河南省TOP20名校2023届高三数学（文）12月调研试题（PDF版带解析）

２０２２－２０２３学年高三年级ＴＯＰ二十名校十二月调研考高三文科数学参考答案１．【答案】Ｃ【解析】Ａ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜１｝，瓓Ａ＝｛ｘ｜ｘ≤－１或ｘ≥１｝，则Ｂ∩瓓Ａ＝｛－１，１，２｝．故选Ｃ．ＲＲ２．【答案】Ａ１１ｉｉ（１－ｉ）１１【解析】因为＝１＋ｉ，所以ｚ＝１－＝＝＝＋ｉ，所以｜ｚ｜＝１－ｚ１＋ｉ１＋ｉ（１＋ｉ）（１－ｉ）２２２２１１２槡(２)＋(２)＝槡２．故选Ａ．３．【答案】Ｃ１ｚ【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，结合图形可知，当直线ｙ＝－ｘ＋过点Ａ（０，２）２２时，ｚ取最小值，ｚｍｉｎ＝４．４．【答案】Ｃπππ【解析】ｙ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝槡２ｓｉｎ(２ｘ＋４)．令ｓｉｎ(２ｘ＋４)＝０，则２ｘ＋４＝ｋπ（ｋ∈Ｚ），即ｘ＝πｋπ３π－＋（ｋ∈Ｚ），故对称中心可以是(，０)．故选Ｃ．８２８５．【答案】Ｄ１１０．２０１【解析】ａ＝ｌｏｇ０．５＜ｌｏｇ１＝０，＝０．５＜ｂ＝０．５＜０．５＝１，０＜ｃ＝槡０．２＜槡０．２５＝，所５５２２以ａ＜ｃ＜ｂ．６．【答案】Ｃ【解析】执行该程序框图，ｉ＝１，Ｋ＝０，Ｓ＝１３０，执行第１次循环ｉ＝１，Ｋ＝１，Ｓ＝６５；执行第２次循环ｉ＝２，Ｋ＝３，Ｓ＝１３；执行第３次循环ｉ＝５，Ｋ＝８，Ｓ＝１；当ｉ＝５时不满足ｉ＜５，输出Ｓ＝１．故选Ｃ．７．【答案】Ｄ２２×５＋２２２×５＋（２－２）【解析】新样本的平均数为ｘ＝＝２，方差ｓ＝＜２；因为加入的２是原样６６本数据的平均值，故不是最大和最小的数，所以极差不变但中位数有可能发生改变．故选Ｄ．８．【答案】Ａ【解析】因为ｆ（１－ｘ）为奇函数，所以ｆ（１＋ｘ）＝－ｆ（１－ｘ），所以ｆ（ｘ）的图象关于点（１，０）对称．因为ｆ（ｘ－１）为偶函数，所以ｆ（－ｘ－１）＝ｆ（ｘ－１），即ｆ（－１－ｘ）＝ｆ（－１＋ｘ），所以ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝－１对称．则有ｆ（－２）＝ｆ（０）＝－ｆ（２）＝１，即ｆ（２）＝－１．故选Ａ．【高三文科数学参考答案（第１页共７页）】 ９．【答案】Ｄ【解析】连接Ａ１Ｄ，由Ａ１Ｄ∥Ｂ１Ｃ，可知Ａ１Ｅ与Ｂ１Ｃ不平行，Ａ选项不正确；连接ＢＣ１交Ｂ１Ｃ于点１１Ｇ，连接ＦＧ，因为ＦＧ∥ＡＢ，ＦＧ＝ＡＢ，ＢＥ∥ＡＢ，ＢＥ＝ＡＢ，所以ＦＧ∥ＢＥ，ＦＧ＝ＢＥ，则四１１１１１１１１２２边形ＢＥＦＧ为平行四边形，则有ＥＦ∥ＢＧ，因为ＢＧ⊥Ｂ１Ｃ，ＥＦ∥ＢＧ，所以ＥＦ⊥Ｂ１Ｃ，因为Ａ１Ｅ＝ＣＥ，Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ⊥ＡＣ，所以ＥＦ⊥平面ＡＢＣ，故平面ＡＥＣ⊥平面ＡＢＣ，Ｂ选项不１１１１１１１１正确；因为ＥＦ⊥平面Ａ１Ｂ１Ｃ，所以ＥＦ的长度即为点Ｅ到平面Ａ１Ｂ１Ｃ的距离，ＥＦ＝ＢＣ１＝槡２，Ｃ２１１４选项不正确；由等体积变换可知ＶＡ１－Ｂ１ＣＥ＝ＶＥ－Ａ１Ｂ１Ｃ＝３×Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ×ＥＦ＝３×２槡２×槡２＝３，Ｄ选项正确．