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湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市2021-2022学年高二数学上学期期末调研试卷(Word版附解析)

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2021年下学期期末调研考试试卷高二数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若两直线与平行,则的值为()A.B.2C.D.0【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件可得,即可求的值.【详解】由题意知:,整理得,∴,故选:A2.若抛物线过点,则该抛物线的焦点坐标为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】把点代入抛物线方程可得,进而求出抛物线的标准方程,结合抛物线的性质,进而得到焦点坐标.【详解】抛物线经过点,,抛物线标准方程为,抛物线焦点坐标为.故选:.3.若曲线在处的切线,也是的切线,则()A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数求得曲线在处的切线方程,并设该切线与曲线切于点,利用导数的几何意义求出切点的坐标,代入切线方程可求得实数的值.【详解】对于函数,,则,又,所以,曲线在处的切线方程为,即,设直线与曲线相切于点,对于函数,其导数为,由导数的几何意义可得,得,所以,切点坐标为,代入切线方程得.故选:C.【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数,解题时要注意以下两点:(1)切线的斜率等于函数在切点处的导数值;(2)切点为函数图象与切线的公共点.4.在平面直角坐标系中,椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,过的直线交椭圆于两点,且的周长为16,则椭圆的方程为A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】结合椭圆定义可知的周长为,由此求得;利用离心率可求得;根据椭圆可求得,进而得到椭圆方程.【详解】设椭圆方程为 由椭圆定义知:的周长为即,解得:椭圆的方程为故选:【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解,涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.5.在等比数列中,是函数的极值点,则A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】∵,∴由可知,∵等比数列中且∴,故选B.6.已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上,然后求出过点的圆的切线方程,最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知,圆的圆心,半径.因为,所以点在圆上,所以过点的圆的切线与直线垂直, 设切线的斜率,则有,即,解得.因为直线与切线垂直,所以,解得.故选:B.7.已知矩形,为平面外一点,且平面,,分别为,上的点,且,,,则()A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】由,,得,然后利用向量的加减法法则把向量用向量表示出来,可求出的值,从而可得答案【详解】解:因为,,所以所以 ,因为,所以,所以,故选:B8.已知函数是定义在上的奇函数,是的导函数,且,当时,则使得成立的的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数,根据题意可得的奇偶性与单调性,结合的图象即可求解.【详解】解:由题意可知,函数是奇函数,令函数,则函数为偶函数,又当时,,所以函数在上单调递减,根据对称性可知,函数在上单调递增,又,所以,所以,函数的大致图象如图所示:数形结合可知,使得成立的的取值范围是,,.故选:B. 【点睛】本题考查函数的性质、导数的应用,考查构造函数法,转化思想和数形结合思想,属于中档题.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知双曲线过点且渐近线为,点在双曲线的一条渐近线上,为坐标原点,为双曲线的右焦点,则下列结论正确的是()A.双曲线的离心率为2B.双曲线的方程是C.的最小值为2D.直线与有两个公共点【答案】AB【解析】【分析】设双曲线的方程为,由双曲线过点求出,判断B;再由离心率公式判断A;联立直线和双曲线方程判断D.【详解】设双曲线的方程为,由双曲线过点可得,即双曲线的方程是,故B正确;可化为,则,,故A正确; 由题意可得,当直线与渐近线垂直时,取最小值,且最小值,故C错误;由,解得,即直线与只有一个交点,故D错误;故选:AB10.