苏教版必修第一册课后习题5.4 第1课时 奇偶性的概念 第2课时 奇偶性的应用

第5章函数概念与性质5.4　函数的奇偶性第1课时　奇偶性的概念　第2课时　奇偶性的应用1.以下函数为奇函数的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.y=-2xB.y=2-xC.y=x2D.y=2x,x∈(0,1)答案A解析f(x)=-2x的定义域为R,定义域关于原点对称,f(-x)=2x=-f(x),y=-2x是奇函数,A符合题意;y=2-x既不是奇函数又不是偶函数,B不符合题意;y=x2是偶函数,C不符合题意;y=2x,x∈(0,1),定义域不关于原点对称,即既不是奇函数又不是偶函数,D不符合题意.故选A.2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2-12x,则f(1)=(　　)A.-32B.-12C.32D.12答案A解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-32.3.函数f(x)=2x-1x的图象关于(　　)A.y轴对称B.直线y=-x对称 C.直线y=x对称D.原点对称答案D解析函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则f(-x)=-2x+1x=-2x-1x=-f(x),则函数f(x)是奇函数,则函数f(x)=2x-1x的图象关于原点对称.故选D.4.若f(x)=(x-a)(x+3)为R上的偶函数,则实数a的值为(　　)A.-3B.3C.-6D.6答案B解析因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x-a)(-x+3)=(x-a)(x+3),化简得(6-2a)x=0.因为x∈R,所以6-2a=0,即a=3.5.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=　　　　. 答案-5解析由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,∴f(-2)+f(0)=-5.6.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　. 答案13　0解析由题意可知,f(-x)=f(x),即2bx=0,∴a-1+2a=0,b=0,∴a=13,b=0.7函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是　　　　　　. 答案(-∞,-3]∪[3,+∞)解析因为函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数.因为f(a)≤f(3),所以f(|a|)≤f(3),所以|a|≥3,解得a≤-3或a≥3.所以a的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞). 8.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0.解∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,∴由f(1-x)+f(1-2x)<0,得f(1-x)<-f(1-2x),∴f(1-x)<f(2x-1).又f(x)在(-1,1)上是减函数,∴-1<1-x<1,-1<2x-1<1,1-x>2x-1,解得0<x<23,∴原不等式的解集为0,23.9.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+ax.(1)求f(0);(2)若a=-2,求函数f(x)的解析式;(3)若函数f(x)为R上的减函数,求a的取值范围.解(1)因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.(2)当a=-2时,f(x)=-x2-2x,x>0.当x<0时,-x>0,即f(-x)=-f(x)=-x2+2x,即f(x)=x2-2x.当x=0时,f(0)=-02-2×0=0,则f(x)=-x2-2x,x≥0,x2-2x,x<0.(3)当x<0时,-x>0,即f(-x)=-f(x)=-x2-ax,所以f(x)=x2+ax,从而f(x)=-x2+ax,x≥0,x2+ax,x<0.因为f(x)为R上的减函数,所以x=a2≤0,解得a≤0.故a的取值范围为(-∞,0].10.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于(　　)A.-1B.1C.0D.2答案A 解析因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},根据奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b有一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.11.已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)=(　　)A.21B.-21C.26D.-26答案B解析设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数,由题设可得f(-3)=g(-3)-8=5,求得g(-3)=13.又g(x)为奇函数,所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21.12函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),有f(x2)-f(x1)x2-x1<0,且函数f(x+1)为偶函数,则(　　)A.f(1)<f(-2)<f(3)B.f(3)<f(-2)<f(1)C.f(-2)<f(3)<f(1)D.f(-2)<f(1)<f(3)答案C解析因为对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),有f(x2)-f(x1)x2-x1<0,所以对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),x2-x1与f(x2)-f(x1)均为异号,所以f(x)在[1,+∞)上是减函数.又函数f(x+1)为偶函数,即f(x+1)=f(1-x),所以f(-2)=f(4).所以f(-2)=f(4)<f(3)<f(1).故选C.13.若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数,则函数f(x)的增区间为(　　)A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.