2022春八年级数学下册第九章图形的相似达标检测（鲁教版五四制）

第九章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．已知5x＝6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是(　　)A.＝B.＝C.＝D.＝2．下列各组图形中有可能不相似的是(　　)A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为(　　)A．4B．5C．6D．84．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是(　　)A．150°B．147°C．135°D．120°5．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　　)A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于(　　)A．60mB．40mC．30mD．20m7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出△CDE，使它与△AOB位似，且相似比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为(　　)A．(0，0)，2B．(2，2)，C．(2，2)，2D．(1，1)，8．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n13 ，且这两个直角三角形不相似，则m＋n的值为(　　)A．10＋或5＋2B．15C．10＋D．15＋39．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示以AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长、BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3∶S2的值为(　　)A.B.C.D.10．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC，PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的数量为(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每题3分，共24分)11．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1500000的地图上测得所居住的城市距A地32cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．12．已知2x＝3y，那么的值为________．13．在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标为________________．14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．15．如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若13 AC＝6，则DH＝________.16．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚C的距离为5m，窗口AB高2m，那么窗口底端B距离墙脚C________m.17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以边BC上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则Sn＝____________________________(用含n的式子表示，n为正整数)．三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)19．(1)已知线段a是线段b，c的比例中项，如果a＝2，b＝3，求c的长度．(2)已知2∶(a＋1)＝(a－1)∶3，求a的值.20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为(－3，－1)，顶点B，C都在小正方形的格点上．(1)点B的坐标为________，点C的坐标为________．(2)以原点O为位似中心，在所给的网格中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2∶1.13 21．如图，在△ABC中，点D，G在边AC上，点E在边BC上，DB＝DC，EG∥AB，AE，BD交于点F，BF＝AG.(1)求证：△BFE∽△CGE；(2)当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AC·AG.22．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2米高的标杆CD和EF，两标杆相距52米，并且建筑物AB，标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，点G与建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，点H与建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．13 23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，两点都停止运动．设运动时间为ts.(1)当t＝3时，P，Q两点之间的距离是多少？(2)若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．(3)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．13 (3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．13 答案一、1．B　2．A　3．C　4．B　5．A6．B　点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴＝，即＝.∴AB＝40m.7．B　8．A9．A　点拨：如图，设AB＝1.∵点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝EF＝GF＝，∴BE＝FH＝AB－AE＝，∴S3∶S2＝(GF·FH)∶(BC·BE)＝：＝.故选A.10．C　点拨：设AP＝x，则BP＝8－x，当△PAE∽△PBC时，＝，∴AE·PB＝BC·PA，即3(8－x)＝4x，解得x＝.当△PAE∽△CBP时，13 ＝，∴AE·BC＝PA·PB，即3×4＝x(8－x)，解得x＝2或x＝6.故满足条件的点P的数量为3个．二、11．160km　点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为xkm，根据题意可列比例式为＝，解得x＝160.12．　点拨：∵2x＝3y,∴＝，∴＝＝＝＝.13．(4，8)或(－4，－8)点拨：∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，而点A的坐标为(2，4)，∴点A对应点A1的坐标为(2×2，2×4)或(－2×2，－2×4)，即(4，8)或(－4，－8)．14．2；1∶2；1∶615．1　点拨：∵D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，∴DH＝EF.∵EF∥AC，∴易得△BEF∽△BAC，∴＝，即＝，解得EF＝2，∴DH＝EF＝×2＝1.13 16．2.5　点拨：由题意得CE＝5m，AB＝2m，DE＝4m.∵AD∥BE，∴＝，∴＝，解得BC＝2.5m，即窗口底端B距离墙脚C2.5m.17.或3　点拨：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝；当△CBM∽△ABP时，BM∶BP＝CB∶AB，得BM＝4÷4×3＝3.18.×　点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝BC＝1.在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝.根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，则＝，∴S1＝S.同理可得S2＝S1，S3＝S2，S4＝S3，….又∵S＝×1×＝，∴S1＝S＝×，S2＝S1＝×，S3＝S2＝×，S4＝S3＝×，…，Sn＝×.三、19．解：(1)∵线段a是线段b，c的比例中项，∴a2＝bc.∵a＝2，b＝3，∴c＝＝.(2)∵2∶(a＋1)＝(a－1)∶3，∴(a＋1)(a－1)＝2×3，13 ∴a2＝7，∴a＝±.20．解：(1)(1，2)；(－2，3)(2)如图，△A1B1C1即为所求作．21．证明：(1)∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.∵EG∥AB，∴＝.∵BF＝AG，∴＝，∴△BFE∽△CGE.(2)∵△BFE∽△CGE，∴∠BEF＝∠GEC，∠BFE＝∠EGC.∵∠AEG＝∠C，∠GEB＝∠AEG＋∠AEB＝∠C＋∠EGC，∴∠AEB＝∠EGC，∴∠BEF＝∠GEC＝∠BFE＝∠EGC，∴BE＝BF，EC＝GC，∴BE＝AG.∴BC＝AC.∵GE∥AB，∴∠AEG＝∠BAE，∴∠BAE＝∠C.又∵∠ABE＝∠ABC，13 ∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴＝，∴AB2＝AC·BE＝AC·AG.22．解：由题意得，CD＝DG＝EF＝2米，DF＝52米，FH＝4米．∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴∠ABH＝∠CDG＝∠EFH＝90°.又∵∠CGD＝∠AGB，∠EHF＝∠AHB，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴＝，＝，即＝，＝，∴＝，＝，∴＝，解得BD＝52米，∴＝，解得AB＝54米．答：建筑物AB的高度为54米．23．解：由题意得AP＝4tcm，CQ＝2tcm，则CP＝(20－4t)cm.(1)当t＝3时，CP＝20－4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，由勾股定理得PQ＝＝＝10(cm)．(2)S＝×(20－4t)×2t＝20t－4t2(0≤t≤5)．(3)分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，＝，即＝，解得t＝3；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，＝，即＝，解得t＝.13 因此t＝3或t＝时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．24．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝AC.∵∠B＝90°，∴AC＝＝4.∴AE＝CE＝2.∴＝＝.当α＝180°时，如图①，易得AC＝4，CE＝2，CD＝4，∴＝＝＝.(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴＝仍然成立．又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD.13 ∴＝.由(1)可知AC＝4.∴＝＝.∴＝.∴的大小不变．(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵＝，∴BD＝.综上，BD的长为4或.13