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2022-2023学年高二数学上学期第二次大练习试题(Word版带解析)
2022-2023学年高二数学上学期第二次大练习试题(Word版带解析)
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湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期第二次大练习数学一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列导数运算正确的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的计算公式,以及导数的运算法则,逐项判断,即可得出结果.【详解】对于A,,A错误;对于B,,B正确;对于C,,C错误;对于D,,D错误.故选:B.2.已知平面内有一点,平面的一个法向量为,则下列点P中,在平面内的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】可设出平面内内一点坐标,求出与平面平行的向量,利用数量积为0可得到,,的关系式,代入各选项的数据可得结果.【详解】解:设平面内一点,则: ,是平面的法向量,,,由得把各选项的坐标数据代入上式验证可知适合.故选:.【点睛】本题考查空间向量点的坐标的概念,法向量的概念,向量数量积的概念.3.已知为递增的等差数列,,若,则()A.10B.11C.12D.13【答案】C【解析】【分析】求出等差数列的两个基本量进而根据通项公式求得的值.【详解】设公差,根据等差数列性质可知,又,且递增,解得:,又,即,解得.故选:C.4.人们用分贝(dB)来划分声音的等级,声音的等级d(x)(单位:dB)与声音强度(单位:)满足d(x)=9lg.一般两人小声交谈时,声音的等级约为54dB,在有50人的课堂上讲课时,老师声音的等级约为63dB,那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍【答案】B【解析】【分析】利用对数运算即可求解.【详解】设老师上课时声音强度,一般两人小声交谈时声音强度分别为,根据题意得=,解得,,解得 ,所以因此,老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.故选:B.5.若直线与圆交于,两点,当最小时,劣弧的长为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简直线方程化为,得到直线恒过定点,结合圆的性质和圆的弦长公式,即可求解.【详解】由题意,直线可化为,当且,即且时,等式恒成立,所以直线恒过定点,设圆的圆心为,半径,当直线时,取得最小值,且最小值为,此时弦长对的圆心角为,所以劣弧长为.故选:B.6.已知正项等比数列中的是函数的极值点,则()A.B.1C.D.2【答案】B【解析】【分析】求导根据根与系数的关系得到,根据等比数列性质得到,计算得到答案.【详解】是的极值点,则是的两个根,故,是正项等比数列,所以,因此. 故选:B7.已知实数分别满足,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将变形为,观察可发现这与形式相同,且易知,.构造,求导可得在上单调递增.从而可推出,代入即可得到结果.【详解】由可得,,则,即,又,所以,且,.令,则,当时,恒成立,所以,在上单调递增.又,,,所以.所以,.故选:C.8.已知中心在坐标原点的椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线与交于两点,且,点为线段上靠近的四等分点.若对于线段上的任意一点,都有成立,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由结合极化恒等式得,从而得,结合椭圆定义可得在和中由余弦定理建立关系得离心率. 【详解】取的中点,连接.则有.同理,因此.所以,取的中点,连接,则,由三线合一得,设,故,解得,则,在和中,由余弦定理得,,解得,故选:.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).本题关键是在在和中由余弦定理建立关系式,也可以在和中同样的方法求解.二、多选题:本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.在每小题给出的选 项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知抛物线的焦点为为坐标原点,点在抛物线上,若,则()A.的坐标为B.C.D.以为直径的圆与轴相切【答案】BCD【解析】【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标,可判断A选项;利用抛物线的定义可求得的值,可判断B选项;先根据抛物线的方程求的值,再利用平面内两点间的距离公式可判断C选项;求出的中点坐标,进而可得该点到y轴的距离,结合直线与圆的位置关系判断D选项.