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安徽省合肥一六八中高二数学上学期期中试卷文含解析
安徽省合肥一六八中高二数学上学期期中试卷文含解析
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2022-2022学年安徽省合肥一六八中高二(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(共60题,每题5分.每题仅有一个正确选项.)1.下列说法中正确的是()A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形2.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A.120°B.150°C.180°D.240°3.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A.21+B.18+C.21D.184.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是()-18-\nA.2+B.C.D.1+5.已知三条不重合的直线m,n,l和两个不重合的平面α、β,下列命题中正确命题个数为()①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若l⊥α,m⊥β且l⊥m则α⊥β③若l⊥n,m⊥n,则l∥m④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥αA.1B.2C.3D.46.设四面体ABCD各棱长均相等,S为AD的中点,Q为BC上异于中点和端点的任一点,则△SQD在四面体的面BCD上的射影可能是()A.B.C.D.7.设a,b,c分别是△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边的边长,则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.直线x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是()A.B.∪(,π)D.-18-\n15.三棱锥P﹣ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D﹣ABE的体积为V1,P﹣ABC的体积为V2,则=__________.16.光线由点A(﹣1,4)射出,遇到直线l:2x﹣3y﹣6=0后被反射,已知点在反射光线上,则反射光线所在的直线方程为__________.三、解答题(共70分,每题需有必要的解答过程)17.四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(Ⅰ)求四面体ABCD的体积;(Ⅱ)证明:四边形EFGH是矩形.18.已知直线l:kx﹣y+1+2k=0.(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l交x负半轴于A,交y正半轴于B,△AOB的面积为S,试求S的最小值并求出此时直线l的方程.19.已知点P到两定点M(﹣1,0)、N(1,0)距离的比为,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,,点F是PD的中点,点E在CD上移动.(1)求三棱锥E﹣PAB体积;-18-\n(2)当点E为CD的中点时,试判断EF与平面PAC的关系,并说明理由;(3)求证:PE⊥AF.21.(13分)如图1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E,F分别为边AD和BC上的点,且EF∥AB,AD=2AE=2AB=4FC=4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置,使AD=AE.(Ⅰ)求证:BC∥平面DAE;(Ⅱ)求四棱锥D﹣AEFB的体积.22.(13分)如图,ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,ED=1,EF∥BD.(1)设EF=λBD,是否存在实数λ,使BF∥平面ACE;(2)求证:平面EAC⊥平面BDEF(3)当EF=BD时,求几何体ABCDEF的体积.-18-\n-18-\n2022-2022学年安徽省合肥一六八中高二(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(共60题,每题5分.每题仅有一个正确选项.)1.下列说法中正确的是()A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形【考点】棱柱的结构特征.【专题】综合题.【分析】通过棱柱的定义以及棱柱的基本性质,判断四个选项的正误,A满足定义,B、C、D可以找出反例.【解答】解:棱柱的定义是,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,相邻的公共边互相平行,有这些面围成的几何体是棱柱;可以判断A正确;B不正确,例如正六棱柱的相对侧面;C不正确,只有直棱柱满足C的条件;D不正确,例如长方体.故选A【点评】本题是基础题,考查棱柱的定义,棱柱的基本性质,考查基本知识掌握的情况.2.