上海市崇明区2021-2022学年高考数学二模试题（Word版附解析）

2021学年第二学期高中教学资源高三数学考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1.已知集合，，则=_______.【答案】【解析】【分析】先求出集合A,然后根据交集的定义求得答案.【详解】由题意，，所以.故答案为：.2.已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据的平均数为4∴，即.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．3.已知角的终边经过点，则________.【答案】 【解析】【分析】根据终边上的点，结合即可求函数值.【详解】由题意知：角在第一象限，且终边过，∴.故答案为：.4.若复数（为虚数单位），则________．【答案】##0.5【解析】【分析】由复数的除法运算可得，再根据共轭复数的概念可得，代入运算求解．【详解】∵，则∴故答案为：．5.在的二项展开式中，项的系数是________．（用数值表示）【答案】240【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式，直接求得答案.【详解】由题意可得的通项公式为：，故的系数为，故答案为：2406.已知变量满足约束条件，则的最大值为__________． 【答案】1【解析】【详解】画出平面区域及目标函数线如图所示：平移目标函数线使之经过可行域，当目标函数线经过点时，取得最大值为.考点：线性规划.7.已知圆锥的母线长等于2，侧面积等于，则该圆锥的体积等于________．【答案】##【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式，代入可得，根据图形结合勾股定理可得，再代入锥体体积公式．【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为根据题意可得：，则∴则该圆锥的体积故答案为：． 8.已知直线参数方程为(为参数），则点到直线的距离是______．【答案】【解析】【分析】将参数方程化为普通方程，再用点到直线的距离公式即可解得.【详解】由题意：，∴点到直线的距离.故答案为：.9.设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．【答案】##0.2【解析】【分析】根据函数周期性结合解析式可得，结合题意解得，代入求解．【详解】∵是周期为2的函数 ∴，又∵，即，则∴故答案为：．10.已知平面直角坐标系中的点、、，．记为外接圆的面积，则________．【答案】【解析】【分析】由过三点的外接圆来确定圆的半径，从而得到，再求极限即可.【详解】设过、、这三点的外接圆方程为，则有，又外接圆的半径为,所以. 所以.故答案为：11.某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示）【答案】14【解析】【分析】利用分类和分步计数原理求解即可.【详解】由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，编程在周一、二、四.①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为种，阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为种，阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为种，阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.综上，共有种方案.故答案为：12.已知实数x、y满足，则的取值范围是________．【答案】.【解析】【分析】讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得 的取值范围，进而可得的取值范围.【详解】因为实数满足，当时，方程为的图象为双曲线在第一象限的部分；当时，方程为的图象为椭圆在第四象限的部分；当时，方程为的图象不存在；当时，方程为的图象为双曲线在第三象限的部分；在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，表示点到直线的距离的倍根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，令，即，与双曲线渐近线平行，观察图象可得，当过点且斜率为的直线与椭圆相切时，点到直线的距离最大，即当直线与椭圆相切时，最大， 联立方程组，得，，解得，又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，所以，又直线与距离为，故曲线上的点到直线的距离大于1，所以综上所述，，所以，即，故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13.如果，那么下列不等式中正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】对A,B,C，举反例判定即可，对D，根据判定即可【详解】对A，若，则，不成立，故AB错误；对C，若，则不成立，故C错误； 对D，因为，故D正确；故选：D14.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充要关系定义进行判断选择.【详解】若，则，所以充分性成立；若，则不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立；故选：A【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.15.已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（）A.数列是递增数列B.数列是递减数列C.数列存在最小项D.数列存在最大项【答案】C【解析】【分析】对AB，举公比为负数反例判断即可对CD，设等比数列公比为，分和两种情况讨论，再得出结论即可【详解】对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列；对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项； 当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误故选：C16.