已知递减的等差数列的前项和为,,则()A.B.最大C.D.【答案】ABD【解析】分析】根据项的正负可判断AB,利用前项和与通项的关系可判断CD.【详解】因为,故,所以,因为等差数列为递减数列,故公差,所以,故AB正确.又,,故C错误,D正确.故选:ABD.11.下列说法错误的是()A.若直线与直线互相垂直,则B.直线的倾斜角的取值范围是C.过,两点的所有直线的方程为D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】ACD 【解析】【分析】.根据直线垂直的等价条件进行判断,.根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断,.当直线和坐标轴平行时,不满足条件..过原点的直线也满足条件.【详解】解:.当,两直线方程分别为和,此时也满足直线垂直,故错误,.直线斜率,则,即,则,故正确,.当,或,时直线方程为,或,此时直线方程不成立,故错误,.若直线过原点,则直线方程为,此时也满足条件,故错误,故选:.12.已知函数,若区间的最小值为且最大值为1,则的值可以是()A.0B.4C.D.【答案】AB【解析】【分析】先求导,分类讨论利用导数法研究函数的最值,即可求解【详解】,令,解得或.①当时,可知在上单调递增,所以在区间的最小值为,最大值为.此时,满足题设条件当且仅当,, 即,.故A正确.②当时,可知在上单调递减,所以在区间的最大值为,最小值为.此时,满足题设条件当且仅当,,即,.故B正确.③当时,可知在的最小值为,最大值为b或或,,则,与矛盾.若,,则或或,与矛盾.故C、D错误.故选:AB三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,它用九个圆环相连成串,以解开为胜,据明代杨慎《丹铅总录》记载:“两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合面为一”,在某种玩法中,用表示解下个圆环所需的移动最少次数,若,且,则解下5个环所需的最少移动次数为______.【答案】16【解析】【分析】根据递推关系可以得到奇数项的递推关系式,判断奇数项为等比数列,写出奇数项构成的数列的通项公式,由此可得的值,即为所求.【详解】由已知可得,当时,,所以是以为首项,以为公比的等比数列,∴, ∴,故答案为:1614.已知函数在上是单调递增函数,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数,问题转化为,结合二次函数的性质求出的取值范围即可.【详解】解:若在上是单调递增函数,则在上恒成立,即,,故,故答案为:15.如图,在三棱锥中,三条侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA,OB,OC的长分别为a,b,c,M为内部及其边界上的任意一点,点M到平面OBC,平面OAC,平面OAB的距离分别为,,,则______.【答案】1.【解析】 【分析】根据,利用等体积法即可求得答案.【详解】如图,设点M到平面OBC,平面OAC,平面OAB的投影点分别为,连接,则.而,,所以.故答案为:1.16.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆,A1,A2分别为左、右顶点,B1,B2分别为上、下顶点,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,现给出以下四个条件:①;②;③轴,且;④四边形的的内切圆过焦点,.其中能使椭圆C为“黄金椭圆”的条件是______和______. 【答案】①.②##④②.④##②【解析】【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标,根据椭圆的基本性质求出离心率判断①;根据勾股定理以及离心率公式判断②;根据结合斜率公式以及离心率公式判断③;由四边形的一个内角即三角形是等边三角形,得到,结合离心率公式判断④.【详解】由条件得到,即或(舍,解得:,所以①不正确;若,则由射影定理可得:,即,所以,即,,解得;所以②正确;若轴,如图可得,又,则斜率相等,所以,即,或,显然不符合,所以,所以③不正确;因为四边形为菱形,若命题正确则内切圆的圆心为原点,由圆的对称性可知, 圆心到直线的距离等于,因为直线的方程为:,即,所以原点到直线的距离,由题意知:,又,整理得:,,,解得,所以,所以④正确,故答案为:②,④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.解答下列各题:(1)求两条平行直线与间的距离.(2)求曲线在点处的切线方程.【答案】(1)(2) 【解析】【分析】(1)由两条平行直线之间的距离公式可到的答案;(2)求出曲线在点处的切线的斜率,再由直线点斜式方程可得答案..【小问1详解】可化为,所以两条平行线间的距离.【小问2详解】因为,所以在曲线上,因为,所以,所以切线的斜率为,所以切线方程为,即.18.已知数列的前项和为,且(),.数列为等比数列,且.