河南省郑州市2023届高三理科数学第一次质量预测试题（Word版附解析）

郑州市2023年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合,．则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据根式的定义域列出方程,解出集合,根据对数函数性质解出对数不等式,即集合,再求出即可.【详解】由题知,解得:,,所以.故选：C.2.已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（）A.或B.或C.或1D.或【答案】A【解析】【分析】设，则，由，列出方程求解即可.【详解】由题意，设，则，所以，即，所以或， 即或，所以复数的虚部为或.故选：A.3.已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】，渐近线方程是，故选C,4.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素（也称互质）的正整数的个数，例如，，．则（）A.数列单调B.C.数列是等比数列D.【答案】C【解析】【分析】再求出，，后判断ABD，同样求得后根据等比数列定义判断C．【详解】，，不单调，A错；，B错误；D错误；易知所有偶数与不互素，所有奇数与互素，，，所以，即数列是等比数列，C正确．故选：C． 5.若实数,满足约束条件,则的（）A.最大值4B.最小值为4C.最大值为5D.最小值为5【答案】D【解析】【分析】画出可行域,由,可知可看作直线在轴上的截距,平移直线即可得出结果.【详解】解:由题知约束条件,画出约束条件如下:联立可得:,可写为:,可看作直线在轴上的截距,由可行域可知,当与重合时,有最小值,最小值为5.故选:D6.设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】方法1：等差数列通项公式的基本量代入不等式组求解即可.方法2：等差数列前n项和公式的基本量代入不等式组求解即可.【详解】方法1：∵为等差数列，，∴，；方法2：∵为等差数列，，∴，∴.故选：A.7.记函数的最小正周期为．若，且的图象的一条对称轴为，关于该函数有下列四个说法：①；②；③在上单调递增；④为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度．以上四个说法中，正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】利用周期公式求出的范围可判断①；由为一条对称轴得，结合的范围可求得，从而得出的解析式，求值可判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用三角函数图象平移的规律可判断④.【详解】由且，故，故①错误；因为为一条对称轴，故，．由于，故，则，所以，故②正确；当时，，则在上单调递增，故③正确；将的图象向右平移个单位长度得的图象，而，故④错误．所以，正确的有②③，共2个．故选：B．8.河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（）A.24B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意得正四棱台的侧面为四个等腰梯形，先计算侧面的高，然后利用梯形的面积公式代入计算即可.【详解】由题意可知，记正四棱台为，其底面为正方形，侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥如图，设是底面上与的交点，是底面上与的交点则是正四棱锥的高，为正四棱台的高，设，，则上、下底面的面积分别为、，由题意，所以，在中，，所以为PA的中点，在中，，所以，所以，又，解得，，所以，所以侧棱长是，由勾股定理可得侧面的高为，所以侧面积为.故选：D9.记的内角，，的对边分别为，，，已知角， ，则角（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得与的关系，进一步计算得出结果.【详解】已知角，，由正弦定理可得，整理得，即，因为，所以，所以.又，所以.故选：C.10.在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．则下列结论错误的是（）A.该模型外接球的半径为B.当时，的长度最小C.异面直线与所成的角为60°D.平面 【答案】B【解析】【分析】把图形补形成一个正方体，根据正方体的性质求解判断各选项：正方体的对角线是其外接球直径，从而易得外接球半径，判断A；过作交于,过作交于,证明是平行四边形，用表示出的长，求得最小值，判断B；求出异面直线所成的角判断C；由线面平行的判定定理证明线面平行判断D．【详解】如图，把该模型补成一个以和为相邻面的正方体，正方体的对角线是其外接球直径，而正方体对角线长为，因此球半径为，A正确；过作交于,过作交于,连接，则，又，，所以，则是平行四边形，，，另一方面，，，，所以时，取得最小值，B错误；正方体中易得，或其补角是异面直线与所成的角，是等边三角形，，因此异面直线与所成的角是，C正确；由，平面，平面，∴平面，D正确．故选：B． 11.已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，，交于点，点的坐标为，则的值为（）A.B.2C.D.3【答案】B【解析】【分析】写出直线AB的方程，联立直线AB的方程与抛物线方程可得与，代入可得P的值.【详解】∵，，∴，，∴∴直线AB的方程为：，即：，设，，，，，∴，又∵，∴，∴，∴.故选：B.12.已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，且满足 ，则（）A.B.0C.2D.2023【答案】B【解析】【分析】由已知条件结合函数奇偶性的定义可求得函数的周期为4，利用赋值法可得，再结合周期可求得结果.【详解】因为为偶函数，所以，所以，因为为奇函数，所以，所以，所以，所以是以4为周期的周期函数，由，令，得，则，又，得，由，令，得，则，由，令，得，则，所以.故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分．）13.的展开式中的项系数为___________；【答案】【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于1，求出的值，即可求得展开式中的系数． 【详解】解：，令，则，所以.故答案为：.14.已知四边形是边长为2的正方形，若，且为的中点，则______．【答案】【解析】【分析】以为基底表示，进而求得.【详解】依题意，在正方形中，且为的中点，所以，，所以.故答案为：15.经过点以及圆与交点的圆的方程为______．【答案】【解析】【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案. 【详解】联立，整理得，代入，得，解得或，则圆与交点坐标为，设经过点以及的圆的方程为,则，解得，故经过点以及圆与交点的圆的方程为，故答案：16.