浙江省北斗联盟2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版含解析）

绝密★考试结束前北斗联盟2022学年第一学期期中联考高二年级数学学科试题命题：塘栖中学於潜中学考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A.B.C.D.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A.B.C.D.3.函数的零点所在的大致区间是（）A.B.C.D.4.已知，，，则（）A.B.C.D.5.设数据是郑州市普通职工个人的年收入，若这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（）A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变6.设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（）A.若，，，，则 B.若，则C.若，则D.若，，则7.在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（）A.B.C.D.8.如图，在平行四边形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最小值是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.正方体中，是正方形的中心，则下列说法正确的是（）A.B.与平面的成角大于 C.平面平面D.三棱锥的体积是正方体体积的10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）A.与互斥B.C.与对立D.与相互独立11.下面四个结论正确的是（）A.已知向量，若，则B.若空间四个点，，，，，则，，三点共线C.已知向量，，若为钝角，则且D已知，，为非零向量，满足，则向量，共线12.下列说法正确的是（）A.函数的最小值为2B.若正实数a，b满足，则的最小值为C.关于x的不等式的解集是，则D.函数（且）的定义域为R，则实数m的取值范围是非选择题部分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式.其中包括他最得意的发现—“圆柱容球”.设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高.则球的体积与圆柱的体积之比为___________.14.若，则___________.15.在扇形中，半径为1，圆心角为，若要在扇形上截取一个矩形 ，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则矩形面积的最大值为___________.16､在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在中，角A，B，C的对边分别为，且.（1）求的大小；（2）若，，求的面积.18.如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求：（1）点到平面的距离；（2）平面与平面夹角的余弦值.19.哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学” 的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（结果用分数表示）；（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.20.某工厂有甲，乙，丙三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知甲生产线生产的汽车配件是合格品且乙生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，乙生产线生产的汽车配件是非合格品且丙生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，甲生产线生产的汽车配件是合格品且丙生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，记事件分别表示甲，乙，丙三条生产线各自生产的汽车配件是合格品.（1）分别求事件的概率；（2）随机从甲，乙，丙三条生产线上各取个汽车配件进行检验，求恰有个合格品的概率.21.如图所示，四边形为直角梯形，，，，，，为上的一点，且.过点作交于.如图所示，将沿折起到，使. 求证：直线平面；在线段上是否存在一点，使与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.22.设函数的定义域为，对于区间，若，∈（）满足，则称区间为函数的区间.（1）证明：区间是函数的区间；（2）已知函数在区间上的图象连续不断，且在上仅有个零点，证明：区间不是函数的区间.北斗联盟2022学年第一学期期中联考高二年级数学学科参考答案命题：塘栖中学刘静审稿：於潜中学任忠良一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】【分析】由对称性的特征，得到点关于坐标轴的对称点2.【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算，算出结果【详解】3.【答案】D【解析】 【分析】利用零点存在定理解决【详解】，由，得到答案4.【答案】B【解析】【分析】考察函数图像及性质【详解】，得到答案5.【答案】B【解析】【分析】考察一组数据平均数､中位数､方差的性质【详解】极端值可能不改变中位数，平均数和方差对极端值都敏感6.【答案】C【解析】【分析】考察线面的位置关系【详解】略7.【答案】B【解析】【分析】本题用空间向量基本定理解决【详解】，利用向量数量积的运算法则得8.【答案】A【解析】【分析】对向量基底的考察【详解】，当反向时取到最小，即二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.【答案】ACD【解析】【分析】考察空间中线面关系及成角【详解】略10.【答案】BD 【解析】【分析】考察事件的关系问题【详解】对于选项，利用独立的定义，满足，故正确.11.【答案】ABC【解析】【分析】考察向量的运算､数量积运算【详解】A正确，利用向量共线，得B正确，利用数量积公式C正确，数量积运算不满足乘法结合律，D错12.【答案】BC【解析】【分析】【详解】A错，当时，B正确，.C正确，分析得到1，2是方程的两个根，代入计算得到.D错，由，得三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【解析】【分析】利用轴截面进行计算【详解】略14.【答案】【解析】【分析】考察诱导公式【详解】由，得15.【答案】【解析】【分析】连，以角为变量，建立函数关系，求最值，考察三角函数的性质 【详解】设，则，化简得，当，面积取到最大值16.【答案】【解析】【分析】考察共面向量定理【详解】设，因为，则，由定理得，得四､解答题：本题共6小题，共70分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.详解及评分标准：（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，因为，则，所以因为，所以（2）因为，由余弦定理可得，整理得，又，解得，所以18.详解及评分标准：如图建系，则，设平面的法向量为，则 ，设所求距离为（2）设平面ACM的法向量为，同理可得，设所求角为，则19.详解及评分标准：（1）由频率分布直方图的面积和为1，则，得，又由100人中分数段的人数比分数段的人数多6人则，解得中位数中位数为（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件，由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用表示，在分数为的同学中抽取2人，分别用表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：， ，共15种抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，共8种所以抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为20.详解及评分标准：（1）因为事件分别为甲，乙，丙三条生产线各自生产的汽车配件是合格品，则事件，分别为甲，乙，丙三条生产线各自生产的汽车配件是非合格品，且相互独立，也相互独立.由得解得.（2）由（1）知，记事件为抽取的三个汽车配件中合格品为2个，则21.详解及评分标准：解：（1）解法一：，由余弦定理得，.，平面，则平面平面，又平面，.又因为直线在平面内，且相交于平面. 解法二：，，且平面，则平面，又平面，所以平面平面，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，在平面内过作的垂线，以垂线所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图则，，，，是平面内的相交直线，平面（2）由（1）知平面平面，平面平面. ，，平面平面的法向量为.设是线段上一点，则存在，使，，，如果直线与平面所成的角为，那么，即，解得，则此方程在内无解，所以在线段上不存在一点，使与平在所成的角为..22.详解及评分标准：（1）由，得，即，，可取，满足条件，所以是函数的区间.（2）因为，所以函数在上有两个零点，在上无零点，而，则在上恒成立，即，都有，所以区间不是函数的区间.