河南省顶级名校2022-2023学年高三数学（理）上学期12月摸底考试试题（PDF版带解析）

exe2e2021e2022e2023届高三第一学期12月月考7．已知函数fx2xeln，若ffff1011(ab)，其中b0，ex20232023202320231|a|数学试卷（理科）则的最小值为（）2|a|b3352A．B．C．D．考试时间：120分钟试卷满分：150分4242本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试8．在平面直角坐标系中，已知点M2，0，N1，0，动点Qx，y满足QM2QN，过点3，1的直线与动点题卷上答题无效。考试结束后，只收答题卷.第I卷Q的轨迹交于A，B两点，记点Q的轨迹的对称中心为C，则当ABC面积取最大值时，直线AB的方程是（）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求A．yx4B．yx4的。1．已知集合A∣x2x2x150，B3,1,1,3,5，则AB（）C．y2x4D．y2x429．已知抛物线x2pyp0的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且AF的最小值为1，M是线段AB的中A．1,3B．3,1,1C．1,1D．1,1,3点，P2,3是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶A．p2B．若AFBF8，则M到x轴的距离为3等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）C．若AF2FB，则AB3D．APAF的最小值为4A．172B．183C．191D．21122xy22210．已知双曲线C:1a0,b0的左，右顶点分别是A1，A2，圆xya22abπ25π3．已知sin，则cos2（）1236与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若△MPA2是7557A．B．C．D．等腰三角形，且PA2M的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为（）99994．已知平面向量a，b满足a3，b1，3，a2b11，则a在b上的投影为（）A．2B．2C．3D．5A．3B．1C．2D．62x2x12x011．已知x0是函数fxee的图象与函数gxlnxx的图象交点的横坐标，则elnx0（）5．若函数fxloga2axa0,a1在区间1,3内单调递增，则a的取值范围是（）xA．2B．ln2C．ln2D．22222A．,1B．0,C．1,D．,3333x221,x0fx212．已知函数，若关于x的方程[f(x)]mf(x)40有6个不同的实数根，则m的取值范6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA12AB2AC，且ABAC,D,E分别是log2x,x0棱BC,BB1的中点，则异面直线A1D与C1E所成角的余弦值是（）围是（）13131313A．(,5),4B．,4C．4,(5,)D．4,33332665730A．B．C．D．96963 第II卷19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足0t24，tN.经测算，当16t24时，候车人数为22213．x4xdx______________．0候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当0t16时，候车人数会减少，减少人数与t(16t)成正比，且时间为6点14．在三棱锥P－ABC中，PAABPBAC23，AC⊥平面PAB，则三棱锥P－ABC的外接球O的体积为时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为f(t).(1)求f(t)的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；______．(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为Pf(t)3160320，则一天中哪个时间需要提供的15．已知函数fxcosx0,，当x时函数fx能取得最小值，当x时函数yfxt2445矿泉水瓶数最少?能取得最大值，且fx在区间,上单调，则当取最大值时的值为__________.1826lnxx16．已知函数f(x),g(x)xe，若存在x1(0,),x2R，使得fx1gx2k成立，则下列命题正确x的有___________．20．如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，二面角S-AB-D为直二面角，∠SAB=∠SBA，点M为线xx1②当k0时，2xex22e段AD的中点.①当k0时，121x2k1(1)证明：SD⊥MC；③当k0时，x1x21④当k0时，e的最小值为x1e(2)若SA=AB，点N是线段BD上靠近点B的三等分点，求直线SA与平面SMN所成角的正弦值.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.32117．已知数列an的前n项和为Sn，且Snnn，递增的等比数列bn满足：b1b418，b2b332．22(1)求数列an、bn的通项公式；22xy1(2)设an、bn的前n项和分别为Sn，Tn，求Sn，Tn．21．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为2，点G0,2与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.ab(1)求椭圆C的标准方程；3(2)若直线ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探求4OMN的面积是否为定值，并说明理由.18．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosAbcosCccosB．(1)求A；22．已知函数fxxlnalnx，其中a0且a1．(2)若ABC的面积为63，a27，求ABC的周长．(1)讨论函数fx的单调性；fx1(2)若在0,上恒成立，求实数a的取值范围．elnaa2 exe2e2021e2022e2023届高三第一学期12月月考7．已知函数fx2xeln，若ffff1011(ab)，其中b0，ex20232023202320231|a|数学试卷（理科）则的最小值为（）2|a|b3352A．B．C．D．考试时间：120分钟试卷满分：150分4242本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试8．在平面直角坐标系中，已知点M2，0，N1，0，动点Qx，y满足QM2QN，过点3，1的直线与动点题卷上答题无效。考试结束后，只收答题卷.第I卷Q的轨迹交于A，B两点，记点Q的轨迹的对称中心为C，则当ABC面积取最大值时，直线AB的方程是（）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求A．yx4B．yx4的。1．已知集合A∣x2x2x150，B3,1,1,3,5，则AB（）C．y2x4D．y2x429．已知抛物线x2pyp0的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且AF的最小值为1，M是线段AB的中A．1,3B．3,1,1C．1,1D．1,1,3点，P2,3是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与A．p2B．若AFBF8，则M到x轴的距离为3一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）C．若AF2FB，则AB3D．APAF的最小值为4A．172B．183C．191D．21122xy22210．已知双曲线C:1a0,b0的左，右顶点分别是A1，A2，圆xya22abπ25π3．已知sin，则cos2（）1236与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若△MPA2是7557A．B．C．D．等腰三角形，且PA2M的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为（）99994．已知平面向量a，b满足a3，b1，3，a2b11，则a在b上的投影为（）A．2B．2C．3D．5A．3B．1C．2D．62x2x12x011．已知x0是函数fxee的图象与函数gxlnxx的图象交点的横坐标，则elnx0（）5．若函数fxloga2axa0,a1在区间1,3内单调递增，则a的取值范围是（）xA．2B．ln2C．ln2D．22222A．,1B．0,C．1,D．,3333x221,x0fx212．已知函数，若关于x的方程[f(x)]mf(x)40有6个不同的实数根，则m的取值范6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA12AB2AC，且ABAC,D,E分别是log2x,x0棱BC,BB1的中点，则异面直线A1D与C1E所成角的余弦值是（）围是（）13131313A．(,5),4B．,4C．4,(5,)D．4,33332665730A．B．C．D．9696 第II卷19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足0t24，tN.经测算，当16t24时，候车人数为22213．x4xdx______________．0候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当0t16时，候车人数会减少，减少人数与t(16t)成正比，且时间为6点14．在三棱锥P－ABC中，PAABPBAC23，AC⊥平面PAB，则三棱锥P－ABC的外接球O的体积为时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为f(t).(1)求f(t)的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；______．(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为Pf(t)3160320，则一天中哪个时间需要提供的15．已知函数fxcosx0,，当x时函数fx能取得最小值，当x时函数yfxt2445矿泉水瓶数最少?能取得最大值，且fx在区间,上单调，则当取最大值时的值为__________.1826lnxx16．已知函数f(x),g(x)xe，若存在x1(0,),x2R，使得fx1gx2k成立，则下列命题正确x的有___________．20．如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，二面角S-AB-D为直二面角，∠SAB=∠SBA，点M为线xx1②当k0时，2xex22e①当k0时，121段AD的中点.x2k1(1)证明：SD⊥MC；③当k0时，x1x21④当k0时，e的最小值为x1e(2)若SA=AB，点N是线段BD上靠近点B的三等分点，求直线SA与平面SMN所成角的正弦值.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.32117．已知数列an的前n项和为Sn，且Snnn，递增的等比数列bn满足：b1b418，b2b332．22(1)求数列an、bn的通项公式；22xy1(2)设an、bn的前n项和分别为Sn，Tn，求Sn，Tn．21．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为2，点G0,2与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.ab(1)求椭圆C的标准方程；3(2)若直线ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探求4OMN的面积是否为定值，并说明理由.18．