设集合，，，其中，给出下列两个命题：命题：对任意的，是的子集；命题：对任意的，不是的子集．下列说法正确的是（）A.命题是真命题，命题是假命题B.命题是假命题，命题是真命题C.命题、都真命题D.命题、都是假命题【答案】A【解析】【分析】根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题.【详解】由于，即时，一定成立，故是的子集，因此命题是真命题. 令，；令，.从而可知，当时，，此时，是的子集，故命题是假命题.故选：A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17.如图，正方体的棱长等于4，点是棱的中点．（1）求直线与直线所成的角；（2）若底面上的点满足平面，求线段的长度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案;（2）假设在底面上存在点，使得平面，设，求出向量的坐标，根据线面垂直可得，即可求得a,b的值，求得答案.【小问1详解】如图以D为坐标原点，以为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则，所以，，设直线与直线所成的角为，则,所以，即直线与直线所成的角的大小等于.【小问2详解】假设在底面上存在点，使得平面，设，因为，所以，由得，，即，解得，即，所以，，故线段的长度为.18.已知．（1）求函数的单调递增区间；（2）设的内角A满足，且，求BC边长的最小值． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的二倍角公式将化为，根据正弦函数的单调性即可求得答案;（2）由求得A,根据求得，利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】,由，得：，所以函数的单调递增区间是.【小问2详解】由，得，即因为，则，,所以,由，得，得.由余弦定理，得，当且仅当时等号成立,所以边长的最小值是.19.环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v0104060M0132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③．（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？【答案】（1）符合，（2）当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh【解析】【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可【小问1详解】因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，故是可能符合表格中所列数据的函数模型. 由，得：，所以【小问2详解】由题意，高速路上的耗电量任取，当时，所以函数在区间上是增函数，所以Wh国道上的耗电量所以Wh所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh20.已知双曲线，双曲线的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．（1）当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积；（2）若点A的坐标是，求直线AB的方程；（3）求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得，由三角形面积公式即可求得答案；（2）设圆C的方程为，由点A的坐标求得m，联立求得B点坐标，可得答案；（3）设直线AB的方程为，，联立，可得根 与系数的关系式，再联立可得，结合根与系数的关系式化简，可得的圆心到直线AB的距离等于半径，可证明结论．【小问1详解】（1）由题意△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，，所以点A在直线处，设A，代入，解得，取则，所以△OFA的面积；【小问2详解】设圆C圆心坐标，因其过原点，则.故圆C方程为：.代入点A，得，解得.将圆C方程与联立得,消去得：解得.又B点在双曲线右支，故B.则AB方程为：.化简为即.【小问3详解】证明：由题直线AB斜率必存在，故设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），圆C的方程为，由，消去y得:由题意，得：，且， 由，消去x化简得：，所以.所以，即得原点O到直线AB的距离，所以直线AB与圆相切．【点睛】关键点点睛：本题为直线，圆，双曲线综合题.（1），（2）为基础题，难点在于（3）.关键在于做第二问时，能够发现对于任意A，B两点，均有，从而在（3）中建立起与关系，得到.21.已知集合（Z是整数集，是大于3的正整数）．若含有项的数列满足：任意的，都有，且当时有，当时有或，则称该数列为数列．（1）写出所有满足且的数列；（2）若数列为数列，证明：不可能是等差数列；（3）已知含有100项的数列满足是公差为等差数列，求所有可能的值【答案】（1）1，3，5，2，4；1，4，2，5，3（2）证明见解析（3）5【解析】【分析】（1）根据数列的定义，可直接写出答案；（2）假设是等差数列，公差为，分和两种情况，可得到与题意不符的结论，从而证明结论成立；（3）由题意，，分类讨论，说明当时，不符题意，同理可说明和时，推导出与题意不符的结论，继而说明，符合题意，从而求得答案. 【小问1详解】由题意可得满足且的数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..【小问2详解】假设是等差数列，公差为，当时，由题意，或，此时，所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列当时，由题意，或，此时所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列综上所述，不可能是等差数列【小问3详解】由题意，，当时，因为，所以，与题意不符；当时，记，当时，，所以，所以中的最小项，所以，与题意不符，当时，，又由题意，（*），其中，且，所以，所以，所以，与不符； 当时，取，此时的数列满足题意，综上所述，.