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湖南省长沙市名校2021-2022学年高二数学上学期入学考试试题(Word版附答案)

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长沙市名校2021-2022学年高二上学期入学考试数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页.时量120分钟.满分100分.第Ⅰ卷一、单项选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知,则“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.已知复数z满足,则()A.B.C.D.★3.下列命题中不正确的是()A.一组数据的平均数,众数,中位数相同B.有A,B,C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查,如果抽取的A个体数为9,则样本容量为30C.若甲组数据的方差为5,乙组数据为,则这两组数据中较稳定的是乙D.一组数的分位数为54.已知两条不同的直线l,m和不重合的两个平面,且,有下面四个命题:①若,则;②若,则;③若,则;④若,则其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.②③④D.①④5.已知向量,若,则()A.B.C.D.6.不等式对任意a,恒成立,则实数x的取值范围是()A.B.C.D.7.某人先后三次掷一颗骰子,则其中某两次所得的点数之和为11的概率为()A.B.C.D.8.已知函数,则方程的根的个数为(),A.3B.5C.7D.9二、选择题(本题共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,有选错的得0分,部分选对的得2分)★9.小张上班从家到公司开车有两条线路,所需时间(分)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如表所示:所需时间/分30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是A.任选一条线路,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看,线路一比线路二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司,小张应该走线路一D.若小张上、下班走不同线路,则所需时间之和大于100分钟的概率为0.0410.已知函数,若将函数的图象向右平移个单位长度后,所得图象关于y轴对称,则下列结论中正确的是()A.B.是图象的一个对称中心C.D.是图象的一条对称轴11.如图,在棱长为6的正方体中,E为棱上一点,且,F为棱的中点,点G是线段上的动点,则()A.无论点G在线段上如何移动,都有B.四面体的体积为24C.直线与所成角的余弦值为D.直线与平面所成最大角的余弦值为12.已知定义在R上的函数满足条件,且函数,是奇函数,则四个命题中,正确的命题有()A.函数是周期函数B.函数的图象关于点对称C.函数是偶函数D.函数在R上是单调函数三、填空题(本题共4小题,每小题3分,共12分)★13.函数的定义域为R,则实数m的取值范围是________.14.已知则的值为________.15.已知三个顶点都在球O的表面上,且,S是球面上异于A、B、C的一点,且平面,若球O的表面积为,则球心O到平面的距离为________.16.在中,已知,P为线段上的一点,且,则的最小值为_________.四、解答题(本题共6小题,每小题8分,共48分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分8分)已知.(1)若为真命题,为假命题,求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.18.(本小题满分8分)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c设.(1)求B;(2)若的面积等于求的周长的小值.,★19.(本小题满分8分)某工厂生产一种汽车的元件,该元件是经过A,B,C三道工序加工而成的,A,B,C三道工序加工的元件合格率分别为,已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工都合格的元件为一等品;恰有两道工序加工合格的元件为一等品;其他的为废品,不进入市场.(1)生产一个元件,求该元件为二等品的概率;(2)从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测,求至少有2个元件是一等品的概率.20.(本小题满分8分)如图,三棱柱中,.(1)求证:平面;(2)设直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.21.(本小题满分8分)已知向量(1)若,求的值;(2)记,在中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足,求函数的取值范围.22.(本小题满分8分)设函数(且),是定义域为R的奇函数:,(1)求k的值,(2)判断并证明当时,函数在R上的单调性;(3)已知,若对于时恒成立.请求出最大的整数.,长沙市名校2021-2022学年高二上学期入学考试数学参考答案一、单项选择题题号123456789101112答案ACBABCCCBDABDABDABC1.A2.C3.B【解析】对于选项A,数据的平均数为,众数和中位数都是3,故选项A正确;对于选项B,根据样本的抽样比等于各层的抽样比,样本容量为,故选项B不正确;对于选项C,乙组数据的平均数为乙组数据的方差为,所以这两组数据中较稳定的是乙,故选项C正确;对于D项,将该组数据从小到大排列,由,则该组数据的分位数为5,故D正确.4.A【解析】因为两条不同的直线l,m和不重合的两个平面,且,对于①,由,可得,故①正确;对于②,若,可得,故②正确;对于③,若,则有可能,故③错误;对于④,当时,则有可能,故④错误.