河南省湘豫名校联考2023届高三数学（理）上学期入学摸底考试试卷（PDF版附答案）

\n\n\n\n湘豫名校联考!"!!年#月高三秋季入学摸底考试数学!理科"参考答案一#选择题$本题共!#小题%每小题$分%共%&分$在每小题给出的四个选项中%只有一项符合题目要求$!#'($%)"*!&!!!#+,-.,.,-++.,!!+!&解析'因为集合"/!#""#0!"#!"#所以$$"/!#""#0!"%!"/!#"&%#%#"!又因为%/!#"0#%#&!"#所以$$$"%'%/!#"0#%#%#"!故选+1#!,!&解析'若两条平行线中的一条垂直于一个平面#则另一条也垂直于该平面!所以由&&(!'可得&'(!'#充分性成立(反之亦成立!所以&&(!'是&'(!'成立的充要条件!故选,!#%#及正态分布的对称性#知($!%%/($#%%/&!'#'!-!&解析'由随机变量"!%$###"&#"&'所以($"&!%/&!$0($!%"&#%/&!#!故选-!#0#(!.!&解析'由函数)$#%/2023456#3*#可得)$0#%3)$#%/#*!!!因为)!76"/)$076'%/'#)$76'%/!#所以)$76'%3)!76"/!3'/(/#*!所以*/#!故选.1''&&$!,!&解析'由题可知$!35%/'#5#两边取模#得$槡#%/'#!所以&/!&!!&#,,!&0$,所以!槡#0"的展开式的通项为+,3!/+!&$0#%##!##令!&0$,/&#解得,/#!所以展开式中的常数项是+#$0#%#/!"&!故选,1!&8#!%!.!&解析'由题意可知#函数)$#%/#76#30#的定义域为$&#39%!###!!因为)-$#%/0#0!/0!0!"%&恒成立#所以)$#%在$&#39%上单调递减!#####0!#&#*#则由)$##0!%&)$!0#%可得)!0##&#解得&#&!!故选.!'+##0!#!0##)!,!&解析'因为数列!*&"是递增的等差数列#所以数列!*&"的公差.#&!*!3./$#由题意得#%#解得*!/##./'或*!/$#./&$舍去%!$*%#!3#./*!$*!3!&.所以*&/#3'$&0!%/'&0!!!!!!!所以/&//$'&0!%$'&3#%/!0"!*&*&3!''&0!'&3#!!!!!!!&所以0&//!3/#3/'3)3/&/!0303)30"/!故选,!'#$$"'&0!'&3#%&3(+$""""!-!&解析'设)$#%/1456$$#3!%$1#&#$#&#"!"&"%#由函数图象#知1/##/0!0"/##!#!##数学!理科"参考答案!第!页!共"页"\n#"所以+/"#$//#!所以)$#%/#456$##3!%!+$"$"又函数图象过点!#0#"#所以#456!#83!"/0#!!#!#$"'"#"所以3!/#2"3#2,!#解得!/#2"3#2,!!%#'#"#""!"因为"!"&"#所以!/!所以)$#%/#456!##3"/#456#!#3"!所以'/#&/##%/!故选-!'''#'#!!*!+!&解析'根据题意#可先把(名&熟手'分为人数为##!#!的三组#再分配到'个检测点#共有+(+#+!*,'#',##!!种分法#然后把#名&生手'分配到'个检测点中的#个#有,#种分法#所以共有+(+#+!*,'*,#种'#''/#!%,#不同的分配方案!故选+!##!&!+!&解析'令3$#%/)$#%#则3-$#%/)-$#%*20)$#%*2/)-$#%0)$#%!####222因为)-$#%0)$#%#&#所以3-$#%#&#函数3$#%在"上单调递增!对于##因为3$#%#3$!%#即)$#%#)$!%#整理得)$#%#2*)$!%##恒成立(对于$#因为!#76##所以#!223$!%#3$76#%#即)$!%#)$76#%/)$76#%#整理得#)$!%#2*)$76#%#$恒成立(对于%#因为!#76槡##!76##22所以3$!%#3$76槡#%#即)$!