湘教版选修2-2课件4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值

4.3.3三次函数的性质：单调区间和极值 [学习目标]1．理解函数最值的概念，了解函数最值与极值的区别和联系．2．会用导数求在闭区间上三次的多项式函数的最大值、最小值． [知识链接]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？ 答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值． [预习导引]三次函数的导数零点与其单调区间和极值设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，F′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．填写下表：当a>0时， ≥(－∞，u)∪(v，＋∞)(u，v) F(x)的单调性在(－∞，＋∞)上在(－∞，＋∞)上在(－∞，u)和(v，＋∞)上；在(u，v)F′(x)的极值在处取极大值；处取极小值递增递增递增上递减x＝u在x＝v无无 当a<0时，F′(x)的零点F(x)、F′(x)的性质无x＝wx＝u和x＝v(u<v)F′(x)的符号F′(x)<0F′(x)≤0x∈时，F′(x)<0；x∈时，F′(x)>0(－∞，u)∪(v，＋∞)(u，v) F(x)的单调性在(－∞，＋∞)上在(－∞，＋∞)上在(－∞，u)和(v，＋∞)上；在(u，v)上；F(x)的极值无无在x＝u处取，在x＝v处取递减递减递减递增极小值极大值 要点一　求三次函数的单调区间和极值点例1求下列函数的单调区间和极值点：(1)f(x)＝2x3＋3x2＋6x＋1；(2)f(x)＝－2x3＋9x2－12x－7. 解(1)f′(x)＝6x2＋6x＋6＝6(x2＋x＋1)，由于f′(x)恒正，∴f(x)在(－∞，＋∞)上递增，无极值点．(2)f′(x)＝－6x2＋18x－12＝－6(x2－3x＋2)＝－6(x－1)(x－2)，∴f′(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上均为负，在(1,2)上为正，∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上递减，在(1,2)上递增，∴f(x)在x＝1处取到极小值，在x＝2处取到极大值． 规律方法对此类题目，只要理解了f′(x)的符号对函数f(x)取极值的影响，所有问题便迎刃而解，所以重要的是方法的领悟． 要点二　求函数在闭区间上的最值例2求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]． 解(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60极大值4极小值3极大值4－5 (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f′(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2. 规律方法(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． (2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2.x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5. 要点三　函数最值的应用例3设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围． 解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)递增1－m递减 ∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)． 跟踪演练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c＞f(1)， ∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞). 再见