安徽省合肥一六八中高二数学上学期期中试卷文含解析

2022-2022学年安徽省合肥一六八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共60题，每题5分．每题仅有一个正确选项．）1．下列说法中正确的是()A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A．120°B．150°C．180°D．240°3．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21+B．18+C．21D．184．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()-18-\nA．2+B．C．D．1+5．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为()①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β③若l⊥n，m⊥n，则l∥m④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥αA．1B．2C．3D．46．设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四面体的面BCD上的射影可能是()A．B．C．D．7．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直8．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是()A．B．∪（，π）D．-18-\n15．三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=__________．16．光线由点A（﹣1，4）射出，遇到直线l：2x﹣3y﹣6=0后被反射，已知点在反射光线上，则反射光线所在的直线方程为__________．三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17．四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．18．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．19．已知点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣PAB体积；-18-\n（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．21．（13分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（Ⅰ）求证：BC∥平面DAE；（Ⅱ）求四棱锥D﹣AEFB的体积．22．（13分）如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD．（1）设EF=λBD，是否存在实数λ，使BF∥平面ACE；（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF（3）当EF=BD时，求几何体ABCDEF的体积．-18-\n-18-\n2022-2022学年安徽省合肥一六八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共60题，每题5分．每题仅有一个正确选项．）1．下列说法中正确的是()A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【考点】棱柱的结构特征．【专题】综合题．【分析】通过棱柱的定义以及棱柱的基本性质，判断四个选项的正误，A满足定义，B、C、D可以找出反例．【解答】解：棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱；可以判断A正确；B不正确，例如正六棱柱的相对侧面；C不正确，只有直棱柱满足C的条件；D不正确，例如长方体．故选A【点评】本题是基础题，考查棱柱的定义，棱柱的基本性质，考查基本知识掌握的情况．2．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A．120°B．150°C．180°D．240°【考点】扇形面积公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，求出侧面展开图扇形的弧长，可求其圆心角．【解答】解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即180°故选C．-18-\n【点评】本题考查圆锥的侧面展开图，及其面积等知识，考查空间想象能力，是基础题．3．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21+B．18+C．21D．18【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．-18-\n4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A．2+B．C．D．1+【考点】斜二测法画直观图．【专题】计算题；作图题．【分析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．【解答】解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选A【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．5．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为()①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β③若l⊥n，m⊥n，则l∥m④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥αA．1B．2C．3D．4【考点】平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①利用线面平行的判定定理即可得出；②利用面面垂直的判定定理即可判断出；③利用线线的位置关系即可得出；④利用面面垂直的性质定理即可得出．【解答】解：①若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，因此不正确；-18-\n②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，利用面面垂直的判定定理可得：α⊥β，正确；③若l⊥n，m⊥n，则l∥m、相交或为异面直线，因此不正确；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此正确．综上可知：只有②④正确．故选：B．【点评】本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，熟练掌握判定定理及其性质定理是解决问题的关键，属于基础题．6．设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四面体的面BCD上的射影可能是()A．B．C．D．【考点】平行投影及平行投影作图法．【专题】探究型；空间位置关系与距离．【分析】确定S在面BDC上的射影在平面ADC内部，即可判断正确选项．【解答】解：因为Q为BC上异于中点和端点的任一点，所以S在面BDC上的射影在平面ADC内部，Q在BC上，D为顶点，所以△SDQ在面BDC上的射影为图C，故选：C．【点评】本题考查平行投影以及平行投影的作图方法，考查空间想象能力．7．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直-18-\n【考点】正弦定理的应用；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】要寻求直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．【解答】解：由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率，bx﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k1k2===﹣1则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0垂直故选C．【点评】本题主要考察了两直线的位置关系中的垂直关系的判断，主要是通过直线的斜率关系进行判断，解题中要注意正弦定理的应用．8．