河南省TOP20名校2023届高三数学（理）12月调研试题（PDF版带解析）

２０２２－２０２３学年高三年级ＴＯＰ二十名校十二月调研考高三理科数学参考答案１．【答案】Ｃ【解析】Ａ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜１｝，瓓Ａ＝｛ｘ｜ｘ≤－１或ｘ≥１｝，则Ｂ∩瓓Ａ＝｛－１，１，２｝．故选Ｃ．ＲＲ２．【答案】Ａ１１ｉｉ（１－ｉ）１１【解析】因为＝１＋ｉ，所以ｚ＝１－＝＝＝＋ｉ，所以｜ｚ｜＝１－ｚ１＋ｉ１＋ｉ（１＋ｉ）（１－ｉ）２２２２１１２槡(２)＋(２)＝槡２．故选Ａ．３．【答案】Ｄ１１０．２０１【解析】ａ＝ｌｏｇ０．５＜ｌｏｇ１＝０，＝０．５＜ｂ＝０．５＜０．５＝１，０＜ｃ＝槡０．２＜槡０．２５＝，所５５２２以ａ＜ｃ＜ｂ．４．【答案】Ｄ【解析】若分配３个小区的志愿者人数均不相同，则１个小区１人，１个小区２人，１个小区３１２３３人，则不同的分配方案共有Ｃ６Ｃ５Ｃ３Ａ３＝３６０种．故选Ｄ．５．【答案】Ｃπππ【解析】ｙ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝槡２ｓｉｎ(２ｘ＋４)．令ｓｉｎ(２ｘ＋４)＝０，则２ｘ＋４＝ｋπ（ｋ∈Ｚ），即ｘ＝πｋπ３π－＋（ｋ∈Ｚ），故对称中心可以是(，０)．故选Ｃ．８２８６．【答案】Ｃ【解析】执行该程序框图，ｉ＝１，Ｋ＝０，Ｓ＝１３０，执行第１次循环ｉ＝１，Ｋ＝１，Ｓ＝６５；执行第２次循环ｉ＝２，Ｋ＝３，Ｓ＝１３；执行第３次循环ｉ＝５，Ｋ＝８，Ｓ＝１；当ｉ＝５时不满足ｉ＜５，输出Ｓ＝１．故选Ｃ．７．【答案】Ｄ２２×５＋２２２×５＋（２－２）【解析】新样本的平均数为ｘ＝＝２，方差ｓ＝＜２；因为加入的２是原样６６本数据的平均值，故不是最大和最小的数，所以极差不变但中位数有可能发生改变．故选Ｄ．８．【答案】Ｂａｎ＋３【解析】由ａ·ａ·ａ＝１类比得ａ·ａ·ａ＝１，两式相除得＝１，即ａ＝ａ．ｎｎ＋１ｎ＋２ｎ＋１ｎ＋２ｎ＋３ｎ＋３ｎａｎ１由ａ１＝２，ａ２＝－，得ａ３＝－１，设{ａｎ}的前ｎ项积为Ｔｎ，则有Ｔ１＝２，Ｔ２＝－１，Ｔ３＝１，Ｔ４＝２，…，２则数列{Ｔｎ}是以３为周期的数列，Ｔｎ的最大值为２．故选Ｂ．９．【答案】Ｂ【解析】依题意，作出球Ｏ的内接正四棱柱ＩＤＪＣ－ＡＨＢＧ，ＡＣ∩ＧＩ＝Ｋ，因为ＧＩ∥ＢＤ，所以∠ＡＫＧ＝６０°或１２０°，又ＡＢ＜ＥＦ，则∠ＡＫＧ＝６０°．因为ＡＢ＝２槡２，则ＡＧ＝２，ＡＩ＝２槡３，在Ｒｔ△ＡＥＯ中，ＥＯ２２２＝槡３，ＡＥ＝槡２，则ＡＯ＝槡ＡＥ＋ＥＯ＝槡５，则球Ｏ的表面积Ｓ＝４πＲ＝２０π．故选Ｂ．【高三理科数学参考答案（第１页共８页）】 １０．【答案】Ｄ２２【解析】由ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１，可得点Ａ的轨迹是以原点为圆心，１为半径的圆，根据向量减法的→→几何意义，由｜ＯＡ－ＯＢ｜＝１，可得点Ｂ的轨迹是以Ａ为圆心，１为半径的圆，如图所示．