已知函数，若有两个不同的极值点，且，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】先求得函数的导函数，则方程有两个异号零点，且，构造新函数，利用导数求得其单调性，进而求得的取值范围.【详解】，则令，由，可得为偶函数，则则当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，由题意得方程有两个互为相反数的零点，且则的取值范围为故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60分．17.已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用数列中前项和与项的关系求解；（2）先写出奇数项、偶数项的通项公式，再按奇数项、偶数项分组求和.【小问1详解】由题意当时，；当时，两式相减得，所以，当时也成立．所以数列通项公式.【小问2详解】 根据题意，得所以所以18.如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，，分别为，的中点．（1）若点是线段上的点，且，判断点是否在平面内，并证明你的结论；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）点在平面内，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接、交于，连接，以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出、、，即可得到，从而得到、、、四点共面，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】解：连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，所以，，又，得，，所以，所以、、、四点共面，即点在平面内．【小问2详解】解：由（1）可得，设平面的法向量，由，得，令，则，，所以，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．19.世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90 分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响．（1）设甲队踢了5球，为射进点球的个数，求的分布列与期望；（2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】【分析】（1）由题意知，由二项分布求出的分布列与期望；（2）由题意知甲乙两队比分为1：4或2：4，求出相应的概率再相加即可.【小问1详解】由题意知，，可能的取值为0，1，2，3，4，5.，，，，，所以的分布列为X012345 P．【小问2详解】设“第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出”为事件A，由题意知，甲乙两队比分为1：4或2：4，设“甲乙两队比分为1：4”为事件，“甲乙两队比分为2：4”为事件，若甲乙两队比分为1：4，则乙射进4次，甲前三次射进一次，第4次未进，，若甲乙两队比分为2：4，则乙射进4次，甲前四次射进两次，所以．即在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出的概率为．20.已知椭圆：的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）设不过点的直线与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为，记直线，，的斜率分别为，，，若，证明直线的斜率为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率和过点，求出椭圆的方程；（2）根据题意求出，进而，韦达定理带入求出.【小问1详解】由题设得，， 即，解得．所以的方程为．【小问2详解】设直线的方程为，代入得．，设，则，于是．，又，所以．即．，即，，，将，代入整理得，即，当，直线过点，舍去，所以．【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系．21.已知函数，．（1）求的单调区间与最值；（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为,，,，（2）【解析】【分析】（1）对求导后研究的正负，确定的单调性与最值；（2）设由题意知有解，分类讨论的单调性并求最大值即可.【小问1详解】，所以在，上，，单调递增，在,，,上，，单调递减，所以单调递增区间为，，单调递减区间为,，,．，.【小问2详解】设当，即时，，在上单调递增，，，所以成立； 当，即时，，在上单调递减，，即，所以；当时，，当，单调递增，当，单调递减，所以，令，，所以，成立．综上，a取值范围为．【点睛】关键点点睛：函数求导后的计算方向：（1）求导后不要急于求的根，因为有时候会无根，无根的原因是出现恒正或恒负，所以要先考虑会不会出现恒正或恒负的情况，这时候要看的最大值小于等于零或最小值大于等于零.（2）当有正有负时才会有根可求，求根时可以直接解方程，或者猜根，或者使用零点存在定理证明有根.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数， ），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．【答案】（1）C：，直线l：（2）【解析】【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；（2）化直线方程为点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．【小问1详解】曲线C的参数方程为（为参数，），所以，所以即曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为．【小问2详解】直线l过点，直线l参数方程为（t为参数）令点A，B 对应的参数分别为，，由代入，得，则，，即t1、t2为负，故．23.已知．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正实数，，满足，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将的解析式写出分段函数的形式，解不等式即可.（2）先求的最小值，方法1：运用多个绝对值之和最小值求法，方法2：运用函数单调性；再运用“1”的代换与基本不等式可证得结果.【小问1详解】即：①当时，，解得；②当时，，解得； ③当时，，无解，综上：不等式的解集为．【小问2详解】方法1：，当且仅当时等号成立．所以，所以，即.方法2：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以,所以，即.∴，当且仅当，即时，等号成立．