【科学备考】(新课标)2022高考数学二轮复习 第八章 立体几何 点、线、面的位置关系 理(含2022试题)
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【科学备考】(新课标)2022高考数学二轮复习第八章立体几何点、线、面的位置关系理(含2022试题)理数1.(2022大纲全国,11,5分)已知二面角α-l-β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )A. B. C. D. [答案]1.B[解析]1.依题意作图,平移CD至AD',作AE⊥l,且D'E∥l,连结BE,BD',则D'E⊥面BAE,则∠EAB=60°,∠D'AE=45°,设AB=1,AE=1,则BE=1,D'E=1,D'A=.在Rt△BED'中,BD'=.∴cos∠BAD'===,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.2.(2022广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定[答案]2.D[解析]2.由l1⊥l2,l2⊥l3可知l1与l3的位置不确定,若l1∥l3,则结合l3⊥l4,得l1⊥l4,所以排除选项B、C,若l1⊥l3,则结合l3⊥l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A.故选D.3.(2022辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α[答案]3.B[解析]3.A选项m、n也可以相交或异面,C选项也可以n⊂α,D选项也可以n∥α或n与α斜交.根据线面垂直的性质可知选B.4.(2022重庆一中高三下学期第一次月考,6)已知一个四面体的一条棱长为,其余18\n棱长均为2,则这个四面体的体积为( )(A)1 (B) (C) (D)3[答案]4. A[解析]4. 取边长为的边的中点,并与其对棱的两个端点连接,5.(2022山东青岛高三第一次模拟考试,5)设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若则 B.若则C.若则 D.若则[答案]5. D[解析]5.A选项不正确,因为是可能的;B选项不正确,因为,时,,都是可能的;C选项不正确,因为,时,可能有;D选项正确,可由面面垂直的判定定理证明其是正确的.故选D6.(2022安徽合肥高三第二次质量检测,9)已知正方体中,线段上(不包括端点)各有一点,且,下列说法中,不正确的是( )四点共面 B.直线与平面所成的角为定值C. D.设二面角的大小为,则的最小值为[答案]6. D[解析]6.正方体中,线段,上(不包含端点)各有一点、,且,如图,当连线与平行时,、、、四点共面,所以错误;18\n直线与平面所成的角为定制,显然不正确,在平面的射影是,点如果是定点,直线与平面所成的角是变值,所以不正确;当点在的中点时,不妨设棱长为2,,所以是钝角,所以不正确,故错误;对于选项,作于,过作于,令,则最小值时最大,此时点在,,所以选项正确.故选D.7.(2022广西桂林中学高三2月月考,4)设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )(A) (B)(C) (D)[答案]7. D[解析]7. 若,则平面与垂直或相交或平行,故(A)错误;18\n若,则直线与相交或平行或异面,故(B)错误;若,则直线与平面垂直或相交或平行,故(C)错误;若,则直线,故(D)正确.选D.8.(2022周宁、政和一中第四次联考,7)设表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若∥,且则; ②若∥,且∥.则∥;③若,则∥∥;④若且∥,则∥.其中正确命题的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4[答案]8. B[解析]8. ①正确;②直线或,错误;③错误,因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直;④正确.故真正确的是①④,共2个.9.(2022成都高中毕业班第一次诊断性检测,5)已知,是两条不同的直线,为平面,则下列命题正确的是: (A)若∥,∥,则∥ (B)若⊥,⊥.则⊥ (C)若⊥,∥,则⊥ (D)若与相交,与相交,则,一定不相交( )[答案]9. C[解析]9. 对(A)直线、还可能相交或异面;故(A)是假命题;对(B)垂直于同一个平面的两条直线平行,故(B)时假命题;对(C)真命题;对(D)直线、可能相交、平行或异面.故真命题是(C).10.(2022江西七校高三上学期第一次联考,7)已知和是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出⊥的是( )A.且 B.且C.且⊥ D.且[答案]10. C[解析]10. 对选项A,与平行或相交;对选项B,与平行或相交;选项C正确;选项D,与平行或相交.故选C.11.(2022兰州高三第一次诊断考试,6)已知是两个不同的平面,,是两条不同的直线,给出下列命题:①若; ②若;③如果相交;18\n④若其中正确的命题是( )A.①② B.②③ C.③④ D.①④[答案]11. D[解析]11. ①由平面与平面垂直的判定定理知,是真命题;②当直线,平行时,与不一定平行,是假命题;③直线与平面可能平行,假命题;④真命题.故正确的命题是①④.12.(2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,13)如图,正四棱锥中,,是边的中点,动点在四棱锥的表面上运动,且总保持,点的轨迹所围成的图形的面积为,若以的方向为主视方向,则四棱锥的主视图的面积是 .[答案]12. 4[解析]12. 由题意可得点P在过点E且与直线AC垂直的平面上,取线段PC、CD的中点分别为F、G,并设GE与AC交于点H.易得直线AC⊥平面EFG,所以点P的轨迹即为△EFG,因为AB=2,所以GE=,点的轨迹所围成的图形的面积为,所以可得FH=2,根据勾股定理可得GF=,所以四棱锥的侧棱长为.所以四棱锥的主视图是以腰长为底边长为2的等腰三角形,其面积为4.13.(2022吉林实验中学高三年级第一次模拟,15)如图,已知球是棱长为的正方体的内切球,则平面截球的截面面积为 .18\n[答案]13. [解析]13. 设截面圆的半径为r.球心即为正方体的中心,且球O的半径为.