河南省三门峡市2021-2022学年高三理科数学上学期第一次大练习试题（Word版附解析）

2021-2022学年度高三第一次大练习理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式确定集合，求指数函数的值域得集合，交补由集合的运算法则计算．【详解】由已知，，，所以．故选：D．2.复数z满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设则，然后代入原式得，然后根据复数相等列方程，解方程即可得到. 【详解】设，则，因为，所以，即，所以，解得，则.故选：B.3.甲､乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用和分别表示甲､乙的平均数，，分别表示甲､乙的方差，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由平均数和方差的定义和性质判断即可得出结果.【详解】平均数是每个矩形底边中点的横坐标乘以本组频率（对应矩形面积）再相加，因为两组数据采取相同分组且面积相同，故，由图观察可知，甲的数据更分散，所以甲方差大，即，故选：B.4.已知双曲线的左､右焦点为，，过的直线交双曲线左支于点和，若，且的周长为，则的渐近线方程为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义可求得的周长为，计算即可求得，进而求得结果.【详解】,,即，的周长为：，由双曲线的方程为，可知，解得：，的渐近线方程为：，故选：A.5.已知，，，，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】将问题转化为，，与的交点横坐标的大小问题，应用数形结合的方法判断，，的大小.【详解】依题意，，，，在同一坐标系中分别作出，，，的大致图象，如图所示，观察可知：.故选：D6.已知函数是奇函数且其图象在点处的切线方程，设函数，则的图象在点处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再求出切点的坐标，即得解.【详解】解：由已知得，，因为是奇函数，所以，又因为，所以， ，所以的图象在点处的切线方程为.故选：A7.已知命题“，”，命题“函数的定义域为”，若为真命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由真得求出的取值范围，由真得，，求出的取值范围，再取它们交集即可．【详解】由，得，则，所以或由函数的定义域为，则，，所以a=0或因为为真命题，所以均真，则故选：A8.设数列和的前项和分别为，，已知数列的等差数列，且，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】设等差数列的公差为，进而根据等差数列的通项公式计算得，故，，再根据等差数列前项和公式求解即可。【详解】解：由，得，设等差数列的公差为，所以得解得所以．则，所以．所以数列的前项和，数列的前项和，则．故选：D9.已知函数（，）的最小正周期为，其最小值为，且满足，则（）A.B.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】根据最小正周期和最小值可求得；由已知得到关于点对称，分别在和两种情况下，利用整体代换的方式可构造方程求得.【详解】由最小正周期为，可得：．最小值，； ，关于点对称；若，则，，，，；若，则，，，，；综上可得：．故选：B.10.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由二倍角公式化简计算即可得出结果.【详解】由可得，则，又，，故，又， 解得：，所以：.故选：C.11.已知，若当时，总有，则最大值为（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】化简可得，构造函数，由已知条件可知函数为减函数，即在恒成立，解不等式可得，即可求得的最大值.【详解】由，可得，，则，即，化简可得：，设，，，，为减函数， 则在恒成立，由，解得：，的最大值为.故选：B.【点睛】关键点睛：将已知条件变形为，构造函数，利用导数求得的取值范围是解答本题的关键.12.已知的内角，，满足，则在的外接圆内任取一点，该点取自内部的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由余弦的和、差角公式将条件化简可得，由正弦定理结合三角形的面积公式得出，由几何概率公式可得答案.【详解】由可得所以由正弦定理可得，其中为的外接圆的直径.所以,在的外接圆内任取一点，该点取自内部的概率为 故选：B【点睛】关键点睛：本题考查利用余弦的和、差角公式化简，利用正弦定理结合三角形的面积公式求三角函数面积以及几何概率问题，解答本题的关键是先化简条件得出，再由正弦定理得出，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若向量，的夹角为，，，则________．【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积和模的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】因为，所以.故答案为：.14.随着近年来中国经济､文化的快速发展，越来越多的国外友人对中国的自然和人文景观表现出强烈的兴趣.一外国家庭打算明年来中国旅行，他们计划在北京､上海､浙江､四川､贵州､云南6个地方选3个去旅行，其中北京和上海至少选一个，则不同的旅行方案种数为___________.(用数字作答)【答案】16【解析】【分析】由题意利用组合、组合数公式，分类讨论，计算求得结果.【详解】若北京和上海只选一个，则方法共有种，若北京和上海都选，则方法共有种，所以北京和上海至少选一个，则不同的旅行方案种数为种.故答案为:16.15.已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为_______. 【答案】【解析】【分析】先不妨设的坐标，再求出到直线的距离为，利用等腰三角形的性质，列出，解出即可.【详解】根据题意，把代入中，得，不妨设，且，则到直线的距离为，由，得，则，平方计算得.故答案为：.【点睛】思路点睛：1.不妨设的坐标，再求出到直线的距离为，2.为等腰三角形，且，列出，解出.16.已知函数的最小值为，函数的零点与极小值点相同，则___________.【答案】【解析】 【分析】求，由可得的值，求，讨论、、，判断的最值及的单调性，求出的极小值点，由极小值等于即可得的值即可求解.