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河南省顶尖名校2021-2022学年高三理科数学下学期第三次素养调研试题(WORD版含答案)
河南省顶尖名校2021-2022学年高三理科数学下学期第三次素养调研试题(WORD版含答案)
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河南省顶尖名校2021-2022学年高三下学期第三次素养调研理科数学试卷本试卷考试时间120分钟,满分150分。注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合B={0,1,2},C={-1,0,1},非空集合A满足AB,AC,则符合条件的集合A的个数为A.3B.4C.7D.82.已知复数z满足(2+i)z=|4-3i|(i为虚数单位),则z=A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2i3.某街道甲、乙、丙三个小区的太极拳爱好者人数如右侧的条形图所示.该街道体协为普及群众健身养生活动,准备举行一个小型太极拳表演.若用分层抽样的方法从这三个小区的太极拳爱好者中抽取12名参加太极拳表演,则丙小区应抽取的人数为A.2B.3C.4D.64.已知椭圆C:(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C的上顶点,若∠F1PF2=,则b=A.3B.5C.7D.95.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(1,0)和圆O:x2+y2=1,在圆O上任取一点Q,连接PQ,则直线PQ的斜率大于-的概率是A.B.C.D.6.数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣,用以下方法画出了如图所示的螺旋线.具体作法是:先作边长为1的正三角形ABC,分别记射线AC,BA,CB为l1,l2,l3,以C为圆心、CB为半径作劣弧BC1交l1于点C1;以A为圆心、AC1为半径作劣弧C1A1交l2于点A1;以B为圆心、BA1为半径作劣弧A1B1交l3于点B1,…,依此规律作下去,就得到了一系列圆弧形成的螺旋线.记劣弧BC1的长,劣弧C1A1的长,劣弧A1B1的长,…依次为a1,a2,a3,…,则a1+a2+…+a9= A.B.C.D.7.已知△ABC是边长为4的等边三角形,D为BC的中点,点E在边AC上,且=(0<<1),设AD与BE交于点P,当变化时,记m=·,则下列说法正确的是A.m随的增大而增大B.m先随的增大而增大后随的增大而减少C.m随的增大而减小D.m为定值8.设是给定的平面,A和B是不在内的任意两点,则下列命题正确的是①在内存在直线与直线AB异面②在内存在直线与直线AB相交③存在过直线AB的平面与垂直④存在过直线AB的平面与平行A.①④B.②③C.①③D.②④9.快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求,也提供了大量的就业岗位,出现了大批快递员.某快递公司接到甲、乙两批快件,基本数据如下表:快递员小马接受派送任务,小马的送货车载货的最大容积为350立方分米,最大载重量为250千克,小马一次送货可获得的最大工资额为A.150元B.170元C.180元D.200元10.已知函数则方程(x-1)f(x)=1的所有实根之和为A.2B.3C.4D.111.已知函数(>0),若f(x)在区间(,)上不存在零点,则的取值范围是A.(0,]B.(0,]∪[,]C.(,)∪(,1]D.[,]12.已知双曲线E:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作圆O: x2+y2=a2的切线,切点为T,延长F2T交双曲线E的左支于点P.若|PF2|>2|TF2|,则双曲线E的离心率的取值范围是A.(2,+∞)B.(,+∞)C.(,)D.(2,)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若展开式中各项系数的和等于64,则展开式中的系数是________.14.已知三棱锥中,侧棱底面ABC,,,则三棱锥的外接球的表面积为__________.15.已知数列满足,则__________.16.对于函数,若存在区间(),使得,则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数:①;②;③;④.其中存在“稳定区间”的函数有_____(填上所有符合要求的序号)三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在锐角中,角,,所对的边分别为,,,,从以下三个条件中任选一个:①;②;③,解答如下的问题(1)证明:;(2)若边上的点满足,求线段的长度的最大值.18.(12分)某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别,,,,(单位:克)中,经统计频率分布直方图如图所示. (1)估计这组数据的平均数;(2)在样本中,按分层抽样从质量在,中的芒果中随机抽取10个,再从这10个中随机抽取2个,求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率;(3)某经销商来收购芒果,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表,用样本估计总体,该种植园中共有芒果大约10000个,经销商提出以下两种收购方案:方案①:所有芒果以10元/千克收购;方案②:对质量低于350克的芒果以3元/个收购,对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购.