【详解】对于抛物线,可得,且焦点在y轴正半轴上,则点错误;由拋物线的定义可得,可得正确;由可知,,可得,C正确;∵的中点坐标为,则点到y轴的距离,∴以为直径的圆与轴相切,D正确.故选:BCD.10.如图是常见的一种灭火器消防箱,抽象成数学模型为如图所示的六面体,其中四边形和为直角梯形,,为直角顶点,其他四个面均为矩形,,下列说法正确的是() A.该几何体是四棱台B.C.D.平面与平面的夹角为【答案】BD【解析】【分析】四边形和为直角梯形,其他四个面均为矩形,可知:,且四直线相等,故这是一个以平面和平面是底面的直四棱柱,又过的三条棱两两垂直,可以建立空间直角坐标系易得答案.【详解】因为四边形和为直角梯形,为直角顶点,其他四个面均为矩形可知:,且四直线相等,所以这个六面体是四棱柱,平面和平面是底面,故错误;由题意可知两两垂直,如图,以点为坐标原点建立空间直角坐标系,则,故.故正确;,所以不垂直,故C错误;根据题意可知平面,所以为平面的一个法向量,,设为平面的法向量,则有则可取,则,所以平面与平面的夹角为,故正确.故选:BD.11.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石 子所排列的形状把数分成许多类,如图中第一行图形中黑色小点个数:称为三角形数,第二行图形中黑色小点个数:称为正方形数,记三角形数构成数列,正方形数构成数列,则下列说法正确的是()A.B.1225既是三角形数,又是正方形数C.D.,总存在,使得成立【答案】ABD【解析】【分析】利用等差数列求和,分别求出,,进而结合裂项求和法逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】三角形数构成数列,易得;正方形数构成数列,,易得;对于A:,故A正确;对于B:令,解得;令,解得.故B正确;对于:∵, ∴,故C错误;对于D:取,且,则,即,故,总存在,使得成立,故D正确.故选:ABD.12.若,则()A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】分别构造、、,利用导数研究它们在上的单调性比较大小即可,应用特殊值法判断D.【详解】A:令且,则,仅当时等号成立,故导函数恒大于0,故在定义域上递增,则,即,所以,错误;B:令且,则,故在定义域上递增,则,即,所以,则,即,正确;C:令且,则,故在定义域上递增,则,即, 所以,则,正确;D:当时,,错误.故选:BC【点睛】关键点点睛:根据不等式构造函数,应用导数研究单调性,进而比较大小关系.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知数列满足,则数列的通项公式为___________.【答案】【解析】【分析】把,看成的前项和,记为,利用求解.【详解】时,时,,时,不满足上式,故答案:14.三棱锥中,,则三棱锥的外接球表面积为___________.【答案】【解析】【分析】证明,,,得出棱中点为外接球球心,进而得出外接球半径,即可计算出三棱锥外接球表面积.【详解】解:由题意,如图,在△中,, ∴,∵,面,,∴⊥面,又面,∴在△中,同理可得,,∵面,,∴面,又面,∴∴棱中点为外接球球心,外接球半径为,∴外接球表面积为.故答案为:.15.直线与曲线恰有两个交点,则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】直线恒过点,分和两种情况分析曲线方程所表示的曲线,数形结合,求得m的取值范围.【详解】直线,斜率为m,恒过点,时,曲线为,表示双曲线位于x轴上及x轴上方的部分,如图,一条渐近线方程为,直线与曲线有两个交点,则, 时,曲线为,表示单位圆位于x轴下方的部分(半圆),如图,直线与曲线有两个交点,则,解得,综上所述,.故答案为:.16.已知函数,若方程有四个不等的实数根,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】利用转化法,结合导数性质、数形结合思想、分类讨论思想进行求解即可.【详解】由于,方程等价于,即依题意与图象有四个交点,令,若,令,当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以当,取最大值, ,若,,当当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以当,的最小值,,函数的图象如下图所示:所以与的图象有四个交点时,.故答案为:【点睛】关键点睛:利用转化法,结合导数的性质是解题的关键.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的所有正的零点构成递增数列.(1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)首先利用辅助角公式化简,再求出所有正的零点,利用等差数列即可求解通项.(2)首先求出,再利用错位相减法求解即可.【小问1详解】,由题意令,解得.又函数的所有正的零点构成递增数列,所以当时,是首项,公差的等差数列,因此.【小问2详解】由(1)知,则,①,②由①-②得,所以.18.