当点Ｂ在→→坐标原点位置时，ＯＢ取最小值０，当点Ｂ在射线ＯＡ与圆Ａ的交点位置时，ＯＢ取最大值２，→→Ａ，Ｂ选项错误．根据向量数量积的几何意义，当点Ｂ在坐标原点位置时，ＯＢ在ＯＡ方向上的投影→→→→取最小值０，此时ＯＡ·ＯＢ取最小值０，当点Ｂ在射线ＯＡ与圆Ａ的交点位置时，ＯＢ在ＯＡ方向上→→的投影取最大值２，此时ＯＡ·ＯＢ取最大值２，Ｃ选项错误，Ｄ选项正确．故选Ｄ．１１．【答案】Ｂ【解析】不妨设点Ｐ在第一象限，作ＰＰ′垂直准线于点Ｐ′，则有｜ＰＰ′｜＝｜ＰＦ｜，由角平分线定理｜ＡＢ｜｜ＰＡ｜｜ＰＡ｜１１得＝＝＝，当直线ＡＰ与抛物线相切时，∠ＡＰＰ′最大，最｜ＢＦ｜｜ＰＦ｜｜ＰＰ′｜ｃｏｓ∠ＡＰＰ′ｃｏｓ∠ＡＰＰ′２ｙ＝４ｘ，２２大，设直线ＡＰ的方程为ｘ＝ｍｙ－１（ｍ＞０），由{ｙ－４ｍｙ＋４＝０，由Δ＝１６ｍ－ｘ＝ｍｙ－１整理得｜ＡＢ｜１１６＝０，得ｍ＝１，则当直线ＡＰ与抛物线相切时∠ＡＰＰ′＝４５°，则＝≤槡２，设Ｏ为｜ＢＦ｜ｃｏｓ∠ＡＰＰ′｜ＡＢ｜１＋｜ＯＢ｜原点，则｜ＡＢ｜－｜ＢＦ｜＝（１＋｜ＯＢ｜）－（１－｜ＯＢ｜）＝２｜ＯＢ｜，由上可知，＝≤槡２，整｜ＢＦ｜１－｜ＯＢ｜理得｜ＯＢ｜≤３－２槡２，则｜ＡＢ｜－｜ＢＦ｜≤６－４槡２，当直线ＡＰ与抛物线相切时取最大值．故选Ｂ．１２．【答案】Ａ【解析】因为ｆ（１－２ｘ）为奇函数，所以ｆ（１＋２ｘ）＝－ｆ（１－２ｘ），即ｆ（１＋ｘ）＝－ｆ（１－ｘ），两边同时求导，则有ｆ′（１＋ｘ）＝ｆ′（１－ｘ），所以ｆ′（ｘ）的图象关于直线ｘ＝１对称．因为ｆ（２ｘ－１）为偶函数，所以ｆ（－２ｘ－１）＝ｆ（２ｘ－１），即ｆ（－１－ｘ）＝ｆ（－１＋ｘ），两边同时求导，则有－ｆ′（－１－ｘ）＝ｆ′（－１＋ｘ），所以函数ｆ′（ｘ）的图象关于点（－１，０）对称．则有ｆ′（０）＝ｆ′（２）７＝ｆ′（８）＝ｆ′（１０）＝１，ｆ′（４）＝ｆ′（６）＝ｆ′（１２）＝ｆ′（１４）＝－１，所以∑ｆ′（２ｋ）＝ｆ′（２）＋ｋ＝１【高三理科数学参考答案（第２页共８页）】 ｆ′（４）＋…＋ｆ′（１２）＋ｆ′（１４）＝－１．故选Ａ．１３．【答案】－１－ｘ０－ｘ１１ｅ【解析】设切点的坐标为（ｘ，ｅ０），由题意得ｆ′（ｘ）＝－，则该切线的斜率ｋ＝－＝，０ｘｘ０ｘ－１ｅｅ０解得ｘ０＝０，则切线的斜率ｋ＝－１．１４．【答案】槡２ｂ【解析】双曲线Ｃ的一条渐近线为ｙ＝ｘ，令ｘ＝ａ，则有ｙ＝ｂ，则｜ＡＢ｜＝２ｂ，由双曲线的性质ａ１２２２可知△ＯＡＢ为等腰三角形，其面积Ｓ＝｜ＡＢ｜·ａ＝ａｂ＝ａ，则ａ＝ｂ，即ｃ＝槡ａ＋ｂ＝槡２ａ，所以２ｃＣ的离心率ｅ＝＝槡２．ａ５－１１５．【答案】槡２ＡＤＡＣ【解析】在△ＡＣＤ中，由正弦定理可得＝，又∠Ｂ＝∠ＣＡＤ，可得ｓｉｎＣ＝ｓｉｎＣｓｉｎ∠ＡＤＣπＡＤＡＣｓｉｎ(－２Ｂ)＝ｃｏｓ２Ｂ，且ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝ｃｏｓＢ，则有＝①．