故选Ｄ．１０．【答案】Ｂａｎ＋３【解析】由ａ·ａ·ａ＝１类比得ａ·ａ·ａ＝１，两式相除得＝１，即ａ＝ａ．ｎｎ＋１ｎ＋２ｎ＋１ｎ＋２ｎ＋３ｎ＋３ｎａｎ１由ａ１＝２，ａ２＝－，得ａ３＝－１，设{ａｎ}的前ｎ项积为Ｔｎ，则有Ｔ１＝２，Ｔ２＝－１，Ｔ３＝１，Ｔ４＝２，２…，则数列{Ｔｎ}是以３为周期的数列，Ｔｎ的最大值为２．故选Ｂ．１１．【答案】Ｄ２２【解析】由ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１，可得点Ａ的轨迹是以原点为圆心，１为半径的圆，根据向量减法的→→几何意义，由｜ＯＡ－ＯＢ｜＝１，可得点Ｂ的轨迹是以Ａ为圆心，１为半径的圆，如图所示．当点Ｂ在→→坐标原点位置时，ＯＢ取最小值０，当点Ｂ在射线ＯＡ与圆Ａ的交点位置时，ＯＢ取最大值２，→→Ａ，Ｂ选项错误．根据向量数量积的几何意义，当点Ｂ在坐标原点位置时，ＯＢ在ＯＡ方向上的投影→→→→取最小值０，此时ＯＡ·ＯＢ取最小值０，当点Ｂ在射线ＯＡ与圆Ａ的交点位置时，ＯＢ在ＯＡ方向上→→的投影取最大值２，此时ＯＡ·ＯＢ取最大值２，Ｃ选项错误，Ｄ选项正确．故选Ｄ．１２．【答案】Ｂ【解析】不妨设点Ｐ在第一象限，作ＰＰ′垂直准线于点Ｐ′，则有｜ＰＰ′｜＝｜ＰＦ｜，由角平分线定理【高三文科数学参考答案（第２页共７页）】 ｜ＡＢ｜｜ＰＡ｜｜ＰＡ｜１１得＝＝＝，当直线ＡＰ与抛物线相切时，∠ＡＰＰ′最大，最｜ＢＦ｜｜ＰＦ｜｜ＰＰ′｜ｃｏｓ∠ＡＰＰ′ｃｏｓ∠ＡＰＰ′２ｙ＝４ｘ，２２大，设直线ＡＰ的方程为ｘ＝ｍｙ－１（ｍ＞０），由{ｙ－４ｍｙ＋４＝０，由Δ＝１６ｍ－ｘ＝ｍｙ－１整理得｜ＡＢ｜１１６＝０，得ｍ＝１，则当直线ＡＰ与抛物线相切时∠ＡＰＰ′＝４５°，则＝≤槡２，设Ｏ为｜ＢＦ｜ｃｏｓ∠ＡＰＰ′｜ＡＢ｜１＋｜ＯＢ｜原点，则｜ＡＢ｜－｜ＢＦ｜＝（１＋｜ＯＢ｜）－（１－｜ＯＢ｜）＝２｜ＯＢ｜，由上可知，＝≤槡２，整｜ＢＦ｜１－｜ＯＢ｜理得｜ＯＢ｜≤３－２槡２，则｜ＡＢ｜－｜ＢＦ｜≤６－４槡２，当直线ＡＰ与抛物线相切时取最大值．故选Ｂ．１３．【答案】－１－ｘ１１【解析】设切点的坐标为（ｘ，ｅ０），由题意得ｆ′（ｘ）＝－，则该切线的斜率ｋ＝－＝０ｘｘ０ｅｅ－ｘ０ｅ，解得ｘ＝０，则切线的斜率ｋ＝－１．０ｘ－１０２２ｘ１４．【答案】ｙ－＝１（答案不唯一）３２ｃ２２２ｘ【解析】由题意可知＝２，即ｂ＝３ａ，所以Ｃ的方程可以为ｙ－＝１．ａ３１５．【答案】２０π【解析】依题意，作出球Ｏ的内接正四棱柱ＩＤＪＣ－ＡＨＢＧ，ＡＣ∩ＧＩ＝Ｋ．因为ＧＩ∥ＢＤ，所以∠ＡＫＧ＝６０°或１２０°，又ＡＢ＜ＥＦ，则∠ＡＫＧ＝６０°．因为ＡＢ＝２槡２，则ＡＧ＝２，ＡＩ＝２槡３，在Ｒｔ△ＡＥＯ２２２中，ＥＯ＝槡３，ＡＥ＝槡２，则ＡＯ＝槡ＡＥ＋ＥＯ＝槡５，则球Ｏ的表面积Ｓ＝４πＲ＝２０π．５－１１６．【答案】槡２ＡＤＡＣ【解析】在△ＡＣＤ中，由正弦定理可得＝．又∠Ｂ＝∠ＣＡＤ，可得ｓｉｎＣ＝ｓｉｎＣｓｉｎ∠ＡＤＣπＡＤＡＣｓｉｎ(－２Ｂ)＝ｃｏｓ２Ｂ，且ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝ｃｏｓＢ，则有＝①．