专题5 空间直线、平面的位置关系（知识点）

专题5空间直线、平面的位置关系【知识网格】【知识讲练】知识点一平面1．平面描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限__延展__的画法通常把水平的平面画成一个__平行四边形__，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的__2__倍，如图1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用__虚线__画出来，如图2所示记法(1)用一个__希腊字母__α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α(2)用两个大写的__英文字母__(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面__BCD__等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形__顶点__)来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD2．点、线、面的位置关系的表示A是点，l，m是直线，α，β是平面.文字语言符号语言图形语言A在l上__A∈l__A在l外__A∉l__A在α内__A∈α__A在α外__A∉α__l在α内__l⊂α__l在α外__l⊄α__或l，m相交于A__l∩m＝A__ l，α相交于A__l∩α＝A__α，β相交于l__α∩β＝l__3．公理1文字语言如果一条直线上的__两点__在一个平面内，那么这条直线在此平面内图形语言符号语言A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒__l⊂α__作用判断点在平面内判断直线在平面内用直线检验平面4．公理2文字语言过__不共线__的三点，有且只有一个平面图形语言符号语言A，B，C三点__不共线__⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α作用确定平面证明点共面5．公理3文字语言如果两个不重合的平面有一个__公共点__，那么它们有且只有一条过该点的公共__直线__图形语言符号语言P∈α∩β⇒α∩β＝l且__P∈l__作用(1)判定平面相交(2)证明点共线(3)证明线共点【归纳总结】1.从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．2.(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”．(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一，强调的是存在和惟一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两个方面，这个术语会常常出现．知识点二空间中直线与直线之间的位置关系1．异面直线(1)概念：不同在__任何一个__平面内的两条直线叫做异面直线．[归纳总结]　对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者说找不到一个平面同时经过这两条直线．“异面”的含义就是“不能共面”的意思．定义中“任何”是不可缺少的关键词，不能误解为“不同在某一平面内”．(2)图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．2．空间两条直线的位置关系(1)相交直线——同一平面内，__有且只有__一个公共点．(2)平行直线——同一平面内，__没有__公共点．(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．3．公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相__平行__图形语言符号语言直线a、b、c、a∥b、b∥c⇒__a∥c__作用证明两条直线平行说明公理4表述的性质通常叫做空间平行线的__传递性__4．等角定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__相等__或__互补__图形语言符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°作用证明两个角相等或互补 5．两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的__锐角__(或__直角__)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角α的范围：__0°＜α≤90°__．(3)两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是__直角__，那么就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a、b，记作a__⊥__b．注意：两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．【归纳总结】求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)证明——证明所作出的角等于要求的角．(3)计算——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(4)结论——设由(3)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．知识点三空间中直线与平面的位置关系1．空间中直线与平面的位置关系(1)位置关系：有且只有三种①直线在平面内——有__无数__个公共点；②直线与平面相交——__有且只有一个__公共点；③直线与平面平行——__没有__公共点．直线与平面__相交__或__平行__的情况统称为直线在平面外．(2)符号表示：直线l在平面α内，记为__l⊂α__；直线l与平面α相交于点M，记为__l∩α＝M__；直线l与平面α平行，记为__l∥α__．(3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．【总结提升】1.“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义，前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．2.直线与平面位置关系的判断：(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．知识点四两个平面之间的位置关系(1)位置关系：有且只有两种①两个平面平行——__没有__公共点；②两个平面相交——有__一条__公共直线．(2)符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为__α∩β＝l__．(3)图示：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示．【总结提升】判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．