理论力学课件26.3 刚体惯性力系向一点的简化

3、刚体惯性力系的简化达朗贝尔原理（动静法） 3、刚体惯性力系的简化简化方法采用静力学中的力系简化的理论。将所有虚拟的惯性力视作一个力系向任一点O简化而得到一个惯性力FIR（主矢）和一个惯性力偶MIO（主矩）。FIRFiI(miai)d2(mr)d2(mr)考虑到：maiiCmaii2dtdt2C故：FIR(miai)maC与简化中心无关无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。MIOMO(FiI)ri(miai)一般与简化中心有关达朗贝尔原理（动静法） 3、刚体惯性力系的简化1、刚体作平移向质心C简化：FIRFiI(mia)maCMICMC(FiI)ri(miaC)(miri)aCmrCaC0rC质心到简化中心C的矢径。MFICm11IaFaIRm2CF2ICmFnIn刚体平移时惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。FmaIRC达朗贝尔原理（动静法） z3、刚体惯性力系的简化2、刚体定轴转动向转轴上任一点O简化：ω刚体上任一点i的惯性力：Onn2rixiyFiImiaimiriimirimiyii90iFnFiIiIFnFiIFmamriIiIiiiiziOxxiy惯性力系对x，y，z轴的矩，分别以MIx，yiMIy，MIz表示iMx(F)MnαMIxiIx(FiI)xmrcosizmr2sinziiiiiiimxz2yziiimiii考虑到：cosixisiniyirrii达朗贝尔原理（动静法） 3、刚体惯性力系的简化Mmxz2myiziIxiiii令：Jmxz称为对z轴的惯性xziii积，取决于刚体质量对于坐标轴Jmyzyziii的分布情况2MJJIxxzyz同理可得惯性力系对y轴的矩MIy为：2MJJIyxzyz而惯性力系对转轴z轴的矩MIz为：MM(F)mrrIzziIiii(mr2)Jiiz刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点O简化主矩为：MMiMjMkIOIxIyIz达朗贝尔原理（动静法） 3、刚体惯性力系的简化惯性积的物理意义当刚体绕某个轴（例如z轴）转动时，这样的两个积分:JmiyiziJmxz称之为对该转轴的惯性积。yzxziii它是表示刚体转动惯性的量。质量是表示刚体平移惯性的量。转动惯量Jz能够准确描述刚体绕定轴转动时的转动惯性?zz转动惯量Jz和惯性积Jxz和Jyz一起才能完整描述绕z轴转动时的转动惯性。当刚体在空间绕定点转动时，可以分解成绕过该定点的三根坐标轴转动，此时刚体的转动惯性需要通过刚体对三个坐标轴的转动惯量（3个）和对三个坐标轴的惯性积（6个），Jz=mr2/2J=mr2/2z一共9个量来描述。JJJxxyxzzJOJyxJyJyz惯性张量JJJzxzyz转动惯量Jz描述的是刚体的质量分布相对于转轴的集中度；O惯性积Jxz和Jyz描述的是刚体的质量分布相对于转轴的对称度。达朗贝尔原理（动静法） 3、刚体惯性力系的简化如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心O取为此平面与转轴的交点，则zJyzmiyizi0OJmxizi0xziA(x,y,z)z轴为刚体过O点的一个惯性主轴A(x,y,-z)惯性力系简化的主矩为:MMJIOIzz当刚体质量有对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。达朗贝尔原理（动静法） 3、刚体惯性力系的简化3、刚体作平面运动假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为ωa随基点（质点C）的平移：FIRmaCC绕通过质心轴的转动：MJICCFIRMICαFIRmaC作用于质心CMJICC总结不论刚体作何种运动,其惯性力系的主矢大小均等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。刚体平移时，惯性力系对质心的主矩为零；刚体定轴转动时，惯性力系对转轴上一点O的主矩由其三个分量确定；刚体平面运动时，惯性力系对质心C的主矩大小等于对通过质心C且垂直于质量对称面的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。达朗贝尔原理（动静法） 3、刚体惯性力系的简化例3如图所示均质杆的质量为m，长为l，绕定轴O转动的角速度为，角加速度为。试计算并画出惯性力系向O点简化的结果。解：杆做定轴转动，惯性力系向转轴上的一点O点简化O主矢FIO=-maC主矩MIO=-JOC主矢大小：llFIOmFnm22IO2FIOO主矩大小：MIOn1Fml2IOMCIO3注意：此处不能以FIO=-maC，惯性力与质心加速度aC相反为由，而把惯性力系主矢画在C点。如果这样画的话是绝对错误的。达朗贝尔原理（动静法） 例4如图所示电动机定子及其外壳总重量为m1，质心位于O处。转子的质量为m2，3、刚体惯性力系的简化质心位于C处，偏心距OC=e，图视平面为转子的质量对称平面。电动机用地脚螺钉固定于水平基座上，转轴O与水平基座间的距离为h。运动开始时，转子质心C位于最低位置，转子以匀角速度转动，求电动机受到的总的约束力。解：取电动机整体为研究对象，分析受力。y分析运动，虚加惯性力（偶），OC2φFIF的大小为：Fm1gm2ghIIm2eMAFAxx由达朗贝尔原理（动静法），列静力学平衡方程：AFAyFx0FxF1sin0Fy0Fy(m1m2)gF1cos0MA0Mm2gesinFIhsin0代入φ=ωt，得到：Fme2sint,F(mm)gme2cost,Mmgesintme2hsintx2y12222思考：(1)、电动机受到的约束力有什么变化规律，与静止时相比有什么不同？(2)、如果转子是加速转动，除了角速度，还有角加速度，此时又该如何分析？达朗贝尔原理（动静法）