综上,真命题的序号是①②.5.B【解析】依题意得,,所以,故.6.C【解析】对任意恒成立,等价于,由于(当时等号成立),∴,解得,故选C.7.C【解析】从反面来考虑该问题,因为,所以要使得两次所得的点数之和均不为11,则5和6两个数最多只有一个数可被选到,下面分情况讨论:第一种,5和6一个都不被选到,则有种选法;第二种,5和6恰好有一个被选到,不妨设5被选到,则有种不同的选法,故5和6恰好有一个被选到的选法有,种不同的选法.所以满足条件的概率为,故选C.8.C【解析】令,先解方程.(1)当时,则,得;(2)当时,则,即,解得,如图所示:直线与函数的交点个数为3、2、2,所以,方程的根的个数为.二、多项选择题9.BD【解析】“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件,A错误;线路一所需的平均时间为分钟,线路二所需的平均时间为分钟,所以线路一比线路二更节省时间,B正确;线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7,线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8,小张应该选线路二,故C错误;所需时间之和大于100分钟,则线路一、线路二的时间可以为和三种情况,概率为,故D正确.10.ABD【解析】由题意得,平移后的函数的图象关于y轴对称,则,因为,所以,故A正确;,由,得对称中心的横坐标为,故是图象的一个对称中心,故B正确;,故C不正确;由,得,所以是图象的一条对称轴,故D正确.,11.ABD【解析】在正方体中,易证平面,又平面,所以,则A正确;,则B正确;在棱上取点N,使,连结(如图1),则易知为直线与所成角或其补角,可得,则,则直线与所成角余弦值为,C错误;由题意知三棱锥为棱长为的正四面体,作平面,O为垂足,则O为正的中心,且为直线与平面所成角,所以,当点G移动到的中点时,最短,如图2,此时最小,最大,此时,则D正确.12.ABC【解析】对于A,∵,∴函数是以3为周期的周期函数,故A正确;对于B,∵是奇函数,∴其图象关于原点对称,又函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到的,所以函数的图象关于点对称,故B正确;对于C,由B知,对于任意的,都有,用换x,可得:,令,则,∴函数是偶函数,故C正确;对于D,由C知是偶函数,偶函数的图象关于y轴对称,∴在R上不是单调函数,故D错误.三、填空题13.【解析】函数的定义域为R,等价于在上恒成立,则或者;当时,有,解得不符合题意;.即,,所以m的取值范围为.14.【解析】,所以.15.【解析】由,∴,并且平面平面,∴,且,∴平面,∴,∴是直角三角形和的公共斜边,取的中点O,根据直角三角形的性质可知,所以点O是三棱锥外接球的球心,设,则,则三棱锥外接球的表面积,解得:,点O到平面的距离.16.【解析】中,设,∵,∴,即,∴,∵,∴,,∴,,根据直角三角形可得,∴,以C为坐标原点,所在的直线为x轴,所在的直线为y轴建立直角坐标系可得,P为线段上的一点,则存在实数使得,,设则,∴,∴,则,当且仅当,即时,.四、解答题17.【解析】(1)当时,,由,可得,即.因为为真命题,为假命题,故p与q一真一假,2分若p真q假,则该不等式组无解;若p假q真,则,得或.综上所述,实数x的取值范围为或4分(2)由题意,,因为p是q的充分不必要条件,故,故,得,故实数m的取值范围为.8分18.【解析】(1)因为.由正弦定理得.显然,所以2,分所以,∵.所以,∴4分(2)依题意,∴.6分所以,当且仅当时取等号.又由余弦定理得.∴当且仅当时取等号.所以的周长最小值为.8分19.【解析】(1)不妨设一个元件经A、B、C三道工序加工合格的事件分别为A、B、C,则,1分设事件D为“生产一个元件,该元件为二等品”,根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式,所以生产一个元件,该元件为二等品的概率为.4分(2)生产一个元件,该元件为一等品的概率.5分设事件E为“任意取出3个元件进行检测,至少有2个元件是一等品”,则.所以至少有2个元件是一等品的概率为.8分20.【解析】(1)证明:在中,,由余弦定理,∴,∴,又∵,∴平面;3分,(2)由(1)知;两两垂直,以C为原点,所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,设点,其中,设平面法向量为,,取,则,得,∵,由已知,解得:,可得点,5分设为平面的法向量,,由取,则,可得,6分∴,由图可知,二面角为锐角,所以,二面角的余弦值为8分,21.【解析】2分(1)∵,∴,4分(2)∵,由正弦定理得,∴,∴.∵,∴,且,∴.6分∴..又∵,∴,故故函数的取值范围是.8分22.【解析】(1)∵(且)是定义域为R的奇函数,∴,解得.此时,对任意,有,即是R上的奇函数,符合题意.故.2分(2)由(1)得.设,且,则,∵,且,∴,又∴,即,∴在R上为增函数.5分(3)由(1),不等式对于时恒成立,即,亦即不等式恒成立.令,则,问题转化为关于t的不等式对任意恒成立,亦即不等式,对任意恒成立.当时,,,则的最大整数为10.8分

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2021-09-09 14:35:38 页数:13
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文章作者:随遇而安

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