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是()A．B．∪（，π）D．故E是BC的中点，所以PA与底面ABC所成角为∠PAE，等边三角形PBC中，PE=，直角三角形ABC中，AE=BC=，又PA=1，∴三角形PAE中，tan∠PAE==∴∠PAE=，则PA与底面ABC所成角为．【点评】本题考查直线与平面成的角的求法．15．三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．-18-\n【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．16．光线由点A（﹣1，4）射出，遇到直线l：2x﹣3y﹣6=0后被反射，已知点在反射光线上，则反射光线所在的直线方程为13x﹣26y+85=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆．【分析】求出点（﹣1，4）关于直线l1：2x+3y﹣6=0的对称点的坐标，利用两点式方程求出入射光线所在的直线方程．【解答】解：设点（﹣1，4）关于直线l1：2x﹣3y﹣6=0的对称点的坐标为（a，b），则，解得：a=，b=﹣，-18-\n又由反射光线经过点B（3，），故反射光线的方程为：=﹣，即：13x﹣26y+85=0，故答案为：13x﹣26y+85=0．【点评】对称点的坐标的求法：利用垂直平分解答，本题是通过特殊直线特殊点处理，比较简洁，考查计算能力．三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17．四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形．【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V==；（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．同理EF∥AD，HG∥AD，-18-\n∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0可得定点坐标．（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）=0，∴无论k取何值，直线过定点（﹣2，1）．（2）令y=0得A点坐标为（﹣2﹣，0），令x=0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），∴S△AOB=|﹣2﹣||2k+1|=（2+）（2k+1）=（4k++4）≥（4+4）=4．当且仅当4k=，即k=时取等号．-18-\n即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣y+1+1=0．即x﹣2y+4=0【点评】本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求式子的最小值．19．已知点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】设P的坐标为（x，y），由题意点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，可得，结合两点间的距离，化简整理得x2+y2﹣6x+1=0，又由点N到PM的距离为1，即|MN|=2，可得直线PM的斜率，进而可得直线PM的方程，并将方程代入x2+y2﹣6x+1=0整理得x2﹣4x+1=0，解可得x的值，进而得P的坐标，由直线的方程代入点的坐标可得答案．【解答】解：设P的坐标为（x，y），由题意有，即，整理得x2+y2﹣6x+1=0，因为点N到PM的距离为1，|MN|=2所以PMN=30°，直线PM的斜率为直线PM的方程为将代入x2+y2﹣6x+1=0整理得x2﹣4x+1=0解得，则点P坐标为或或直线PN的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．【点评】本题考查直线的方程，注意结合题意，选择直线方程的合适的形式，进行整理变形、求解．-18-\n20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣PAB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）求出底面ABE的面积，求出高PA，即可求三棱锥E﹣PAB体积；（2）点E为CD的中点，推出EF||PC，证明EF∥平面PAC即可；（3）证明AF垂直平面PDC内的两条相交直线CD，PD，即可证明AF⊥平面PDC，从而证明PE⊥AF．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴．（2）当点E为BC的中点时，EF||平面PAC．理由如下：∵点E，F分别为CD、PD的中点，∴EF||PC．∵PC⊂平面PAC，EF⊂平面PAC∴EF||平面PAC（3）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴CD⊥PA∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∵AF⊂平面PAD∴AF⊥DC∵PA=AD，点F是PD的中点∴AF⊥PD，又CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．-18-\n21．（13分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（Ⅰ）求证：BC∥平面DAE；（Ⅱ）求四棱锥D﹣AEFB的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）先根据面面平行的判定定理，证得面CBF∥面DAE，又BC⊂面CBF，根据面面平行的性质可知BC∥平面DAE；（Ⅱ）取AE的中点H，连接DH，根据线面垂直的判定定理可得EF⊥平面DAE，根据线面垂直的性质可知EF⊥DH，再根据，则DH⊥面AEFB，根据体积公式即可求出四棱锥D﹣AEFB的体积．【解答】解：（Ⅰ）∵CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E∴面CBF∥面DAE，又BC⊂面CBF，所以BC∥平面DAE（Ⅱ）取AE的中点H，连接DH，∵EF⊥ED，EF⊥EA∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE∴EF⊥DH，∵∴DH⊥面AEFB，所以四棱锥D﹣AEFB的体积【点评】本题主要考查棱锥的体积公式和线面平行的判定定理的应用．考查对定理的掌握情况和对基础知识的综合运用．-18-\n22．（13分）如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD．（1）设EF=λBD，是否存在实数λ，使BF∥平面ACE；（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF（3）当EF=BD时，求几何体ABCDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法．【分析】（1）存在．证明四边形EFBO是平行四边形，可得BF∥EO，使BF∥平面ACE；（2）利用面面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面BDEF；（3）几何体的体积VABCDEF=2VA﹣BDEF=2×SBDEF•AO【解答】（1）解：存在．证明：记AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，∵EF∥BD，当时，即EF=BD，∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵EO⊂面ACE，BF⊄面ACE，∴BF∥平面ACE；…4’（2）证明：∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又ED∩BD=D，∴AC⊥平面BDEF，又AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；…8’（3）解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，又∵EF∥BD且EF=BD，∴BDEF是直角梯形，又∵ABCD是边长为2的正方形，BD=2，EF=，-18-\n∴梯形BDEF的面积为=，由（1）知AC⊥平面BDEF，∴几何体的体积VABCDEF=2VA﹣BDEF=2×SBDEF•AO=2×=2．…13’【点评】本题主要考查空间直线与平面，面面垂直的判定以及空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理．-18-