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A.120°B.150°C.180°D.240°【考点】扇形面积公式;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【专题】计算题.【分析】圆锥的全面积是底面积的3倍,那么母线和底面半径的比为2,求出侧面展开图扇形的弧长,可求其圆心角.【解答】解:圆锥的全面积是底面积的3倍,那么母线和底面半径的比为2,设圆锥底面半径为1,则圆锥母线长为2,圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π,该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角:π,即180°故选C.-18-\n【点评】本题考查圆锥的侧面展开图,及其面积等知识,考查空间想象能力,是基础题.3.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A.21+B.18+C.21D.18【考点】由三视图求面积、体积.【专题】空间位置关系与距离.【分析】判断几何体的形状,结合三视图的数据,求出几何体的表面积.【解答】解:由三视图可知,几何体是正方体的棱长为2,截去两个正三棱锥,侧棱互相垂直,侧棱长为1,几何体的表面积为:S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+.故选:A.【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积,解题的关键是判断几何体的形状.-18-\n4.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是()A.2+B.C.D.1+【考点】斜二测法画直观图.【专题】计算题;作图题.【分析】原图为直角梯形,上底为1,高为2,下底为1+,利用梯形面积公式求解即可.也可利用原图和直观图的面积关系求解.【解答】解:恢复后的原图形为一直角梯形,上底为1,高为2,下底为1+,S=(1++1)×2=2+.故选A【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法,属基础知识的考查.5.已知三条不重合的直线m,n,l和两个不重合的平面α、β,下列命题中正确命题个数为()①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若l⊥α,m⊥β且l⊥m则α⊥β③若l⊥n,m⊥n,则l∥m④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥αA.1B.2C.3D.4【考点】平面与平面之间的位置关系;命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】空间位置关系与距离;简易逻辑.【分析】①利用线面平行的判定定理即可得出;②利用面面垂直的判定定理即可判断出;③利用线线的位置关系即可得出;④利用面面垂直的性质定理即可得出.【解答】解:①若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,因此不正确;-18-\n②若l⊥α,m⊥β且l⊥m,利用面面垂直的判定定理可得:α⊥β,正确;③若l⊥n,m⊥n,则l∥m、相交或为异面直线,因此不正确;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,利用面面垂直的性质定理即可得出:n⊥α,因此正确.综上可知:只有②④正确.故选:B.【点评】本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系,熟练掌握判定定理及其性质定理是解决问题的关键,属于基础题.6.设四面体ABCD各棱长均相等,S为AD的中点,Q为BC上异于中点和端点的任一点,则△SQD在四面体的面BCD上的射影可能是()A.B.C.D.【考点】平行投影及平行投影作图法.【专题】探究型;空间位置关系与距离.【分析】确定S在面BDC上的射影在平面ADC内部,即可判断正确选项.【解答】解:因为Q为BC上异于中点和端点的任一点,所以S在面BDC上的射影在平面ADC内部,Q在BC上,D为顶点,所以△SDQ在面BDC上的射影为图C,故选:C.【点评】本题考查平行投影以及平行投影的作图方法,考查空间想象能力.7.设a,b,c分别是△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边的边长,则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直-18-\n【考点】正弦定理的应用;直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系.【专题】计算题.【分析】要寻求直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系,只要先求两直线的斜率,然后由斜率的关系判断直线的位置即可.【解答】解:由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率,bx﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k1k2===﹣1则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0垂直故选C.【点评】本题主要考察了两直线的位置关系中的垂直关系的判断,主要是通过直线的斜率关系进行判断,解题中要注意正弦定理的应用.8.