请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?19.(12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中,侧棱底面,,点是的中点,作交于点.(1)求证:平面;(2)若平面与平面所成的二面角为,求.20.(12分)已知抛物线,直线交于、两点,且当时,.(1)求的值;(2)如图,抛物线在、两点处的切线分别与轴交于、,和交于,.证明:存在实数,使得.21.(12分)已知函数.(1)讨论的零点个数;(2)若,求证:.(二)选考题,共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线:(为参数,实数),曲线: (为参数,实数).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:,(,)与交于O,A两点,与交于O,B两点.当时,;当时,.(1)求a,b的值;(2)求的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知,若在R上恒成立.(1)求实数a的取值范围;(2)设实数a的最大值为m,若正数b,c满足,求bc+c+2b的最小值.理科数学答案ABCADADCBABC13.14.15.16.②,③17.(1)选条件①:由,得,由正弦定理可得:,因为,所以,所以,因为,所以,即,因为,所以;在中,由正弦定理可得:,所以,即证;选择条件②:由正弦定理可得:, 又因为,所以,化简整理得:,由,所以,又,所以,在中,由正弦定理可得:,所以,即证;选择条件③:由已知得:,由余弦定理得,所以,因为,所以,由正弦定理可得:,因为,所以,又,所以,在中,由正弦定理可得:,所以,即证;(2)由及,可得,在中,由余弦定理可得:,因为为锐角三角形,所以,解得:,所以,所以当即时,取最大值为,所以线段的长度的最大值为.18.(1)由频率分布直方图可得这组数据的平均数为:(克);(2)由题可知质量在,中的频率分别为0.2,0.3,按分层抽样从质量在,中的芒果中随机抽取10个,则质量在中的芒果中有4个,质量在中的芒果中有6个, 从这10个中随机抽取2个,共有种等可能结果,记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”,则事件A有种等可能结果,∴;(3)方案①收入:(元);方案②收入:由题意得低于350克的收入:(元);高于或等于350克的收入:(元).故总计(元),由于,故种植园选择方案②获利更多.19.(1)设,,如图,以为坐标原点,所在方向分别为,,轴的正半轴,建立空间直角坐标系.则,,,,因为点是的中点,所以,,,于是,即,又已知,而,所以平面.(2)由平面,所以是平面的一个法向量;由(1)知,平面,所以是平面的一个法向量.若面与面所成二面角的大小为,则,解得.所以,故当面与面所成二面角的大小为时,.20.(1)解:将代入得,设、,则,由韦达定理可得,则,解得或(舍),故. (2)将代入中得,设、,则,由韦达定理可得,对求导得,则抛物线在点处的切线方程为,即,①同理抛物线在点处的切线方程为,②联立①②得,所以,所以点的坐标为,当时,即切线与交于轴上一点,此时、、重合,由,则,又,则存在使得成立;当时,切线与轴交于点,切线与轴交于点,由,得的中点,由得,即,又,所以,所以,,又,所以存在实数使得成立.综上,命题成立.21.(1)由题意(其中),只需考虑函数在的零点个数.①当时,函数在内没有零点,②当时,函数在单调递增,取时,,时,,此时在存在唯一个零点,且.③当时,,则时,;时,.所以在上单调递减,在上单调递增. 则是函数在上唯一的极小值点,且.取时,,取时,.因此:若,即时,没有零点;若,即时,有唯一个零点;若,即时,有且仅有两个零点.综上所述,时,有两个零点;或时,有唯一个零点;时,没有零点.(2)不等式即为(其中),先证时,.令,则,则单调递增,所以,则.所以,故只需证明即可.即证明(其中),令,,只需证明即可.又,,则时,;时,.所以在上单调递增,在上单调递减.则时,取得极大值,且,也即为最大值.由得.则时,;时,.所以在上单调递减,在上单调递增.则时,取得极小值,且,也即为最小值.由于, 即有,则,所以时,不等式成立,则不等式也成立.22.(1)由曲线:(为参数,实数),化为普通方程为,展开为:,其极坐标方程为,即,由题意可得当时,,∴.曲线:(为参数,实数),化为普通方程为,展开可得极坐标方程为,由题意可得当时,,∴.(2)由(1)可得,的极坐标方程分别为,.∴,∵,∴的最大值为,当,时取到最大值.23.(1)令,则由解析式易知,,因为在R上恒成立,所以,即(2)由(1)可知,,则.当且仅当,即时,取等号.故的最小值为
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高中 - 数学
发布时间:2022-04-22 15:00:52
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文章作者:随遇而安
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