时，，当，时，，当，时，， 当，时，，所以、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，20个不满足；综上，满足要求的数列有31个.故答案为：3112.构造一个二元二次方程组，使得它的解恰好为，，要求与的每个方程均要出现，两个未知数．答：________.【答案】【解析】【分析】不妨令为过、两点的直线，为以、两点为直径的圆，即可满足题意.【详解】过、两点的直线为，整理得、两点间距离为、两点的中点坐标为则以、两点为直径的圆为则可令为，为故答案为：二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）13.在中，三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．已知：， ：，则是的（）．A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件．【答案】C【解析】【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：由正弦定理.因为，可得.故充分性满足；必要性：由正弦定理.因为，可得.故必有性满足.故是的充要条件.故选：C14.如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是（）A.平面B.平面C.平面D.平面【答案】D【解析】【分析】由线面平行的判定定理，面面平行的性质定理依次判断各选项即可得出结果.【详解】在直三棱柱中，因为,平面,平面,所以平面，A正确；因为平面平面，平面，所以平面，B正确； 取中点,连接,因为点，F分别是棱，BC的中点，所以,且,所以，四边形为平行四边形，所以,平面，平面,所以平面,C正确；取中点,连接,可证得四边形为平行四边形，所以,与平面相交,所以与平面相交,D不正确；故选:D.15.若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对于等比数列，注意相邻项加减所成的数列含0的情况判断①③即可.【详解】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；若，，，为，则不为等比数列，③不符合；故选：B16.已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时， 的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解．【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，不妨设，，则，，由可得，即，∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上，同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上．显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大．设圆心为，则，∴，则，∴，设与轴交于点，由对称性可知轴，且，∴，即当与的夹角最大时，故选：C 三、解答题（本大题满分76分）17.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点．（1）求异面直线与所成的角；（2）求直线与平面所成的角．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由得到，根据线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定、性质可证，即可知与所成的角；（2）设相交于一点，连接，易知是直线与平面所成的角， 进而求出角的大小.【小问1详解】由题设，且，故，所以，故.因为底面，底面，所以，因为与相交于一点，且面，所以平面，又平面，则，所以异面直线与所成的角为【小问2详解】设相交于一点，连接，由（1）知：平面，所以是直线与平面所成的角，，则，,,所以，即所求线面角的大小为或. 18.已知数列和，其中，，数列的前项和为．（1）若，求；（2）若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先判定数列和分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列的前项和．（2）利用数列的前项和列出方程组，解之即可求得、d、、q，进而求得数列和的通项公式．【小问1详解】当时，，从而是等差数列，，所以是等比数列又，则所以【小问2详解】是各项为正的等比数列，设其首项为，公比为q，由，可得，则（定值）则数列为等差数列，设其首项为，公差为d，由数列的前项和， 可得方程组整理得解得，则由，可得，则则数列通项公式为；数列的通项公式为．19.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．（1）设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；（2）假设铺设污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．【答案】（1）（2）位置是在线段的中垂线上且离的距离是km【解析】【分析】（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；（2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置.【小问1详解】矩形中，km，km，，，则， 则【小问2详解】令则又，即，则，则此时所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是km20.椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．（1）若点在直线上，求点坐标；（2）是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；（3）设的面积为，的面积为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）先求得两点坐标，进而可得直线的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点坐标； （2）假设存在符合条件的点，列方程去求点坐标，再以点在椭圆内部去判别是否存在；（3）先求得的表达式，再去求的值域，进而求得的取值范围．【小问1详解】由点和点在椭圆上可得，，则直线方程为，又点在直线上，则，解之得，则【小问2详解】椭圆的两焦点假设存在一个点，满足，则点一定在双曲线的左半支上，由，可得又，则，又因为点在椭圆内部，所以，得所以满足条件的点不存在．【小问3详解】两点、和在椭圆上，点在椭圆内部，则直线的方程为，点到直线的距离 则，同理直线的方程为，点到直线的距离则令，则由，可得，，，即由，可得，，，即综上，的取值范围为则的取值范围为21.对于函数，如果对于定义域中任意给定的实数，存在非负实数，使得恒成立，称函数具有性质．（1）判别函数，和，是否具有性质，请说明理由；（2）函数，，若函数具有性质，求满足的条件；（3）若函数的定义域为一切实数，的值域为，存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）具有性质，理由见解析. 【解析】【分析】（1）由性质的定义，结合作差法判断函数是否具有性质即可；（2）根据已知条件有对任意恒成立，讨论、判断不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）由的性质可得，再根据对数函数的单调性及性质定义判断是否具有性质.【小问1详解】，，所以，则，故，不具有性质；，恒成立，故,具有性质.【小问2详解】由，则，对任意恒成立，显然时，上式不等式成立；时，则，对任意不恒成立，舍去；综上，.【小问3详解】因为具有性质，所以，因为函数的值域为，所以，则，， ，，，所以，即具有性质.【点睛】关键点点睛：第三问，注意应用性质、不等式性质得到、、，进而有，结合对数函数的单调性判断结论.