又ＡＤ＝ＡＣｓｉｎＢ②，２ｃｏｓ２ＢｃｏｓＢ２２２ｃｏｓＢ－ｓｉｎＢ１－ｔａｎＢ２①②联立，得ｓｉｎＢｃｏｓＢ＝ｃｏｓ２Ｂ，即＝１，则＝１，整理得ｔａｎＢ＋ｔａｎＢ－１＝ｓｉｎＢｃｏｓＢｔａｎＢ５－１－５－１５－１０，解得ｔａｎＢ＝槡或ｔａｎＢ＝槡（舍去）．故ｔａｎＢ＝槡．２２２２１６．【答案】槡２４【解析】经过三棱锥不共面的两条棱的中点作一条直线，三棱锥绕着这条直线最小旋转１８０°后与原三棱锥重合．如图所示，三棱锥Ａ－ＢＣＤ与三棱锥Ａ′－Ｂ′Ｃ′Ｄ′的公共部分为正八面体１２ＥＦＧＨＩＪ．在四棱锥Ｅ－ＧＨＩＪ中，底面ＧＨＩＪ为边长为的正方形，高为槡，则四棱锥Ｅ－ＧＨＩＪ的２４２１１２２２体积Ｖ＝３×(２)×槡４＝槡４８，正八面体ＥＦＧＨＩＪ的体积为２Ｖ＝槡２４，故两个三棱锥的公共部分的２体积为槡．２４【高三理科数学参考答案（第３页共８页）】 １７．【答案】见解析【解析】（１）∵｛ａ｝为等差数列，设公差为ｄ．ｎｂ＝ａ－２，∴ｂ＝ａ－２，ｂ＝ａ－２．ｎｎ３３４４∵ａ－ｂ＝４，即ａ－（ａ－２）＝４，∴ｄ＝ａ－ａ＝－２．……………………………………（２分）２３２３３２ｂ＝３ａ，即ａ－２＝３ａ，∴ａ＋３ｄ－２＝３（ａ＋ｄ），４２４２１１∴ａ＝－１，∴ａ＝－２ｎ＋１，ｂ＝－２ｎ－１．…………………………………………………（５分）１ｎｎ１１（２）由（１）可知＝，ａｂ（２ｎ－１）（２ｎ＋１）ｎｎ１１１１则＋＋＋…＋ａｂａｂａｂａｂ１１２２３３ｎｎ１１１１＝＋＋＋…＋１×３３×５５×７（２ｎ－１）（２ｎ＋１）１１１１１１１１＝×(１－＋－＋－＋…＋－)………………………………（１０分）２３３５５７２ｎ－１２ｎ＋１１１１＝(１－)＜．………………………………………………………………………（１２分）２２ｎ＋１２１８．【答案】见解析【解析】（１）由频率分布直方图可知，６５万件产品中，耐热等级达到Ｃ级的产品数为６５×（０．０６×１０＋０．０２×１０）＝５２（万件），故耐热等级达到Ｃ级的产品数约为５２万件．……………………………………………（４分）（２）设采用甲工艺生产的产品中耐热等级达到Ｃ级的产品数为Ｘ，采用乙工艺生产的产品中耐热等级达到Ｃ级的产品数为Ｙ，则耐热等级达到Ｃ级的产品总数为Ｘ＋Ｙ．由频率分布直方图可知，４随机选择１件采用甲工艺的产品耐热等级达到Ｃ级的概率为０．０６×１０＋０．０２×１０＝０．８＝，５３随机选择１件采用乙工艺的产品耐热等级达到Ｃ级的概率为０．０２×１０＋０．０４×１０＝０．６＝．５……………………………………………………………………………………………（６分）Ｘ＋Ｙ所有可能的取值为０，１，２，１２２则Ｐ（Ｘ＋Ｙ＝０）＝Ｐ（Ｘ＝０且Ｙ＝０）＝×＝，５５２５１３４２１１Ｐ（Ｘ＋Ｙ＝１）＝Ｐ（Ｘ＝０且Ｙ＝１）＋Ｐ（Ｘ＝１且Ｙ＝０）＝×＋×＝，５５５５２５４３１２Ｐ（Ｘ＋Ｙ＝２）＝Ｐ（Ｘ＝１且Ｙ＝１）＝×＝．…………………………………………（１０分）５５２５分布列如下表所示：Ｘ＋Ｙ０１２２１１１２Ｐ２５２５２５２１１１２７Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝０×＋１×＋２×＝．