(Ⅰ)求和的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)先得到数列是以2为公差的等差数列,由求出首项,可得的通项公式,由求出等比数列的首项与公比,从而可得的通项公式;(2)利用(1)得,结合等比数列的求和公 式,利用错位相减法可得结果.【详解】(1)由已知得:,数列是以2为公差的等差数列.,,,.设等比数列的公比为,,,,.(2)由题意,得,,.上述两式相减,得,.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算,以及等比数列的求和公式,错位相减法的应用,属于中档题.“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积);②相减时注意最后一项的符号;③求和时注意项数别出错;④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.19.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度.(结果保留两位小数) 【答案】支柱A2P2的高度约为3.86m【解析】【分析】以O为原点,AB所在直线为x轴建立坐标系,圆的方程为x2+(y+10.5)2=14.52,将x=–2代入圆方程,可得到A2P2的高度.【详解】以O为原点,AB所在直线为x轴建立坐标系,如图,则圆心在y轴,设圆心坐标(0,a).由题意,P(0,4),A(–10,0),所以有(a–4)2=a2+100,解得a=–10.5,所以圆的方程为x2+(y+10.5)2=14.52,将x=–2代入圆方程,得4+(y+10.5)2=14.52,整理,得,解得y=或y=(舍去).所以A2P2=≈3.86(m),即支柱A2P2的高度约为3.86m.【点睛】直线与圆方程的实际应用.解决直线与圆的实际应用题的步骤:(1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知;(2)建系:建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素;(3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知;(4)还原:将运算结果还原到实际问题中去. 20.在如图所示的多面体中,且.,且,且,平面ABCD,.(1)求点F到直线EC的距离;(2)求平面BED与平面EDC夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据线面垂直的性质可得,,以为坐标原点建立空间直角坐标系,代入即可;(2)求出平面与平面的法向量,再利用向量的夹角公式即可得解.【小问1详解】因为平面,平面,平面,所以,且,因为,如图所示,以为坐标原点建立空间直角坐标系,则,,,,,,,所以,, 所以求点F到直线EC的距离为.【小问2详解】,设平面的法向量为,则,即,令,有,设平面的法向量为,则,即,令,有,设平面和平面的夹角为,,所以平面和平面的夹角的余弦值为. 21.已知椭圆()离心率等于,且椭圆C经过点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA,PB,设PA,PB与椭圆C异于点P的交点分别为A,B,若,试问直线AB的斜率是否为定值?如果为定值,请求出此定值;如果不是定值,请说明理由.【答案】(1)(2)直线AB的斜率是定值,为【解析】【分析】(1)由题意得,再结合可求出,从而可求出椭圆C的方程; (2)由题意得,两条直线PA,PB的斜率均存在,且互为相反数,设直线为,则直线为,设,然后将两直线方程分别代入椭圆方程中可求出,再求直线AB的斜率化简可得结果【小问1详解】因为椭圆()离心率等于,且椭圆C经过点,所以且,解得,所以椭圆C的方程为小问2详解】由题意得,两条直线PA,PB的斜率均存在,且互为相反数,设直线为,则直线为,设,将代入,得,所以,所以,同理可得,所以 所以直线AB的斜率是定值,等于22.已知函数,.(1)若,求的取值范围;(2)若时,方程()在上恰有两个不等的实数根,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由给定成立的不等式分离参数,再构造新函数并探讨其最大值即可得解;(2)构造函数,探求其单调性并确定函数值的取值情况即可作答.【详解】(1)函数的定义域为,,设函数,则,由得,由得,即函数在递增,在 递减,从而得时,函数取最大值,所以实数的取值范围是;(2)由题意:在上恰有2个不相等的实数根,设函数,则,由得,由得,则在上递减,在上递增,,,,而()在上恰有2个不相等的实数根,则有,解得,所以实数的取值范围.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-02-13 10:02:04 页数:22
价格:¥2 大小:1.26 MB
文章作者:随遇而安

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