[1,+∞) 答案A解析因为函数为偶函数,所以a+2=0,a=-2,即该函数f(x)=-2x2+1,所以函数在(-∞,0]上是增函数.14若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(-1)=0,则使得(x2-4)f(x)>0的x的取值范围是(　　)A.⌀B.(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)答案B解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(-1)=0,所以f(1)=0,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.由题意可知,x2-4=0不满足条件.①当x≤0时,若x2-4<0,可得-2<x≤0,则由(x2-4)f(x)>0得f(x)<0=f(-1),可得-1<x≤0;若x2-4>0,可得x<-2,则由(x2-4)f(x)>0得f(x)>0=f(-1),可得x<-1,所以x<-2.②当x>0时,若x2-4<0,可得0<x<2,则由(x2-4)f(x)>0得f(x)<0=f(1),可得0<x<1;若x2-4>0,可得x>2,则由(x2-4)f(x)>0得f(x)>0=f(1),可得x>1,所以x>2.综上所述,x的取值范围为(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞).故选B.15.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是(　　)A.f(x)的最大值为14B.f(x)在-1,-12是增函数C.f(x)>0的解集为(-1,1) D.f(x)+2x≥0的解集为[0,3]答案ABD解析∵f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=-x2+x=-x-122+14,f(x)最大值是14,∴当x≤0时,f(x)最大值也是14,故A正确;f(x)在12,1上是减函数,因此f(x)在-1,-12上是增函数,故B正确;f(0)=0,故C错误;当x≥0时,f(x)+2x=3x-x2≥0,解得0≤x≤3,当x≤0时,-x≥0,f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)2=-x-x2,f(x)+2x=x-x2≥0,解得0≤x≤1.综上,f(x)+2x≥0的解集是[0,3],故D正确.故选ABD.16.(多选已知函数y=f(x+2)是偶函数,且y=f(x)在(0,2)上是增函数,则下列结论一定正确的有(　　)A.函数y=f(x-2)是偶函数B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.f72<f(1)<f52D.y=f(2x)在(1,2)上单调递减答案BCD解析y=f(x+2)是偶函数,x=0是其对称轴,把它的图象向右平移4个单位长度得y=f(x-2)的图象,其对称轴为x=4,不能判断它是偶函数,故A错误;把y=f(x+2)的图象向右平移2个单位长度得y=f(x)的图象,因此x=2是y=f(x)图象的对称轴,故B正确;由B可得f(1)=f(3),f(x)在(2,4)上是减函数,∴f52>f(3)>f72,故C正确;y=f(x)在(2,4)上是减函数,由2<2x<4得1<x<2,∴y=f(2x)在(1,2)上是减函数,D正确.故选BCD.17.设函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,则a=　　　　. 答案-1解析∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即(-x+1)(-x+a)-x=-(x+1)(x+a)x.显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,得a=-1.18.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=　　　　. 答案-x2-x解析当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-(-x)]=-x2-x.19.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.(1)求b的值;(2)若f(x)在[0,2]上是增函数,且f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.解(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,所以f(0)=0,解得b=0.(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数.因为f(m)+f(m-1)>0,所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),所以m-1>-m,-2≤-m≤2,-2≤m-1≤2,解得12<m≤2,所以m的取值范围为12,2.20已知定义在[-3,3]上的函数y=f(x)是增函数.(1)若f(m+1)>f(2m-1),求m的取值范围;(2)若函数f(x)是奇函数,且f(2)=1,解不等式f(x+1)+1>0.解(1)由题意可得-3≤m+1≤3,-3≤2m-1≤3,m+1>2m-1,解得-1≤m<2,即m的取值范围是[-1,2). (2)∵函数f(x)是奇函数,且f(2)=1,∴f(-2)=-f(2)=-1,∵f(x+1)+1>0,∴f(x+1)>-1,∴f(x+1)>f(-2),∴x+1>-2,-3≤x+1≤3,∴-3<x≤2.∴原不等式的解集为(-3,2].21已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)当f(x)为偶函数时,求使得不等式f(x)≥k|x|恒成立的实数k的取值范围.解(1)当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),∴f(x)为偶函数;当a≠0时,f(-x)=(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x+a|+1,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.综上,当a=0时,f(x)为偶函数,当a≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)由(1)知,若f(x)为偶函数,则a=0,则f(x)=x2+|x|+1,∴f(x)≥k|x|等价于x2+|x|+1≥k|x|,当x=0时,不等式化为1≥0,恒成立,满足题意;当x≠0时,不等式等价于k≤|x|+1|x|+1,又|x|+1|x|+1≥2|x|·1|x|+1=3,当且仅当|x|=1|x|,即x=±1时,等号成立,∴k≤3.故实数k的取值范围为(-∞,3].