又ＡＤ＝ＡＣｓｉｎＢ②，２ｃｏｓ２ＢｃｏｓＢ２２２ｃｏｓＢ－ｓｉｎＢ１－ｔａｎＢ２①②联立，得ｓｉｎＢｃｏｓＢ＝ｃｏｓ２Ｂ，即＝１，则＝１，整理得ｔａｎＢ＋ｔａｎＢ－１＝ｓｉｎＢｃｏｓＢｔａｎＢ５－１－５－１５－１０，解得ｔａｎＢ＝槡或ｔａｎＢ＝槡（舍去）．故ｔａｎＢ＝槡．２２２【高三文科数学参考答案（第３页共７页）】 １７．【答案】见解析【解析】（１）由频率分布直方图可知，６５万件产品中，耐热等级达到Ｃ级的产品数为６５×（０．０６×１０＋０．０２×１０）＝５２（万件），故耐热等级达到Ｃ级的产品数约为５２万件．……………………………………………（４分）（２）由频率分布直方图可知，采用甲工艺生产的产品中，达到Ｃ级的件数为（０．２＋０．６）×５０＝４０，未达到Ｃ级的件数为５０－４０＝１０．…………………………………………………………（６分）采用乙工艺生产的产品中，达到Ｃ级的件数为（０．２＋０．４）×５０＝３０，未达到Ｃ级的件数为５０－３０＝２０．…………………………………………………………（８分）完成表格如下：合格不合格Ａ４０１０Ｂ３０２０………………………………………………………………………………………………（１０分）２２１００×（４０×２０－３０×１０）１００由列联表可得，Ｋ＝＝≈４．７６２＞３．８４１，５０×５０×７０×３０２１所以有９５％的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关．……………………………（１２分）１８．【答案】见解析【解析】（１）由ｂｎ＝ａｎ－２，可知数列{ｂｎ}为等差数列，且{ａｎ}，{ｂｎ}的公差相等，设为ｄ．由ａ２－ｂ３＝４，得ａ２－（ａ３－２）＝４，则ｄ＝ａ３－ａ２＝－２．…………………………………（２分）由ｂ４＝３ａ２，得ｂ１＋３ｄ＝３（ａ１＋ｄ），即ｂ１＝３ａ１．因为ｂｎ＝ａｎ－２，所以ｂ１＝ａ１－２，则有ａ１－２＝３ａ１，则ａ１＝－１，故数列{ａｎ}的通项公式为ａｎ＝－２ｎ＋１，则数列{ｂｎ}的通项公式ｂｎ＝－２ｎ－１．…………………………………………………………（５分）１１（２）由（１）可知＝，ａｂ（２ｎ－１）（２ｎ＋１）ｎｎ１１１１则＋＋＋…＋ａｂａｂａｂａｂ１１２２３３ｎｎ１１１１＝＋＋＋…＋１×３３×５５×７（２ｎ－１）（２ｎ＋１）１１１１１１１１＝×(１－＋－＋－＋…＋－)………………………………（１０分）２３３５５７２ｎ－１２ｎ＋１１１１＝(１－)＜．………………………………………………………………………（１２分）２２ｎ＋１２１９．【答案】见解析【解析】（１）取ＡＣ的中点Ｇ，连接ＥＧ，ＦＧ．因为ＥＧ∥ＣＤ，ＣＤ⊥ＡＣ，所以ＥＧ⊥ＡＣ．因为ＦＧ∥ＡＢ，ＡＢ⊥ＡＣ，所以ＦＧ⊥ＡＣ．……………………………………………………（２分）又ＥＧ∩ＦＧ＝Ｇ，所以ＡＣ⊥平面ＥＦＧ．又ＥＦ平面ＥＦＧ，所以ＡＣ⊥ＥＦ．…………………………………………………………（４分）【高三文科数学参考答案（第４页共７页）】 （２）在△ＥＦＧ中，ＥＧ＝ＦＧ＝１，ＥＦ＝槡３．２２２ＥＧ＋ＦＧ－ＥＦ１由余弦定理得，ｃｏｓ∠ＥＧＦ＝＝－，则∠ＥＧＦ＝１２０°．２ＥＧ·ＦＧ２因为ＣＤ∥ＥＧ，ＦＧ∥ＣＭ，所以∠ＤＣＭ＝６０°．………………………………………………（６分）因为ＡＣ⊥ＣＭ，ＡＣ⊥ＣＤ，ＣＭ∩ＣＤ＝Ｃ，所以ＡＣ⊥平面ＣＤＭ．