湘教版必修第三册教案6.2.1 点、线、面的位置关系

点线面的位置关系【教材分析】“平面的基本性质”是立体几何的起始课，立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法。平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础，“平面”是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是一个描述而不定义的原始概念，是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何平面化的过程中具有重要的桥梁作用。【学情分析】在高一学生已经学习了有关集合的内容，并且经过函数、方程、不等式，三角函数等一系列内容对集合语言的应用，学生已经非常熟悉，所以很容易发现并掌握用集合语言表示空间点、线、面位置关系的符号语言。同时也容易理解数学命题即推论1．2．3，但是对于应用公理证明推论，学生存在一定的难度。【教学目标】（1）知识与能力1．掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2．正确使用集合符号表示空间中点线面的关系；3．了解平面的基本性质及其推论，能熟练地转换文字语言、符号语言和图形语言；4．熟悉几何证明题的基本格式，并能够运用平面的基本性质解决问题；（2）过程与方法1．经历用集合符号表示空间图形位置关系的过程，体验数学的简洁美；2．经历将公理的文字语言转换为符号语言和图像语言的过程，发展学生的空间想象能力及解决问题的能力，培养数学中正确的书写证明格式；3．经历用公理证明推论的过程，培养学生的论证推理能力，体会数学的严密性。（3）情感态度价值观培养成学生善于思考的学习习惯和一丝不苟的学习品质【教学重点】平面的基本性质及与符号语言之间的转换 【教学难点】运用公理证明推论【授课类型】新授课【教学方法】讲授式教学【教学过程】教学环节教学活动设计意图创设新知引入新课一.平面的表示以往我们所学的几何是平面几何，研究的是平面图形的性质、计算等。今天我们开始学习一门新的学科——立体几何。立体几何的研究对象是三维空间的图形的性质、画法等。因此，需要我们在学习过程中通过严密的逻辑推理把三维空间图形问题转化为平面图形问题。今天我们学习点、线、面的位置关系。提问：回顾一下我们是怎么样表示点的呢？怎样表示直线呢？那怎么表示平面呢？什么叫平面？生活中的平面有哪些？桌面、黑板等都是，但是这些不是我们数学意义上的平面。数学上的平面是一个不加定义的概念，一个平面可以把空间分成两部分，这正如直线是无限延伸的，一条直线可以把平面分为两部分。平面特征：“无限延展”、“无厚薄”平面表示：平行四边形（1）希腊字母；（2）平面ABCD；（3）平面AC或平面BD．简要阐述立体几何的重要地位，为学习新的知识做好铺垫。 ßßßß点线面的基本关系：空间图形的基本元素是点、直线、平面。从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示。图形符号语言文字语言（读法）点点线点A在直线a上点A不在直线a上点点面点A在平面上点A不在平面上线线线点A在直线a上线线面αaαaαaαaa∩α＝Aa∩α＝φ或a∥α直线a在平面α内，或称平面α通过直线a直线a与平面α相交为后面二面角的学习做铺垫引导学生自己发现点线面的位置关系，熟悉点线面关系的基本 直线a与平面α平行面面面平面α平行于平面β平面α和平面β交于直线l注：αaαaαaαa“∈”的符号只能用于直线，点与平面的关系；“”、“”只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，并且在几何中不再用符号例1：如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系例2：把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B都在直线a上；（2）平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内且平行于直线m。表示方法点明当一条直线的一半在平面内时，根据平面的延展性，直线仍在平面内。先引导同学思考，再请同学回答 二、平面的基本性质提问：同学们想一想，什么叫做直线在平面内呀？那判断直线在平面内我们需要判断所有点吗？一个点行不行，两个点呢？为什么可以？点明：直线上所有点都在同一个平面内；一个点不行，比如直线和平面相交的时候；两点确定一条直线。我们钉木条也是这个道理。公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号：作用：判断直线是否在平面内提问：如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。分析条件和结论，引导同学们自己转换为符号语言 符号：作用：判定平面相交、证明点共线、线共点提问：怎样确定一个平面呢？用基本的点可以吗？或是点与线？线和线呢？我们先看点。一个点可以吗？两个点呢？（两点确定一条直线）三个点呢？（举例：教室的门）任意三个点都可以确定一平面吗？（三点在一条直线上）公理3：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C·B·A·α符号：A．B．C三点不共线作用：确定一个平面、判断两平面重合、点线共面推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。点明：1．与平面几何的证明一样，证明立体几何问题的一般步骤是：第一步：根据题意作图，写出已知、求证。第二步：写出证明过程。2．“有且只有”说明平面是确定的。要从“有”和“只有”两方面证明。即既要证明存在性“有”，又要证明唯一性“只有”。3．根据已经学的公理我们用哪一个？该怎么用？符号：已知：求证：经过点A和直线有一个平面，且唯一证明：①存在性：在直线上任取两点B，C，据题意A．B．C三点不共线根据公理3，经过不共线的三点A．B．C有一个平面 ，（公理1）所以平面就是经过直线和点A的平面。ABCl②唯一性，任何经过点A和的平面一定经过点A．B．C，三点A．B．C不共线，据公理3，这样的平面只有一个由①②可知：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面符号：推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面abα符号：强调几何证明过程，体现数学的严密性。引导学生利用公理证明，强调”有且仅有“的证明方法三、基本练习例3：判断下列命题的正误（1）三角形一定是平面图形。（2）平行四边形一定是平面图形。（3）四边形确定一个平面。（4）两两相交的三条直线确定一个平面。（5）经过两条相交直线，有且只有一个平面。（6）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合。运用定理简单判断 baαM四、综合练习例四：。ABPQRCDBCA例5：已知三角形ABC的三条边AB．BC．AC与平面α分别交于P、Q、R，求证：P、Q、R共线点明：例5：分析：①三线AB．AC．BC在平面α外；②三线均与面α相交。解答本题可先证明P、Q、R三点在面ABC内，又在面α内，再利用公理3从而证得三点共线。证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上。六、课堂总结1．平面的表示：概念、图形、符号等2．平面的基本性质公理1公理2公理3