…………………………………………………（１２分）２５２５２５５【高三理科数学参考答案（第４页共８页）】 １９．【答案】见解析【解析】（１）在ＭＣ的延长线上取点Ｑ，因为ＣＤ⊥ＡＣ，ＣＱ⊥ＡＣ，所以∠ＤＣＱ即为二面角Ｄ－ＡＣ－Ｂ的平面角，则∠ＤＣＱ＝１２０°，且∠ＤＣＭ＝６０°．………（２分）因为ＡＣ⊥ＣＭ，ＡＣ⊥ＣＤ，ＣＭ∩ＣＤ＝Ｃ，所以ＡＣ⊥平面ＣＤＭ，又因为ＡＣ平面ＡＢＣＭ，所以平面ＣＤＭ⊥平面ＡＢＣＭ．………………………………………………………………（４分）作ＤＨ垂直ＣＭ于Ｈ，连接ＢＨ，所以ＤＨ⊥平面ＡＢＣＭ，又ＢＨ平面ＡＢＣＭ，所以ＤＨ⊥ＢＨ，且Ｈ为ＣＭ的中点．由题意可知ＤＨ＝槡３，ＢＨ＝槡１３，２２在Ｒｔ△ＢＤＨ中，ＢＤ＝槡ＤＨ＋ＢＨ＝４．……………………………………………………（５分）→→（２）以Ｃ为原点，ＣＡ，ＣＱ的方向分别为ｘ轴，ｙ轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有Ｃ（０，０，０），Ａ（２，０，０），Ｂ（２，２，０），Ｄ（０，－１，槡３），→→→→ＡＢ＝（０，２，０），ＡＤ＝（－２，－１，槡３），ＣＤ＝（０，－１，槡３），ＤＢ＝（２，３，－槡３）．→→→→→→→设ＤＰ＝λＤＢ，则ＣＰ＝ＣＤ＋ＤＰ＝ＣＤ＋λＤＢ＝（０，－１，槡３）＋λ（２，３，－槡３）＝（２λ，３λ－１，槡３－槡３λ）．设平面ＡＢＤ的一个法向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），→ｎ·ＡＢ＝０，２ｙ＝０，由{→＝０得{，ｎ·ＡＤ－２ｘ－ｙ＋槡３ｚ＝０可取ｎ＝（槡３，０，２）．…………………………………………………………………………（８分）→→ｎ·ＣＰ２３３则ｃｏｓ〈ｎ·ＣＰ〉＝→＝槡＝槡．……………（１０分）｜ｎ｜·｜ＣＰ｜槡２－１２λ＋４槡２－３λ＋１槡７·１６λ槡７·４λ３３所以直线ＣＰ与平面ＡＢＤ所成角的正弦值ｔ＝槡＝槡，２２槡７·槡４λ－３λ＋１３＋７槡７·槡４(λ－８)１６３４３当λ＝时，ｔ取最大值槡，８７４３所以直线ＣＰ与平面ＡＢＤ所成角的正弦值的最大值槡．………………………………（１２分）７【高三理科数学参考答案（第５页共８页）】 ２０．【答案】见解析【解析】（１）由长轴比短轴长２，则２（ａ－ｂ）＝２，即ａ－ｂ＝１①，２２由焦距为２槡３，则ｃ＝槡３，即ａ－ｂ＝３②，①②联立，得ａ＋ｂ＝３，则ａ＝２，ｂ＝１，２ｘ２所以Ｃ的方程为＋ｙ＝１．…………………………………………………………………（４分）４（２）由题意可知，直线ｌ的斜率不为０．当ｌ的斜率不存在时，直线ｌ的方程为ｘ＝１，由对称性可知，四边形ＡＢＤＥ为矩形，５２９则Ｄ，Ｅ两点到直线ｘ＝的距离之积为｜ＰＱ｜＝．……………………………………（５分）２４当ｌ的斜率存在时，设ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），结合题意可设Ｄ（ｘＤ，ｙ２），Ｅ（ｘＥ，ｙ１）．