重庆市铜梁区2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2022年春期高2024级高一（下）期末考试数学试卷注意事项：1．考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟．卷Ⅰ（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.设复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限.故选：D2.已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可.【详解】解：由题知，，，所以，的平均数为， 的方差分别.故选：D3.设，为两个平面，则的充要条件是A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．4.已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：169966151525271937592408569683471257333027554488730863537039据此估计的值为（）A.0.6B.0.65C.0.7D.0.75【答案】B【解析】【分析】由20组随机数中找出至少2次击中目标的包含的随机数的组数，即可求概率的值.【详解】20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：151525271592408471257333027554730537039一个有组， 所以其3次射击至少2次击中目标的概率，故选：B.5.在正四棱台中，，则该四棱台的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出轴截面，过点作，结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可.【详解】解：作出轴截面如图所示，过点作，垂足为，因为正四棱台中，所以，，，即梯形为等腰梯形，所以，，所以，该四棱台的体积为故选：B6.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，画出示意图，在三角形OAB中利用正弦定理即求解.【详解】解：如图所示，，由正弦定理可得，即，化简得，故选：A.7.在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题设且，结合向量数乘、加法的几何意义可得，再由已知条件即可得的值.【详解】由题意，且，而，所以，即， 由已知，，则.故选：D8.正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正八面体的定义知，其内切球的球心在正八面体的中心，以内切球的球心为顶点、可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，利用等体积法可得其内切球的半径，从而得到其内切球的表面积.【详解】以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，设内切球的半径为，则，且正四棱锥的高为图中，易得，即：解得：，所以，内切球的表面积为.故选：C． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长（单位：小时）进行了统计，得到如下频率分布表：分组[2，3)[3，4)[4，5)[5，6)频率0.250.300.200.25则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长有关的说法正确的有（）A.众数大约为2.5B.中位数大约为4C.平均数大约3.95D.第80百分位数大约为5.2【答案】BCD【解析】【分析】根据频率分布表性质逐项分析求解即可.【详解】对于A，根据频率分布表可得，高一年级学生每周体育锻炼时长众数为，错误；对于B，设高一年级学生每周体育锻炼时长中位数为，则，解得，正确；对于C，高一年级学生每周体育锻炼时长平均数约，正确；对于D，因为，所以高一年级学生每周体育锻炼时长的第80百分位数大约为，正确.故选：BCD.10.在正方体中，已知点分别为棱上动点（含端点），设直线与直线的所成角为，直线与平面所成角为，则（）A.直线与的所成角为B.C.直线与平面的所成角为D. 【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用线面垂直的性质可判断，从而判断A；确定取到最大和最小值时的位置，求得最大角和最小角，即可判断B;根据线面角的定义可求得直线与平面的所成角，判断C;根据线面角的定义找到，结合其正弦值，确定其最大值和最小值，可判断D.【详解】对于A，连接,则,又因为平面,平面,故,平面故平面,而平面,故,故直线与的所成角为，A正确；对于B,当P点位于B点时，直线与直线即BC的所成角最小，最小角为,当P沿BA向A移动时，不妨假设在平面上平行向移动，此时直线与直线所成角逐渐变大，当P点位于A点时，直线与直线即AC的所成角最大，最大角为,此时连接,为正三角形，故，故，B正确；对于C，由于平面ABCD,BC为在平面ABCD上的射影，故为直线与平面的所成角，由于，故直线与平面的所成角为，C正确；对于D，连接,则,而平面,平面, 故,平面,故平面,设,连接PQ,则为直线与平面所成角即，且,设正方体棱长为2，则，当Q点位于时，最小，取最大值，此时，故，当Q点位于时，最大，取最小值，此时，故，故，D错误，故选：ABC11.如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（）A.B.C.3D.【答案】BC【解析】【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、圆的性质进行求解即可.【详解】由题意： 因为正六边形的边长为2，所以圆心到各边的距离为：，所以，所以，故选：BC．12.在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由正弦定理将条件转化为角的关系，判断A，结合内角和定理和条件及余弦函数的性质判断B，C，由余弦定理将条件转化为边的关系，判断D.【详解】因为，由正弦定理可得，所以，又为锐角三角形，所以，，所以，正弦函数在上单调递增，所以，所以，A正确；因为为锐角三角形，所以，，，所以，，，所以，B正确；因为，所以，所以，所以，因为，所以，C错误； 因为，由余弦定理可得，所以，所以，D正确，故选：ABD.卷Ⅱ（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡相应位置上）13.已知复数的虚部为2，且为纯虚数，则__________．【答案】【解析】【分析】由纯虚数的定义列方程求出复数的实部，再由模的公式求.