安徽省安庆市慧德中学高二数学上学期期中试卷文含解析

2022-2022学年安徽省安庆市慧德中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12题，每道题5分，共60分）1．设x∈R，则命题q：x＞﹣1是命题p：x＞0的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．设集合M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=()A．C．（2，3]D．3．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=()A．B．C．D．4．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积，则边BC的长为()A．B．3C．D．75．数列1，，，，的一个通项公式an是()A．B．C．D．6．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是()A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞07．已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若am=8，则m是()A．8B．6C．4D．28．已知公比为2的等比数列{an}中，a2+a4+a6=3，则a5+a7+a9的值为()-18-\nA．12B．18C．24D．69．已知命题p：∃x∈R，cosx=；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是()A．命题p∧q是真命题B．命题p∧￢q是真命题C．命题￢p∧q是真命题D．命题￢p∨￢q是假命题10．不等式3x2﹣7x+2＜0的解集为()A．B．C．D．{x|x＞2}11．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a1=4，则{an}的前10项和等于()A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）12．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为()A．B．C．D．3二、填空题（共4题，每道题5分，共20分）13．已知x，y都是正数，如果xy=15，则x+y的最小值是__________．14．在△ABC中，若c2＞a2+b2，则△ABC必是__________（填锐角，钝角，直角）三角形．15．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．16．给定下列命题：-18-\n①“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根”的逆否命题；②“若A=B，则sinA=sinB”的逆命题；③“若2”的逆否命题；④“若xy=0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．⑤“若”的逆命题．其中真命题的序号是__________．三、解答题（共6题，共70分）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a2+b2的值．18．（1）求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．（2）求焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）的椭圆的标准方程．19．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用f（x）；（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．-18-\n21．数列{an}的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an＞0，（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式（Ⅱ）设，求和Tn=b1+b2+…+bn．22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．-18-\n2022-2022学年安徽省安庆市慧德中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12题，每道题5分，共60分）1．设x∈R，则命题q：x＞﹣1是命题p：x＞0的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】根据题意比较两个命题所表示的范围，根据集合之间的关系得到命题之间的关系即可．【解答】解：因为命题p：x＞0且命题q：x＞﹣1，所以x＞0表示的范围比x＞﹣1表示的范围小．所以命题q：x＞﹣1是命题p：x＞0的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查了充要条件的判断，可以转化为两个条件对应的两个集合之间的关系．2．设集合M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=()A．C．（2，3]D．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据已知条件我们分别计算出集合M，N，并写出其区间表示的形式，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．【解答】解：∵M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}=（﹣3，2）N={x|1≤x≤3}=，∴M∩N=C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【考点】命题的否定．-18-\n【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．7．已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若am=8，则m是()A．8B．6C．4D．2【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据等差中项的性质可知a3+a6+a10+a13=4a8求得a8，进而可知a8=am求得m的值．【解答】解：a3+a6+a10+a13=4a8=32∴a8=8∵am=8∴m=8故选A【点评】本题主要考查了等差中项的性质．属基础题．8．已知公比为2的等比数列{an}中，a2+a4+a6=3，则a5+a7+a9的值为()A．12B．18C．24D．6【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】将所求式子利用等比数列的通项公式化简，提取q3，再利用等比数列的通项公式化简，将已知的等式代入，计算后即可求出值．【解答】解：∵公比是2的等比数列{an}中，a2+a4+a6=3，则a5+a7+a9=a1q4+a1q6+a1q8=q3（a1q+a1q3+a1q5）=q3（a2+a4+a6）=8×3=24．故选C【点评】此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．-18-\n9．已知命题p：∃x∈R，cosx=；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是()A．命题p∧q是真命题B．命题p∧￢q是真命题C．命题￢p∧q是真命题D．命题￢p∨￢q是假命题【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；综合题．【分析】根据余弦函数的值域，可知命题p是假命题，根据二次函数的图象与性质，得命题q是真命题．由此对照各个选项，可得正确答案．【解答】解：因为对任意x∈R，都有cosx≤1成立，而＞1，所以命题p：∃x∈R，cosx=是假命题；∵对任意的∈R，x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0∴命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，是一个真命题由此对照各个选项，可知命题￢p∧q是真命题故答案为：C【点评】本题以复合命题真假的判断为载体，考查了余弦函数的值域和一元二次不等式恒成立等知识，属于基础题．10．不等式3x2﹣7x+2＜0的解集为()A．B．C．D．{x|x＞2}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】利用因式分解即可求出．【解答】解：3x2﹣7x+2＜0化为（3x﹣1）（x﹣2）＜0，解的＜x＜2，故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．11．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a1=4，则{an}的前10项和等于()-18-\nA．