２２ｘ＋４ｙ＝４２２２由{，可得ｘ＋４ｋ（ｘ－１）＝４，ｙ＝ｋ（ｘ－１）２２２２整理得（１＋４ｋ）ｘ－８ｋｘ＋４ｋ－４＝０，２２８ｋ４ｋ－４ｘ＋ｘ＝，ｘｘ＝．………………………………………………………………（６分）１２２１２２１＋４ｋ１＋４ｋｙｙ１２由Ａ，Ｑ，Ｄ三点共线，可知ｋＡＱ＝ｋＤＱ，即＝①，５５ｘ－ｘ－１Ｄ２２ｙｙ２１由Ｂ，Ｑ，Ｅ三点共线，可知ｋＢＱ＝ｋＥＱ，即＝②，５５ｘ－ｘ－２Ｅ２２ｙｙｙｙ１２２１①×②得：＝，５５５５（ｘ－）（ｘ－）（ｘ－）（ｘ－）１２ＤＥ２２２２５５５５又ｙ１ｙ１≠０，则（ｘ１－）（ｘ２－）＝（ｘＤ－）（ｘＥ－）．…………………………………（９分）２２２２２２２５５５２５４ｋ－４５８ｋ２５－８（１＋４ｋ）２５（ｘ－）（ｘ－）＝ｘｘ－（ｘ＋ｘ）＋＝－·＋＝＋＝１２１２１２２２２２２２４１＋４ｋ２１＋４ｋ４２（１＋４ｋ）４９，４５５９则（ｘＤ－）（ｘＥ－）＝．………………………………………………………………（１１分）２２４５９故Ｄ，Ｅ两点到直线ｘ＝的距离之积为定值．…………………………………………（１２分）２４２１．【答案】见解析ｘ－１１ｅｘ【解析】（１）当ａ＝２ｅ时，ｆ（ｘ）＝２ｅ－ｌｎ(２ｅ)，ｘ－１ｘ－２ｅ１ｅ１ｆ′（ｘ）＝－＝－（ｘ＞０），２ｅｘ２ｘ【高三理科数学参考答案（第６页共８页）】 易知ｆ′（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增，且ｆ′（２）＝０．………………………………………（２分）所以当ｘ∈（０，２）时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，当ｘ∈（２，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增．……………………………………………（４分）（２）依题意，ａ＞０，ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞）．ｘ－１ｘ－１１ａｘｅ－１ｆ′（ｘ）＝ａｅ－＝．ｘｘｘ－１ｘ－１ｘ－１ｘ－１令ｇ（ｘ）＝ａｘｅ－１（ａ＞０），ｇ′（ｘ）＝ａｅ＋ａｘｅ＝（ａ＋ａｘ）ｅ＞０易知ｇ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增，ｇ（０）＝－１＜０，１１１１１１ｇ(＋１)＝ａ(＋１)ｅａ－１＝（１＋ａ）ｅａ－１，ｅａ＞１，１＋ａ＞１，则ｇ(＋１)＞０，ａａａ１故存在ｘ０∈(０，＋１)，使得ｇ（ｘ）＝０．……………………………………………………（６分）ａ当ｘ∈（０，ｘ０）时，ｇ（ｘ）＜０，当ｘ∈（ｘ０，＋∞）时，ｇ（ｘ）＞０．因为ｘ＞０，所以当ｘ∈（０，ｘ０）时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，当ｘ∈（ｘ０，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，当ｘ＝ｘ０，ｆ（ｘ）取极小值，也是ｆ（ｘ）唯一的最小值点．