【详解】因为复数的虚部为2，故可设，所以，由为纯虚数可得且，所以，所以，故答案为：.14.甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，故该密码被成功破译的概率． 故答案为：．15.向量，已知与同向，则与垂直的单位向量的坐标为____________．【答案】或【解析】【分析】根据向量加法的坐标表示求出，再根据共线向量的坐标表示求出，注意排除反向这一情况，设与垂直的向量为，，求出的关系式，再根据单位向量的坐标公式计算即可得解.【详解】解：由，得，因为与同向，所以，则，解得或，当时，，同向，当时，，反向，所以，故，设与垂直的向量为，，则，所以，故与垂直的向量为，则与垂直的单位向量的坐标为，即与垂直的单位向量的坐标为或.故答案为：或. 16.如图，正四面体的体积为，E、F、G、H分别是棱AD、BD、BC、AC的中点，则_________，多面体的外接球的体积为__________.【答案】①.1②.【解析】【分析】将正四面体放入正方体，利用正方体的性质即得，设AB的中点为O，进而可得多面体的外接球的球心为，然后利用体积公式即得.【详解】如图，将正四面体嵌入到正方体中，则正四面体的体积为正方体体积的，设正方体的边长为，则，，所以，是的中位线，所以. 设AB的中点为O，连接OE，OF，OG，OH，因为，所以多面体的外接球的球心为，半径为1，外接球的体积为.故答案：1；.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分．把必要的解答过程写在答题卡相应位置上）17.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如下：（1）求直方图中的值；（2）在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【答案】（1）（2）5户【解析】 【分析】（1）根据小矩形的面积和为1求解即可；（2）根据分层抽样的方法求解即可.【小问1详解】解：由直方图的性质可得：，解方程可得：所以，小问2详解】解：由直方图可得：月平均用电量为[220，240)的用户有户，月平均用电量为[240，260)的用户有户，月平均用电量为[260，280)的用户有户，月平均用电量为[280，300]的用户有户，抽取比例为，所以月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取户．18.已知向量满足：，，．（1）若，求在方向上的投影向量；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据投影向量定义可得在方向上的投影向量为，结合条件化简即可；(2)根据向量的模的性质由条件求出的表达式，再通过换元法求其最小值.【小问1详解】由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为： ；【小问2详解】又，，所以令所以所以当时，取到最小值为19.在中，角所对的边分别为，且（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【小问1详解】由，根据正弦定理得：，又，代入上式得：，又，所以，又，所以； 【小问2详解】由题意：的面积为：由余弦定理得：，即：，所以的周长为.20.如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面．（1）证明：；（2）证明：平面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明出，利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）取的中点，连接，取的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立.【小问1详解】证明：因为四边形为等腰梯形，则，因为，则，所以，，故，，即，平面平面，平面平面，平面，平面， 平面，.【小问2详解】证明：取的中点，连接，取的中点，连接、，因为，，则，，因为，且为的中点，所以，且，因为，为的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，、分别为、的中点，故，平面，平面，平面.，、平面，平面平面，平面，平面.21.为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．（1）求p和q的值；（2）求甲、乙两人共答对3道题的概率．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解； （2）先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率，再由甲乙总共答对3道题，等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得.【小问1详解】设A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则，．设C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题，则，．∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，∴A与B相互独立，与互斥，∴,．由题意得解得或∵，∴，．【小问2详解】设：甲同学答对了i道题，:乙同学答对了i道题，．由题意得，，，．设E：甲、乙两人共答对3道题，则，∴，∴甲、乙两人共答对3道题的概率为．22.在《九章算术·商功》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．如图，现将一矩形沿着对角线将折成，且点在平面内的投影在线段上．已知． （1）证明：三棱锥为鳖臑；（2）点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】(1)结合面面垂直判定定理和性质定理证明平面平面，再由线面垂直判定定理证明平面，由此证明三棱锥的四个面都为直角三角形即可；(2)由，结合锥体体积公式求解；(3)根据二面角平面角的定义确定二面角的平面角，解三角形确定其正弦值.【小问1详解】因为点在平面内的投影在线段上，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面又平面，且所以平面又平面，所以，，又，且，且平面所以平面，因为平面，所以，因为，，，，所以都为直角三角形，所以三棱锥为鳖臑；【小问2详解】设点到平面的距离为由（1）可知：，又， 所以，又所以又所以所以，所以【小问3详解】过点作的垂线，垂直为，连接，因为平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，又所以二面角的平面角为又，且，所以所以所以二面角的正弦值为．