上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题满分18分，本大题共有6题）1.已知角的终边与角终边关于轴对称，则的关系是_____．【答案】##【解析】【分析】利用角与终边关于y轴对称的关系及周期性求解【详解】因为角终边与角的终边关于y轴对称，在一个周期中，，即，所以由周期性知，．故答案为：，．2.若，则______.【答案】【解析】【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力.3.已知，，若在方向上的数量投影是2，则与的夹角的余弦值是______.【答案】【解析】【分析】写出数量投影的定义，以及向量夹角公式，即可计算结果. 【详解】由条件可知，设与的夹角为，则.故答案为：4.如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动______次.【答案】【解析】【分析】求正弦型函数的频率.【详解】函数，的周期，故频率为.所以每秒钟小球能振动次.故答案为：.5.在中，若，则的最大值是____．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解【详解】结合正弦定理得，即， 所以，因为，所以，则的最大值是．故答案为：6.已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的图像，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为________【答案】【解析】【详解】由题意可知：∴又对任意的实数，都有成立，∴为的最小值，为的最大值∴，，，∴的最小值为二、选择题（本大题满分18分，本大题共有6题）7.设，若是角的终边上一点，则下列各式恒为负值的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义，求出角的三角函数值，再根据确定正负性.选项A可根据进行判定；选项C可由正切的范围进行判定；选项B，D可由三角函数值的正负性进行判定. 详解】由题知，，，，.其中为点到原点的距离.，因为，所以的取值可正可负可为0，故的取值可正可负可为0.故选项A错误；，因为，，所以恒成立.故选项B正确；因为，当时，有.又时，，.故选项C错误；因为，，所以.故选项D错误.故选：B.8.函数的图像可以由的图像（）个单位得到.A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移【答案】D【解析】【分析】由，可以确定函数图象之间的变换，即可求解.【详解】因为，所以只需由的图像向右平移个单位得到.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移，关键要找到两个函数解析式的差异，确定图 象的变换方式，属于容易题.9.若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.【详解】依题意，,，所以，所以三角形是等腰三角形.故选：A10.设函数，则（）A.它的定义域是[-1，1]B.它是偶函数C.它的值域是D.它不是周期函数【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的性质和复合函数的定义得到定义域，根据偶函数的定义结合三角函数的性质判定为偶函数，根据正弦函数的值域和余弦函数的单调性对称性求得值域；根据正弦函数的周期性得到函数的周期性.【详解】记，定义域R,故A错误；,∴是偶函数，故B正确；∵,∴,故C错误；, ∴是函数的周期，故D错误.故选：B.11.给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴方程；函数的图象关于点成中心对称图形其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】对于①，先化简，再判断厅偶性；对于②，利用辅助解公式化简后判断；对于③，举例判断；对于④，代入验证即可【详解】解：对于①，因为（），，所以此函数是奇函数，所以①正确；对于②，因为，所以②错误；对于③，若，此时，所以③错误；对于④，当时，，所以是函数的一条对称轴方程；当时，，所以函数的图象不关于点成中心对称图形，所以④错误，故选：A12.已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的单调性，对数的性质或特殊值进行判定.【详解】由题意得，所以，所以，即，A正确；因为，所以，B不正确；当时，，C不正确；由，所以，所以，所以，D不正确.故选：．三、解答题（本大题满分64分，本大题共有4题）13.已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为.（1）求，；（2）求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算求解；（2）利用数量积的运算求得，结合（1）中求得的模，利用向量的夹角余弦值公式计算即得.【详解】（1）， ；（2），所以.14.如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．（1）若，求的边长；（2）当多大时，边长最小？并求出最小值．【答案】（1）千米；（2）当时，的边长取得最小值为千米.【解析】【分析】（1）由题意易得为等边三角形，从而可求；（2）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解．【详解】解：（1）设的边长为千米，由得，，中，，， 为等边三角形，，故，即边长为；（2）设的边长为千米，所以，，中，，，，由正弦定理得，，故，当时取得最小值，即的边长最小值．【点睛】方法点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.15.已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）将图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，求的解析式；（3）在（2）的条件下，若对于任意的，，当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3）.【解析】 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得．（2）由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．（3）令，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，【详解】解：（1）所以因为函数的最小正周期为且，所以，解得，所以的值为1.（2）因为图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像又，所以所以的解析式为（3）令因为对于任意的，，当时，恒成立，所以在严格单调递增，由，整理可得， 所以严格单调递增区间是，所以，解得所以的取值范围是.16.对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．（1）求证：函数在上是“1跃点”函数；（2）若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；（3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，或或【解析】【分析】（1）根据题意令，利用零点存在定理即可证明；（2）由题意可得，可整理得，然后用基本不等式求解即可；（3）根据题意可得到，然后分，，或三种情况进行讨论即可【小问1详解】，所以，， 令，因为，，所以由零点存在定理可得在有解，所以存在，使得，即函数在是“1跃点”函数．【小问2详解】由题意得，因为，所以，当且仅当取等号，所以的取值范围为．【小问3详解】，即，化简得，的最小正周期为，当，；当（为正整数），；所以从在上的值可得①当时，在有个“跃点”，故，所以；②当时，在有个“跃点”，故，无解；③当或时，在上有个“跃点”，故，综上，或或． 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.