……………………………………（８分）ｘｘ１由ｇ（ｘ）＝０得ａｘｅ０－１－１＝０，即ａｅ０－１＝，①００ｘ０两边同时取自然对数，则有ｌｎａ＋ｘ０－１＝－ｌｎｘ０，则ｌｎ（ａｘ０）＝－ｘ０＋１．②ｘ１１由①②得ｆ（ｘ）＝ａｅ０－１－ｌｎ（ａｘ）＝＋ｘ－１≥２·ｘ－１＝１，００００ｘｘ０槡０当且仅当ｘ０＝１时，等号成立．……………………………………………………………（１０分）当ｘ０＝１时函数ｆ（ｘ）取最小值１，函数过点（１，１），函数与ｙ＝１有且只有一个交点．由ｆ（１）＝１，可得ａ－ｌｎａ＝１，解得ａ＝１．所以曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与直线ｙ＝１有且只有一个交点时，ａ＝１．……………………………（１２分）２２．【答案】见解析２２１２２１【解析】（１）由Ｃ１的参数方程得ｘ＝ｔ＋２＋１，ｙ＝ｔ＋２－１，４ｔ４ｔ２２两式相减得ｘ－ｙ＝２，２２所以Ｃ１的普通方程为ｘ－ｙ＝２．２２由Ｃ２的参数方程得Ｃ２的普通方程为ｘ＋ｙ＝４．…………………………………………（５分）２２ｘ－ｙ＝２，ｘ＝±槡３，（２）由得到{ｘ２＋ｙ２＝４{ｙ＝±１．所以Ａ的直角坐标为（槡３，１）．………………………………………………………………（７分）π以ＯＡ为直径的圆的圆心的极坐标为(１，６)，半径为１，π则ＯＡ为直径的圆的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓ(θ－６)所以所求圆的极坐标方程为ρ＝槡３ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ．…………………………………………（１０分）２３．【答案】见解析【解析】（１）由ｍ＝１，则ｆ（ｘ）＝｜ｘ－１｜，【高三理科数学参考答案（第７页共８页）】 ３当ｘ≥１时，ｆ（ｘ）＝ｘ－１≤２－ｘ，则１≤ｘ≤；………………………………………………（２分）２当ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＝１－ｘ≤２－ｘ成立，则ｘ＜１，３综上，不等式ｆ（ｘ）≤２－ｘ的解集为(－∞，２]．……………………………………………（５分）（２）因为ｆ（ｘ）≥２－ｘ恒成立，所以ｆ（ｘ）＋ｘ≥２恒成立，２ｘ－ｍ，ｘ≥ｍ，设ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＝｜ｘ－ｍ｜＋ｘ＝{ｍ，ｘ＜ｍ，当ｘ≥ｍ时，ｇ（ｘ）＝２ｘ－ｍ在［ｍ，＋∞）上单调递增，当ｘ＜ｍ时，ｇ（ｘ）＝ｍ．………………………………………………………………………（８分）所以函数ｇ（ｘ）的最小值为ｍ，所以ｍ≥２，故ｍ的取值范围为［２，＋∞）．……………………………………………………………（１０分）【高三理科数学参考答案（第８页共８页）】