由正方体的性质可知,点O到平面ACD1的距离为,则,解得,所以截面圆的面积为.14.(2022陕西宝鸡高三质量检测(一),7)关于直线及平面,下列命题中正确的是( ) A.若,,则 B.若,,则 C. 若,,则 D.若,,则 [答案]14. C[解析]14. 对A,直线可能平行、相交或异面;对B,因为直线不一定在平面内,直线可能为异面直线,则B错误;对C,直线与平面垂直,需直线与平面内的两条相交直线垂直,则C正确;对D,同平行于一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,则D错误.15.(2022重庆一中高三下学期第一次月考,19)(原创)如图,在四面体中,平面,,,。是的中点,是的中点,点在线段上,且。(1) 证明:平面;(2) 若异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求的值。18\n[答案]15.查看解析[解析]15. 法一:(1)如图,连并延长交于,连,过作交于,则,。故,从而。因平面,平面,故平面;(2)过作于,作于,连。因平面,故平面平面,故平面,因此,从而平面,所以即为二面角的平面角。因,故,因此即为的角平分线。由⑴易知,故,从而,。由题易知平面,故。由题,故。所以,从而。法二:如图建立空间直角坐标系,18\n则,,,,。 (1)设,则,因此。显然是平面的一个法向量,且,所以平面;(2)由(1),,,故由得,因此,从而,。设是平面的法向量,则,取得。设是平面的法向量,则,取得。故。16.(2022山西太原高三模拟考试(一),19)如图,在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,点O是A1C1的中点,AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2.(I)求证:AB1⊥AlC;(Ⅱ)求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值.[答案]16.查看解析[解析]16.18\n17.(2022福州高中毕业班质量检测,18)如图,直角梯形中,=4,点、分别是、的中点,点在上,沿将梯形翻折,使平面⊥平面.(Ⅰ)当最小时,求证:⊥;(Ⅱ)当时,求二面角平面角的余弦值.18\n[答案]17.查看解析[解析]17.(Ⅰ)证明:∵点、分别是、的中点,∴,又,∴,∵平面⊥平面,∴平面,,,又,如图建立空间坐标系.翻折前,连结交于点,此时点使得最小.,又∵.则,∴,∴,∴⊥. (5分)(Ⅱ)解法一:设,18\n∥平面,点到平面的距离为即为点到平面的距离.,=,又=,,=,即,(8分)设平面的法向量为,∵G(0,1,0),∴(-2,2,2),则,即取,则,,∴,平面BCG的一个法向量为,则cos<>=,由于所求二面角的平面角为锐角,所以此二面角平面角的余弦值为.(13分)(Ⅱ)解法二:由解法一得,过点D作,垂足,过点作延长线的垂线垂足,18\n连接.∵平面⊥平面,平面,,所以就是所求的二面角的平面角.(9分)由于,在中,又,在中,所以此二面角平面角的余弦值为.(13分)18.(2022河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),19)如图,在三棱锥中,面,,且,为的中点,在上,且.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.18\n[答案]18.查看解析[解析]18.(Ⅰ)不妨设,又,∴在中,,∴,则=,所以,又,∴,且也为等腰三角形.(法一)取中点,连接、,∴,∵面,∴,∴,所以平面,又平面,∴. (6分)(法二),则,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,可得,,,,∴,则,所以.(6分)(Ⅱ)同(Ⅰ)法二建立空间直角坐标系,可知,,面18\n的法向量可取为,(8分)设面的法向量为,,,则,即,可取,∴=,故二面角的余弦值为.(12分)19.(2022山东实验中学高三第一次模拟考试,18)如图,已知正三棱柱各棱长都为,为线段上的动点.(Ⅰ)试确定;(Ⅱ)若的大小;18\n[答案]19.查看解析[解析]19.解:以原点,为轴,过点与垂直的直线为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图,则,,,设,(Ⅰ)由得,解得,即为的中点.所以时,.(5分)(Ⅱ)当时,点的坐标为,取,则,,所以是平面的一个法向量,又平面的一个法向量,(8分)所以,所以二面角的大小事. (12分)20.(2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,19) 如图,四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,底面是菱形,18\n,点P在底面上的射影为ΔACD的重心,点M为线段上的点.(1)当点M为PB的中点时,求证:PD//平面ACM;(2)当平面CDM与平面CBM夹角的余弦值为时,试确定点M的位置.[答案]20.查看解析[解析]20. (1)设AC、BD的交点为I,连结MI, 因为I、M分别为BD、BP的中点,所以PD//MI,又MI在平面ACM内,所以PD//平面ACM; …………4分(2)设CD的中点为O,分别以OA、OC为x轴、y轴,过O点垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系,则,,,,, ………………6分设,则,,18\n设平面CBM的法向量为,则且,令则 ………………………10分所以21.(2022湖北武汉高三2月调研测试,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值;(Ⅱ)在线段BC1上确定一点D,使得AD⊥A1B,并求的值.[答案]21.查看解析[解析]21.解:(Ⅰ)∵AA1C1C为正方形,∴AA1⊥AC.∵平面ABC⊥平面AA1C1C,∴AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AC,AA1⊥AB.18\n由已知AB=3,BC=5,AC=4,∴AB⊥AC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),18
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