%#)$76槡#%/)$76槡#%#整理得槡#)$!%#2*)$76槡#%#%错误!所以恒成立的2!276槡#槡#不等式有#和$#共#个!故选+!!!!.!&解析'如图#-145所在圆6!即为-145的外接圆!设圆6的半径为,#则",#!/%"#解得,/槡%!因为-145为等边三角形#所以1/4/5/%&7#14/45/15!14由正弦定理可得/#,#解得14/'槡#!456%&7所以0!!#槡'*槡'-145/14*15*4561/8$'槡#%8/!####如图#当6!#6#8三点共线时#三棱锥80145的体积最大#最大值为*槡'#此时86!(平面145#三棱锥的!*槡'高9最大#且有889/*槡'#解得9/%!'#设球6的半径为:#在:;-66中#$%0:%#3,#/:##解得:/)!!1#'('()'('所以球6的体积;/":/8!""/"!故选.!''#%!#!,!&解析'如图#设8为"%的中点#连接<#8!易知</#."3</#.%/#</#.8#所以$</#."3</#.%%*"/.%/#</#.8*"/.%/&#所以<#8("%!因为8为"%的中点#所以"<#""/"<#%"!设"<#""/"<#%"/=#因为""<#"0""<!"/#*#所以""<!"/=0#*!因为"%<!"0"%<#"/#*#所以"%<!"/=3#*!所以""%"/"%<!"0""<!"/(*!因为8是"%的中点#"<!8"/"<!""3""8"#数学!理科"参考答案!第!#页!共"页"\n所以""8"/"%8"/#*#"<!8"/=!在:;-<中#"<##(!<#8#8"/槡(>0=在:;-"<中#"<###8#8"/槡=0(*!所以(>#####解得=###槡0=/槡=0(*/#*3#>!所以"<###"<###8"/槡#>0#*!8"/=/槡#*3#>!因为直线?的斜率为槡'#'####所以;<608<"<#8"/槡#>0#*/槡'#所以>0*/!#>#/#*#!!<#/##"<!8"槡#*#3#>#'*3>'所以离心率为槡#!故选,!二#填空题$本题共(小题%每小题$分%共#&分!!'!槡!&!&解析'因为!1"#所以'8#0&/&#解得&/%!所以"/$%##%#!0"/$0'#0!%#所以"!0""/$0'%##槡3$0!%/槡!&!!(!%!&解析'方法一+过点1#4#"分别向抛物线的准线作垂线#垂足分别为1!#4!#"!#因为点"的横坐标为##所以"""!"/'!所以"14"/"1<"3"4<"/"11!"3"44!"/#"""!"/%!方法二+设点1#4的横坐标分别为#!####则#!3##/##"/(#由过抛物线的焦点的弦长公式#知"14"/#!3##3@/##"3#/%!!!$!!&解析'将*'/#0#3!与*(/#0'3!作差#可得*(0*'/#*'#即*(/'*'!!%*(所以等比数列!*&"的公比A//'!*'因为*#A/'#所以*&0!&0!!/!&/!8'/'!所以/&0!/&3!&!&/7=>'*&/7=>''/&0!!所以$&3*%$/&3#%/$&3*%$&3!%/*!&33!&&因为&,#2#所以&3*3%#当且仅当&/'时&/'成立!&/&3!!!!所以/%!故2的最小值为!$&3*%$/&3#%*!%!%&33!&&#*#**76#!%!$&#2,!&解析'不等式23*76#3#3#可变形为20#3#0*76#/20*76#!因为*#&且##!#所以*76##&!令)$B%/2BB0B$B#&%#则)-$B%/20!#&!所以函数)$B%在$&#39%上单调递增!不等式2#*76#0#320*76#等价于)$#%3)$*76#%#所以#3*76#!#因为##!#所以*%!76##76#0!设3$#%/$##!%#则3-$#%/!76#$76#%#当#,$!#2%时#3-$#%&&#函数3$#%在$!#2%上单调递减(当#,$2#39%时#3-$#%#&#函数3$#%在$2#39%上单调递增!