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosAbcosCccosB．(1)求A；22．已知函数fxxlnalnx，其中a0且a1．(2)若ABC的面积为63，a27，求ABC的周长．(1)讨论函数fx的单调性；fx1(2)若在0,上恒成立，求实数a的取值范围．elnaa 2023届高三第一学期12月月考(2)1027理科数学答案【详解】（1）因为2acosAbcosCccosB，由正弦定理可得：2sinAcosAsinBcosCsinCcosB，1．D2．C3．C4．B5．B6．A7．A8．A9．C10．B11．A12．A18287所以2sinAcosAsinA，因为sinA0，所以cosA，13．14．15．16．①③④2332π31由于0Aπ，所以A．17．【详解】（1）当n1时，a1S12，322321321（2）由于SABC63，当n2时，anSnSn1nnn1n13n1，22221所以bcsinA63，解得bc24．又3112，满足上式2222故an的通项公式为an3n1，在ABC中，由余弦定理可得：abc2bccosA，222整理得bc52，所以(bc)2bc52，所以bc10．设等比数列bn的公比为q，故三角形的周长为labc1027．因为b1b418，b2b3b1b432，19．【详解】（1）当f(t)5160kt(16t)，f(6)3960，则k20，b,b20t16时，设所以14可看作方程x18x320的两根，516020t16t,(0t1)b12b116fttN.解得：或，5160,16t24b16b244f(12)5160201244200，b161因为等比数列单调递增，所以b2舍去，故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.410031620t,(0t16)故q8，解得：q=2，t2（2）PtN，2000n1n320,16t24故bn的通项公式为bn222；t100100（2）因为an3n1，所以an1an3，①当0t16时，P20t202t400，当且仅当t10时等号成立；tt故an为等差数列，2000②当16t24时，P320403；24naan23n13n2n1n由等差数列求和公式得：S，n又403400，所以t10时，需要提供的矿泉水瓶数最少.222n20．【详解】（1）取AB的中点O，连接SO，DO，2121由等比数列求和公式得：n.T22n12因为SABSBA，所以SASB，A所以SOAB.18．(1)33 又二面角SABD为直二面角，131013ASn445所以SO平面ABCD，且MC平面ABCD,所以SOMC.则sin，nAS225222123在正方形ABCD中，O，M分别为AB，AD的中点，103144所以DAO≌CDM，所以ODMMCD，5故直线SA与平面SMN所成角的正弦值为.又MCDDMC90，所以ODMDMC90，所以MCDO.522xy1c121．【详解】（1）解：椭圆C:1(ab0)离心率为，即e，因为ODOSO，OD平面SOD，OS平面SOD，a2b22a2所以MC平面SOD，点G0,2与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形，又SD平面SOD，所以MCSD.22xya2，c1，b3，故椭圆C的方程为1.（2）取CD的中点G，连接OG，由（1）可知OB，OS，OG两两垂直.43以O为坐标原点，OB，OS，OG所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系.（2）解：由直线与椭圆交于M，N两点，设Mx1,y1，Nx2,y2，则ykxm,222联立x2y2得34kx8kmx4m30，1,43Δ(8km)21634k2m23484k23m20，则224k3m28km4m3x1x234k2，x1x2234k22y1y2y1y2kx1mkx2mkx1x2mkx1x2mkkOMON不妨设AB=2，则A(1,0,0)，B(1,0,0)，S(0,0,3)，M1,1,0，D(1,2,0)x1x2x1x2x1x2x1x222222222SM1,1,3，AS1,0,3,，BD(2,2,0)，BM2,1,0，4km38kmm34k3m4k3.224m34m3412241则BNBD,,0，MNBNBM,,0.33333222m4k3，设平面SMN的法向量为n(x,y,z)，434k23m243m222.MN1kxx1k1k122234k2mnSMxy3z0m由题意得41，原点O到l的距离d，2nMNxy01k33MN143mm213SOMNd1k23为定值.令y1，得n,1,.222m1k24422．(1)答案见解析设直线SA与平面SMN所成的角为，(2)e,2 1lna11e即函数mx在e,上单调递减，故mame，即，故，eaelnaa【详解】（1）fxxlnalnx定义域为0,，lnlna1lnlnae而由ae可知0，故恒成立，lnalnalnaa1fxlna，x所以，实数a的取值范围是e,1当0a1时，lna0，故fxlna0恒成立，x此时fxxlnalnx在0,上单调递减，11当a1时，令fxlna0，解得：x，xlna11令fxlna0，解得：0x，xlna11故fx在0,上单调递减，在,上单调递增，lnalna综上：当0a1时，fx在0,上单调递减；11当a1时，fx在0,上单调递减，在,上单调递增.lnalnaxlnalnx1（2）解：由题意得在0,上恒成立，elnaaxlnx1即，令x1，故ae，eelnaa接下来进行充分性证明：xlnx11令gx，则gx，eelnaeexlna1令gx0，解得：x，lna11故当x0,时，gx0，当x,时，gx0，lnalnaxlnx11故函数gx在x0,上单调递减，在x,上单调递增，eelnalnalnaxlnx1故gx在x处取得极小值，也是最小值，eelnalna11lnlnagxg，minlnalaa1lnlnae故只需证明恒成立，lnalnaalnx1lnx当ae时，令mxxe，故mx0，2xx3