又因为ＡＣ平面ＡＢＣＭ，所以平面ＣＤＭ⊥平面ＡＢＣＭ．………………………………………………………………（８分）作ＤＨ垂直ＣＭ于Ｈ，连接ＢＨ．所以ＤＨ⊥平面ＡＢＣＭ，又ＢＨ平面ＡＢＣＭ，所以ＤＨ⊥ＢＨ．由题意可知ＤＨ＝槡３，ＢＨ＝槡１３，２２在Ｒｔ△ＢＤＨ中，ＢＤ＝槡ＤＨ＋ＢＨ＝４．……………………………………………………（１２分）２０．【答案】见解析２【解析】（１）当ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）ｌｎｘ－ｘ（ｘ＞０），ｘ－１ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋－２ｘ，设ｇ（ｘ）＝ｆ′（ｘ），ｘ１１（ｘ－１）（２ｘ＋１）ｇ′（ｘ）＝＋－２＝－，２２ｘｘｘ当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，ｆ′（ｘ）在（１，＋∞）上单调递减；当０＜ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０，ｆ′（ｘ）在（０，１）上单调递增．故ｆ′（ｘ）的单调递增区间为（０，１），单调递减区间为（１，＋∞）．…………………………（４分）（２）由ｆ（１）≥０，得ａ≥１．２当ａ≥１时，ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）ｌｎｘ＋（ａ－１）ｘ≥（ｘ－１）ｌｎｘ．…………………………………（６分）ｘ－１令ｈ（ｘ）＝（ｘ－１）ｌｎｘ，ｈ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋，ｘｘ－１ｘ－１当ｘ＞１时，ｌｎｘ＞０，＞０，ｈ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋＞０，ｘｘｈ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递增；ｘ－１ｘ－１当０＜ｘ＜１时，ｌｎｘ＜０，＜０，ｈ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋＜０，ｘｘｈ（ｘ）在（０，１）上单调递减，故ｈ（ｘ）≥ｈ（１）＝０．…………………………………………………………………………（１０分）此时ｆ（ｘ）≥ｈ（ｘ）≥０，满足题意．【高三文科数学参考答案（第５页共７页）】 综上，实数ａ的取值范围为［１，＋∞）．……………………………………………………（１２分）２１．【答案】见解析【解析】（１）由长轴比短轴长２，则２（ａ－ｂ）＝２，即ａ－ｂ＝１①，２２由焦距为２槡３，则ｃ＝槡３，即ａ－ｂ＝３②，①②联立，得ａ＋ｂ＝３，则ａ＝２，ｂ＝１，２ｘ２所以Ｃ的方程为＋ｙ＝１．…………………………………………………………………（４分）４（２）由题意可知，直线ｌ的斜率不为０．当ｌ的斜率不存在时，直线ｌ的方程为ｘ＝１，由对称性可知，四边形ＡＢＤＥ为矩形，５２９则Ｄ，Ｅ两点到直线ｘ＝的距离之积为｜ＰＱ｜＝．……………………………………（５分）２４当ｌ的斜率存在时，设ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），结合题意可设Ｄ（ｘＤ，ｙ２），Ｅ（ｘＥ，ｙ１）．