已知,动点满足,动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程; (2)若点是直线上的动点,过点作曲线的两条切线,切点为,则直线是否过定点?若经过定点,求出定点的坐标;若不经过定点,请说明理由.【答案】(1)(2)过定点,定点【解析】【分析】(1)点点距离,列等量,化简即可求解轨迹方程,(2)根据四点共圆得方程,进而根据两圆方程得相交弦方程,进而可求定点.【小问1详解】设点,依题意知,整理得,曲线的方程为.【小问2详解】设为坐标原点,由题意可知:四点共圆且在以为直径的圆上(对角互补的四边形的四顶点共圆),设该圆为圆,设,则圆心,半径,于是圆的方程为:即,又在圆上,即,(直线是两圆的公共弦所在直线,故两圆方程相减便得其方程).由得所以直线过定点..19.如图:直三棱柱中,侧面,均为边长为2的正方形,且面面分别为正方形对角线的中点. (1)求点到面的距离;(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)将点到面的距离转化为点到面的距离,使用等积法求解.(2)方法一:几何法,取的中点,可证得为二面角的平面角,在中由余弦定理可求得的值.方法二:建立空间坐标系使用向量法求解.【小问1详解】面面,故直三棱柱可以看作为正方体沿对角面截取的一半,因为分别为正方形对角线的中点,故点到面的距离即点到面的距离.△为边长为的等边三角形.设点到面的距离为,则由,得,即.【小问2详解】 (方法一)取的中点,连接,均是边长为的等边三角形,可得,且为二面角的平面角,在等腰中,,由余弦定理可求得,平面与平面夹角的余弦值为.(方法二)以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴如图建系,,,设平面的法向量为,由得令,有,,又,设平面的法向量为,由得,令,有,则,因为, 所以平面与平面夹角的余弦值为.20.设数列的前项和为,且,若对任意的,均有是常数且成立,则称数列为“数列”.(1)若数列为“(1)数列”,求数列的通项公式;(2)若数列为“数列”,且,设,证明.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用新定义和,可得答案;(2)利用新定义和可得,所以,,两式相减得化简计算可得答案.【小问1详解】数列为“(1)数列”,则,故,两式相减得:,.又时,,所以,故对任意的恒成立,即(常数),故数列为等比数列,其通项公式为;【小问2详解】因为数列为“(2)数列”,所以,所以,故有,又时,,故,满足:,所以对任意正整数恒成立,数列的前几项为:,且,故当时,;当时,;当时, ,且是递增数列,所以,,两式相减得:,,因为,故,即.21.已知双曲线,其虚轴长为,直线与曲线的左支相交于相异两点.(1)求的取值范围;(2)为坐标原点,若双曲线上存在点,使(其中),求的面积的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据已知可得双曲线方程为.联立直线与双曲线的方程可得,根据题意可判断方程有两个不相等的负数根,由韦达定理以及两根的符号,即可求出的取值范围;(2)由可得到,代入双曲线即可得到的关系.然后表示出弦长以及到直线的距离,可表示出的面积,令换元可得.对求导即可得到在上单调递增,即可求出最值. 【小问1详解】因为双曲线的虚轴长为,所以,故双曲线方程为.联立消去整理得,因为直线与曲线的左支相交于相异两点,所以该方程有两个不相等的负数根,设.,解得.实数的取值范围是.【小问2详解】设,由得:.所以,,故,,.点在双曲线上,,整理得,因,,所以,即.,又点到直线的距离为 ,,由于,,,令,则,.令,.,且设,则,因为,,所以,所以有,所以,所以,在上单调递增,所以,当时,有最小值;当时,有最大值.故. 22.已知函数(,为自然对数的底数).(1)讨论的单调性;(2)当,恒成立,求整数的最大值.【答案】(1)见解析;(2)1.【解析】【分析】(1)按照、分类,结合导函数的正负即可得解;(2)转化条件为在上恒成立,令,按照、分类,结合导数确定函数的最大值即可得解.【详解】(1)当时,在上单调递减;当时,,故当时,有,所以在单调递增;当时,有,所以在上单调递减;所以当时,在上单调递减;当时,在上单调递增,在上单调递减;(2)因为当时,恒成立,所以在上恒成立,令, 则,①当即时,,在单调递减,则要使,解得(不合题意);②当即时,则当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;则要使令,,设,则要使,因为,所以在单调递减,而,,所以整数的最小值为2,故整数的最大值为1.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及解决不等式恒成立问题,考查了运算求解能力与逻辑推理能力,属于中档题.
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高中 - 数学
发布时间:2023-02-18 11:44:04
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