所以3$#%?56/3$2%/2#所以&&*%2!故正实数*的取值范围是$&#2,!数学!理科"参考答案!第!'页!共"页"\n三#解答题$共)&分$解答应写出文字说明#证明过程或演算步骤$第!)!#!题为必考题%每个试题考生都必须作答$第##$#'题为选考题%考生根据要求作答$!一"必考题$共%&分$##!)!&解析'$!%)$#%/'3#槡'456#@=4#0%@=4#/0'$#@=4#0!%3槡'456##/"0'@=4##3槡'456##/#槡'456!##0"!…………………………………………………………………'分'"""#""因为#,%#&#所以##0,%&#&#所以&%456!##0"%!!%#'''"所以&%#槡'456!##0"%#槡'#即&%)$#%%#槡'!'所以函数)$#%的值域为-&##槡',!……………………………………………………………………………%分$#%因为)$4%/#槡'456!#40""/'#所以456!#40""/槡'!''#"""#"""因为&&4&#所以0&#40&#所以#40/!#'''''"所以4/!…………………………………………………………………………………………………"分'在-145中#因为4/"#所以/#/*#3>#0#*>@=44/$*3>%#0'*>!'因为//槡)#*3>/$#所以)/$#0'*>#解得*>/%!!!"'槡'所以0-145/*>4564/8%8456/!…………………………………………………………!#分##'#!"!&解析'$!%在直三棱柱14501!4!5!中#因为-145为正三角形#分别取15#1!5!的中点6#6!#连接64#66!!则64(65#66!(65#66!(64!如图#以6为原点#分别以64#65和66!所在直线为#轴.C轴和D轴#建立空间直角坐标系60#CD!因为14/15/11!/##6为15的中点#所以1$&#0!#&%#4$槡'#&#&%#5$&#!#&%#1!$&#0!##%#4!$槡'#&##%#5!$&#!##%!…………………………………………………………………………………………………………………'分因为点(#E分别为1!4!#45的中点#所以(!槡'#0!##"#E!槡'#!#&"!####数学!理科"参考答案!第!(页!共"页"\n所以1/.E/!槡'#'#&"#1/5.!/$&####%#(/5.!/!0槡'#'#&"!####设$/$##C#D%为平面1E5!的法向量#$*1/.E/&#*槡'#3'C/&#由#得)##/.#$*15!/&+#C3#D/&!不妨取#/槡'#可得C/0!#D/!!则$/$槡'#0!#!%!……………………………………………………$分设直线(5!与平面1E5!所成的角为'##$0"/"(/5.!*$"'槡!$则456'/"@=4/(/5.!/.*"$"//$!"(5!"槡'8槡$槡!$所以直线(5!与平面1E5!所成角的正弦值为!……………………………………………………)分$$#%因为1$&#0!#&%#4$槡'#&#&%#5!$&#!##%#所以1/.4/$槡'#!#&%#4/.5!/$0槡'#!##%!设%/$#!#C!#D!%为平面145!的法向量#/.%*14/&#*槡'#!3C!/&#由#得)/.#%*45!/&+0槡'#!3C!3#D!/&!不妨取#!/!#可得C!/0槡'#D!/槡'#则%/$!#0槡'#槡'%!……………………………………………!&分由$!%知$/$槡'#0!#!%为平面1E5!的一个法向量#%*$'槡!&$所以@=4/%#$0//!……………………………………………………………………!!分"%"*"$"'$由图知二面角4015!0E的平面角为锐角#'槡!&$故二面角4015!0E的余弦值为!………………………………………………………………!#分'$!*!&解析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