２２ｘ＋４ｙ＝４２２２由{，可得ｘ＋４ｋ（ｘ－１）＝４，ｙ＝ｋ（ｘ－１）２２２２整理得（１＋４ｋ）ｘ－８ｋｘ＋４ｋ－４＝０，２２８ｋ４ｋ－４ｘ＋ｘ＝，ｘｘ＝．………………………………………………………………（６分）１２２１２２１＋４ｋ１＋４ｋｙｙ１２由Ａ，Ｑ，Ｄ三点共线，可知ｋＡＱ＝ｋＤＱ，即＝①，５５ｘ－ｘ－１Ｄ２２ｙｙ２１由Ｂ，Ｑ，Ｅ三点共线，可知ｋＢＱ＝ｋＥＱ，即＝②，５５ｘ－ｘ－２Ｅ２２ｙｙｙｙ１２２１①×②得：＝，５５５５（ｘ－）（ｘ－）（ｘ－）（ｘ－）１２ＤＥ２２２２５５５５又ｙ１ｙ１≠０，则（ｘ１－）（ｘ２－）＝（ｘＤ－）（ｘＥ－）．…………………………………（９分）２２２２２２２５５５２５４ｋ－４５８ｋ２５－８（１＋４ｋ）２５（ｘ－）（ｘ－）＝ｘｘ－（ｘ＋ｘ）＋＝－·＋＝＋＝１２１２１２２２２２２２４１＋４ｋ２１＋４ｋ４２（１＋４ｋ）４９，４５５９则（ｘＤ－）（ｘＥ－）＝．………………………………………………………………（１１分）２２４５９故Ｄ，Ｅ两点到直线ｘ＝的距离之积为定值．…………………………………………（１２分）２４２２．【答案】见解析２２１２２１【解析】（１）由Ｃ１的参数方程得ｘ＝ｔ＋２＋１，ｙ＝ｔ＋２－１，４ｔ４ｔ【高三文科数学参考答案（第６页共７页）】 ２２两式相减得ｘ－ｙ＝２，２２所以Ｃ１的普通方程为ｘ－ｙ＝２．２２由Ｃ２的参数方程得Ｃ２的普通方程为ｘ＋ｙ＝４．…………………………………………（５分）２２ｘ－ｙ＝２，ｘ＝±槡３，（２）由得到{ｘ２＋ｙ２＝４，{ｙ＝±１．所以Ａ的直角坐标为（槡３，１）．………………………………………………………………（７分）π以ＯＡ为直径的圆的圆心的极坐标为(１，６)，半径为１，π则ＯＡ为直径的圆的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓ（θ－），６所以所求圆的极坐标方程为ρ＝槡３ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ．…………………………………………（１０分）２３．【答案】见解析【解析】（１）由ｍ＝１，则ｆ（ｘ）＝｜ｘ－１｜，３当ｘ≥１时，ｆ（ｘ）＝ｘ－１≤２－ｘ，则１≤ｘ≤；………………………………………………（２分）２当ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＝１－ｘ≤２－ｘ成立，则ｘ＜１，３综上，不等式ｆ（ｘ）≤２－ｘ的解集为(－∞，２]．……………………………………………（５分）（２）因为ｆ（ｘ）≥２－ｘ恒成立，所以ｆ（ｘ）＋ｘ≥２恒成立，２ｘ－ｍ，ｘ≥ｍ，设ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＝｜ｘ－ｍ｜＋ｘ＝{ｍ，ｘ＜ｍ．当ｘ≥ｍ时，ｇ（ｘ）＝２ｘ－ｍ在［ｍ，＋∞）上单调递增，当ｘ＜ｍ时，ｇ（ｘ）＝ｍ．………………………………………………………………………（８分）所以函数ｇ（ｘ）的最小值为ｍ，所以ｍ≥２，故ｍ的取值范围为［２，＋∞）．……………………………………………………………（１０分）【高三文科数学参考答案（第７页共７页）】