直线x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是()A.B.∪(,π)D.故E是BC的中点,所以PA与底面ABC所成角为∠PAE,等边三角形PBC中,PE=,直角三角形ABC中,AE=BC=,又PA=1,∴三角形PAE中,tan∠PAE==∴∠PAE=,则PA与底面ABC所成角为.【点评】本题考查直线与平面成的角的求法.15.三棱锥P﹣ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D﹣ABE的体积为V1,P﹣ABC的体积为V2,则=.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】空间位置关系与距离;立体几何.【分析】画出图形,通过底面面积的比求解棱锥的体积的比.-18-\n【解答】解:如图,三棱锥P﹣ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,三棱锥D﹣ABE的体积为V1,P﹣ABC的体积为V2,∴A到底面PBC的距离不变,底面BDE底面积是PBC面积的=,∴==.故答案为:.【点评】本题考查三棱锥的体积,着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系,属于基础题.16.光线由点A(﹣1,4)射出,遇到直线l:2x﹣3y﹣6=0后被反射,已知点在反射光线上,则反射光线所在的直线方程为13x﹣26y+85=0.【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.【专题】方程思想;待定系数法;直线与圆.【分析】求出点(﹣1,4)关于直线l1:2x+3y﹣6=0的对称点的坐标,利用两点式方程求出入射光线所在的直线方程.【解答】解:设点(﹣1,4)关于直线l1:2x﹣3y﹣6=0的对称点的坐标为(a,b),则,解得:a=,b=﹣,-18-\n又由反射光线经过点B(3,),故反射光线的方程为:=﹣,即:13x﹣26y+85=0,故答案为:13x﹣26y+85=0.【点评】对称点的坐标的求法:利用垂直平分解答,本题是通过特殊直线特殊点处理,比较简洁,考查计算能力.三、解答题(共70分,每题需有必要的解答过程)17.四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(Ⅰ)求四面体ABCD的体积;(Ⅱ)证明:四边形EFGH是矩形.【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】综合题;空间位置关系与距离.【分析】(Ⅰ)证明AD⊥平面BDC,即可求四面体ABCD的体积;(Ⅱ)证明四边形EFGH是平行四边形,EF⊥HG,即可证明四边形EFGH是矩形.【解答】(Ⅰ)解:由题意,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD的体积V==;(Ⅱ)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,-18-\n∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形,∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.【点评】本题考查线面垂直,考查线面平行性质的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.18.已知直线l:kx﹣y+1+2k=0.(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l交x负半轴于A,交y正半轴于B,△AOB的面积为S,试求S的最小值并求出此时直线l的方程.【考点】过两条直线交点的直线系方程.【专题】计算题;证明题.【分析】(1)直线l过定点,说明定点的坐标与参数k无关,故让k的系数为0可得定点坐标.(2)求出A、B的坐标,代入三角形的面积公式化简,再使用基本不等式求出面积的最小值,注意等号成立条件要检验,求出面积最小时的k值,从而得到直线方程.【解答】解:(1)证明:由已知得k(x+2)+(1﹣y)=0,∴无论k取何值,直线过定点(﹣2,1).(2)令y=0得A点坐标为(﹣2﹣,0),令x=0得B点坐标为(0,2k+1)(k>0),∴S△AOB=|﹣2﹣||2k+1|=(2+)(2k+1)=(4k++4)≥(4+4)=4.当且仅当4k=,即k=时取等号.-18-\n即△AOB的面积的最小值为4,此时直线l的方程为x﹣y+1+1=0.即x﹣2y+4=0【点评】本题考查过定点的直线系方程特征,以及利用基本不等式求式子的最小值.19.已知点P到两定点M(﹣1,0)、N(1,0)距离的比为,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.【考点】直线的一般式方程.【专题】计算题;压轴题.【分析】设P的坐标为(x,y),由题意点P到两定点M(﹣1,0)、N(1,0)距离的比为,可得,结合两点间的距离,化简整理得x2+y2﹣6x+1=0,又由点N到PM的距离为1,即|MN|=2,可得直线PM的斜率,进而可得直线PM的方程,并将方程代入x2+y2﹣6x+1=0整理得x2﹣4x+1=0,解可得x的值,进而得P的坐标,由直线的方程代入点的坐标可得答案.