【详解】由可得，因为的最小值为，所以是的极值点，所以，所以；当时，，由二次函数性质可知该函数无极小值点，不符合题意；由可得，令，可得或，当时，，由可得或；由可得，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以的极小值点为，由题意可得，解得，此时；当时，当时，，不合题意；所以.故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在中，角的对边分别为，已知（1）求角; （2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用三角公式得到，即可求出.（2）由求出，利用余弦定理求得a，利用正弦定理即可求得.【详解】（1）由可得，即，故，因为，所以，所以，所以.（2）由可得，即，又知由余弦定理得，故.从而由正弦定理得.18.某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表：专业机电维修艺术舞蹈汽车美容餐饮电脑技术美容美发招生人数就业率（Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率；（Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少 ，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值．【答案】（Ⅰ）0.08；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意求得往年每年的招生人数为，进而求得“餐饮”专业直接就业的学生人数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解；（Ⅱ）由表格中的数据，求得往年全校整体的就业率，根据招生人数调整后全校整体的就业率，列出方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，该校往年每年的招生人数为，“餐饮”专业直接就业的学生人数为，所以所求的概率为．（Ⅱ）由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为，，，，，，往年全校整体的就业率为，招生人数调整后全校整体的就业率为，解得．19.已知数列，满足，，.（1）证明为等比数列，并求的通项公式；（2）求.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，然后得到即可； （2）可得，然后可算出，然后可求出答案.【详解】（1）由可得，于是，即，而，所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.（2）由（1）知，所以.因为，所以，因此.20.已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，且.（1）求抛物线的方程；（2）若线段的中点为，的中垂线与的准线交于第二象限内的点，且，求直线与轴的交点坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，代入，得出答案. (2)由（1）中得出的韦达定理结合的值，先用表示出的长度，得出点的坐标，得出的中垂线的方程，进一步得出点的坐标，从而用表示出的长度，由条件求出的值，从而可得答案.【详解】（1）设直线的方程为，，，由，得，于是.所以，即，故抛物线的方程为.（2）由（1）可得，显然.则，，所以，点，即.从而直线的方程为，令，可得点，所以，由，得，得，所以.所以的方程为，因此直线与轴的交点坐标为.【点睛】 关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，结合向量数量积求抛物线的方程，根据弦长公式求直线的方程，解答本题的关键是由条件表示出,以及，从而得到直线的方程为，进一步得出，得出,属于中档题.21.已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若，证明：.【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，根据导函数的符号得出函数的单调区间，从而可得出函数的极值；（2）根据，讨论函数的单调性，可得，得，两式相减得，两式相加得，欲证，即证，即证，即证，即证，令，，求出函数的最大值即可得证.【详解】（1）解：当时，定义域为，，由得；由得， 在上单调递减，在上单调递增.的极小值为，无极大值；（2）证明：由题意得.当时，，则函数在上递增，所以函数最多一个零点，与题意相矛盾；当时，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增，不妨设，两式相减得，两式相加得，欲证，即证，即证，即证，即证令，， 则，在上单调递增，，，所以.【点睛】本题考查了求函数的单调区间、极值及最值问题，还考查了不等式的证明问题，考查了计算能力、数据分析能力及逻辑推理能力，考查了分类讨论思想及转化思想，难度较大.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数且)，与坐标轴交于，两点.（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求外接圆的极坐标方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；（2）由的外接圆的圆心为的中点，半径为，得出圆的普通方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令，因为，所以，将代入，得与轴的交点为.令，因为，所以， 代入得与轴的交点为.所以.（2）由（1）知，的外接圆的圆心为的中点，半径为，所以其直角坐标方程为，即，所以极坐标方程为，即.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）求不等式解集；（2）设的最小值为，若，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，解不等式求得结果；（2）分类讨论可得解析式，由此可确定，即，利用柯西不等式可整理得到结论.【详解】（1）当时，，解得：，；当时，，解得：，；当时，，解得：，；综上所述：的解集为； （2）由（1）可知：，，即，，由柯西不等式得：（当且仅当，即，时取等号），即，.【点睛】关键点点睛：本题考查绝对值不等式的求解、不等式的证明；本题证明不等式的关键是能够将式子配凑成符合柯西不等式的形式，利用柯西不等式证得结论.