河南省郑州市2022-2023学年高三理科数学下学期第一次质量预测试题（Word版附解析）

郑州市2023年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，．则（）A．B．C．D．2．已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（）A．或B．或C．或1D．或3．双曲线（，）的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．4．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素（也称互质）的正整数的个数，例如．，．则（）A．数列单调B．C．数列是等比数列D．5．若实数，满足约束条件则的（）A．最大值为4B．最小值为4C．最大值为5D．最小值为56．设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（）A．B．C． D．7．记函数的最小正周期为．若，且的图象的一条对称轴为，关于该函数有下列四个说法：①；②；③在上单调递增；④为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度．以上四个说法中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．48．河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（）A．24B．12C．D．9．记的内角，，的对边分别为，，，已知角，，则角（） A．B．C．D．10．在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．则下列结论错误的是（）A．该模型外接球的半径为B．当时，的长度最小C．异面直线与所成的角为60°D．平面11．已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，，交于点，点的坐标为，则的值为（）A．B．2C．D．312．已知函数定义域为R，为偶函数，为奇函数，且满足，则（）A．B．0C．2D．2023二、填空题（每题5分，满分20分．）13．的展开式中的系数是______．14．已知四边形是边长为2的正方形，若，且为的中点，则______．15．经过点以及圆与交点的圆的方程为 ______．16．已知函数，若有两个不同的极值点，，且，则的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60分．17．（12分）已知数列满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列前项和．18．（12分）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，，分别为，的中点．（Ⅰ）若点是线段上的点，且，判断点是否在平面内，并证明你的结论；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响．（Ⅰ）设甲队踢了5球，为射进点球的个数，求的分布列与期望； （Ⅱ）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．20．（12分）已知椭圆：的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过点的直线与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为，记直线，，的斜率分别为，，，若，证明直线的斜率为定值．21．（12分）已知函数，．（Ⅰ）求的单调区间与最值；（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值．23．（10分）已知．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若的最小值为，正实数，，满足，求证．2023年高中毕业年级第一次质量预测理科数学评分参考 一、选择题题号123456789101112答案CACCDABDCBBB二、填空题13．14．15．16．三、解答题17．（1）由题意（2分）当时，；（3分）当时，两式相减得，（4分）所以，当时也成立．（6分）（2）根据题意，得（7分）所以（9分）（12分）18．（1）连接AC、BD交于O，以O为坐标原点，OA、OB、OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系．，（2分）又，得 所以，A、M、E、F四点共面，即点M在平面AEF内．（6分）（2），设平面AEF的法向量，由得，，（8分）所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．（12分）19．（1）由题意知，，可能的取值为0，1，2，3，4，5，（2分），，，，，所以的分布列为X012345P．（6分）（2）设“第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出”为事件A，由题意知，甲乙两队比分为1：4或2：4，设“甲乙两队比分为1：4”为事件，“甲乙两队比分为2：4”为事件，若甲乙两队比分为1：4，则乙射进4次，甲前三次射进一次，第4次未进，（8分）若甲乙两队比分为2：4，则乙射进4次，甲前四次射进两次，所以．（10分）即在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出的概率为．（12分） 20．（1）由题设得，解得．（3分）所以的方程为．（5分）（2）设直线的方程为，代入得．（6分）于是．（7分）设，则，，又，所以．（8分）即．，即，，，将代入整理得，即，（10分）当，直线过点，舍去，所以．（12分）21．(1)，所以在，上，，单调递增，（2分）在，，，上，，单调递减，（3分） 所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．（5分）（2）设（6分）当，即时，，在上单调递增，（7分），，所以成立；当，即时，，在上单调递减，，，所以；（8分）当时，，当，单调递增，当，单调递减，（9分），，令，，所以，成立．综上，a的取值范围为．（12分）22．（1）曲线C的参数方程为，所以，所以即曲线C的普通方程为．（3分） 直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为．（5分）（2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，由代入，得，则，，（8分）故（10分）23．（1）①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，无解，综上：不等式的解集为．（5分）（2）因为，当且仅当时等号成立．所以，即， ，当且仅当，即时，等号成立．（10分）