【解答】解:设P的坐标为(x,y),由题意有,即,整理得x2+y2﹣6x+1=0,因为点N到PM的距离为1,|MN|=2所以PMN=30°,直线PM的斜率为直线PM的方程为将代入x2+y2﹣6x+1=0整理得x2﹣4x+1=0解得,则点P坐标为或或直线PN的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.【点评】本题考查直线的方程,注意结合题意,选择直线方程的合适的形式,进行整理变形、求解.-18-\n20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,,点F是PD的中点,点E在CD上移动.(1)求三棱锥E﹣PAB体积;(2)当点E为CD的中点时,试判断EF与平面PAC的关系,并说明理由;(3)求证:PE⊥AF.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.【专题】计算题;证明题.【分析】(1)求出底面ABE的面积,求出高PA,即可求三棱锥E﹣PAB体积;(2)点E为CD的中点,推出EF||PC,证明EF∥平面PAC即可;(3)证明AF垂直平面PDC内的两条相交直线CD,PD,即可证明AF⊥平面PDC,从而证明PE⊥AF.【解答】解:(1)∵PA⊥平面ABCD,∴.(2)当点E为BC的中点时,EF||平面PAC.理由如下:∵点E,F分别为CD、PD的中点,∴EF||PC.∵PC⊂平面PAC,EF⊂平面PAC∴EF||平面PAC(3)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD∴CD⊥PA∵ABCD是矩形,∴CD⊥AD∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD∵AF⊂平面PAD∴AF⊥DC∵PA=AD,点F是PD的中点∴AF⊥PD,又CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC∵PE⊂平面PDC,∴PE⊥AF.【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.-18-\n21.(13分)如图1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E,F分别为边AD和BC上的点,且EF∥AB,AD=2AE=2AB=4FC=4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置,使AD=AE.(Ⅰ)求证:BC∥平面DAE;(Ⅱ)求四棱锥D﹣AEFB的体积.【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题;证明题.【分析】(Ⅰ)先根据面面平行的判定定理,证得面CBF∥面DAE,又BC⊂面CBF,根据面面平行的性质可知BC∥平面DAE;(Ⅱ)取AE的中点H,连接DH,根据线面垂直的判定定理可得EF⊥平面DAE,根据线面垂直的性质可知EF⊥DH,再根据,则DH⊥面AEFB,根据体积公式即可求出四棱锥D﹣AEFB的体积.【解答】解:(Ⅰ)∵CF∥DE,FB∥AE,BF∩CF=F,AE∩DE=E∴面CBF∥面DAE,又BC⊂面CBF,所以BC∥平面DAE(Ⅱ)取AE的中点H,连接DH,∵EF⊥ED,EF⊥EA∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE∴EF⊥DH,∵∴DH⊥面AEFB,所以四棱锥D﹣AEFB的体积【点评】本题主要考查棱锥的体积公式和线面平行的判定定理的应用.考查对定理的掌握情况和对基础知识的综合运用.-18-\n22.(13分)如图,ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,ED=1,EF∥BD.(1)设EF=λBD,是否存在实数λ,使BF∥平面ACE;(2)求证:平面EAC⊥平面BDEF(3)当EF=BD时,求几何体ABCDEF的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.【专题】综合题;转化思想;综合法.【分析】(1)存在.证明四边形EFBO是平行四边形,可得BF∥EO,使BF∥平面ACE;(2)利用面面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面BDEF;(3)几何体的体积VABCDEF=2VA﹣BDEF=2×SBDEF•AO【解答】(1)解:存在.证明:记AC与BD的交点为O,则DO=BO=BD,连接EO,∵EF∥BD,当时,即EF=BD,∴EF∥BO且EF=BO,则四边形EFBO是平行四边形,∴BF∥EO,又∵EO⊂面ACE,BF⊄面ACE,∴BF∥平面ACE;…4’(2)证明:∵ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴ED⊥AC.∵ABCD为正方形,∴BD⊥AC,又ED∩BD=D,∴AC⊥平面BDEF,又AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面BDEF;…8’(3)解:∵ED⊥平面ABCD,∴ED⊥BD,又∵EF∥BD且EF=BD,∴BDEF是直角梯形,又∵ABCD是边长为2的正方形,BD=2,EF=,-18-\n∴梯形BDEF的面积为=,由(1)知AC⊥平面BDEF,∴几何体的体积VABCDEF=2VA﹣BDEF=2×SBDEF•AO=2×=2.…13’【点评】本题主要考查空间直线与平面,面面垂直的判定以及空间几何体的体积,要求熟练掌握相应的判定定理.-18-
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