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】数列的求和．【专题】转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项公式是即可得出．【解答】解：∵3an+1+an=0，a1=4，∴，∴数列{an}是等比数列，首项为4，公比为﹣．则{an}的前10项和==3（1﹣3﹣10）．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为()A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】要求离心率，即求系数a，c间的关系，因此只需用系数将题目已知的条件表示出来即可．本题涉及到了焦点弦问题，因此注意结合定义求解．【解答】解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|=2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|=3b，所以，两式相乘得．结合c2=a2+b2得．故e=．故选B-18-\n【点评】本题考查了双曲线的定义，离心率的求法．主要是根据已知条件找到a，b，c之间的关系化简即可．二、填空题（共4题，每道题5分，共20分）13．已知x，y都是正数，如果xy=15，则x+y的最小值是2．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x，y都是正数，xy=15，则x+y=2，当且仅当x=y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．在△ABC中，若c2＞a2+b2，则△ABC必是钝角（填锐角，钝角，直角）三角形．【考点】余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件利用余弦定理求得cosC＜0，可得△ABC必是钝角三角形．【解答】解：△ABC中，若c2＞a2+b2，则由余弦定理可得cosC=＜0，故C为钝角，故△ABC必是钝角三角形，故答案为：钝角．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．15．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．-18-\n【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而zmin=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．16．给定下列命题：①“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根”的逆否命题；②“若A=B，则sinA=sinB”的逆命题；③“若2”的逆否命题；④“若xy=0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．-18-\n⑤“若”的逆命题．其中真命题的序号是①③④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；简易逻辑．【分析】①由方程x2+2x﹣k=0有实数根，则△=4+4k≥0，解得k的范围，即可判断出真假，进而判断出其逆否命题具有相同的真假性；②原命题的逆命题为“若sinA=sinB，则A=B”，举例：取A=2π，B=π，即可判断出真假；③由，可得b＜a＜0，可得b2＞ab，即可判断出真，进而其逆否命题具有相同的真假性；④原命题的逆命题为：“若x，y中至少有一个为零，则xy=0”是真命题，进而得到原命题的否命题具有相同的真假性．⑤原的逆命题为“若a＜b＜0，则＞”，举例：取a=﹣2，b=﹣1，﹣2＜﹣1＜0，即可判断出真假．【解答】解：①由方程x2+2x﹣k=0有实数根，则△=4+4k≥0，解得k≥﹣1，因此“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根”是真命题，其逆否命题也是真命题；②“若A=B，则sinA=sinB”的逆命题为“若sinA=sinB，则A=B”，是假命题例如：取A=2π，B=π；③由，可得b＜a＜0，∴b2＞ab，因此“若2”是真命题，其逆否命题也是真命题；④“若xy=0，则x，y中至少有一个为零”的逆命题为：“若x，y中至少有一个为零，则xy=0”是真命题，因此原命题的否命题也是真命题．⑤“若”的逆命题为“若a＜b＜0，则＞”是假命题，例如：取a=﹣2，b=﹣1，﹣2＜﹣1＜0，但是＜．其中真命题的序号是①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、命题之间真假性的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．-18-\n三、解答题（共6题，共70分）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a2+b2的值．【考点】解三角形．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）根据，利用正弦定理得，从而可求C的大小；（Ⅱ）由面积公式得=，从而可得ab=6，由余弦定理，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得…∴sinC=…∵△ABC是锐角三角形，∴C=…（Ⅱ）∵c=，C=，△ABC的面积为，∴由面积公式得=…∴ab=6…由余弦定理得a2+b2﹣2abcos=7…∴a2+b2=13…【点评】本题考查正弦、余弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（1）求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．（2）求焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）的椭圆的标准方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆方程为，可得a，b，c，即可得出；（2）利用椭圆的定义可得：a，即可得出b2=a2﹣c2．【解答】解：（1）∵椭圆方程为，∴a=2，b=1，c==，-18-\n因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a=4，2b=2，离心率e==，两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），椭圆的四个顶点是A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣1），B2（0，1）．（2）由焦距是4可得c=2，且焦点坐标为（0，﹣2），（0，2）．由椭圆的定义知：2a=+=8，∴a=4，b2=a2﹣c2=16﹣4=12．又焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用f（x）；（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）不妨设题中比例系数为k，每批购入x台，共需分批，每批价值为20x元，总费用f（x）=运费+保管费；由x=4，y=52可得k，从而得f（x）；（2）由（1）知，，由基本不等式可求得当x为何值时，f（x）的最小值．【解答】解：（1）设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分批，每批价值为20x元，由题意，得：由x=4时，y=52得：∴-18-\n（2）由（1）知，∴，当且仅当，即x=6时，上式等号成立；故只需每批购入6张书桌，可以使48元资金够用．【点评】本题考查了基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）的应用，解题时，其关键是根据题意列出函数f（x）的解析式．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型．【分析】（1）把a=1代入不等式后求解不等式，同时求解不等式组，得到命题p和命题q中x的取值范围，由p且q为真，对求得的两个范围取交集即可；（2）p是q的必要不充分条件，则集合B是集合A的子集，分类讨论后运用区间端点值之间的关系可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0，得：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由，得：2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（Ⅱ）p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B是A的真子集，又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a）．所以当a＞0时，有，解得1＜a≤2，当a＜0时，显然A∩B=∅，不合题意．所以实数a的取值范围是1＜a≤2．-18-\n【点评】本题是命题真假的判断与应用，考查了必要条件问题，考查了数学转化和分类讨论思想，是中档题．21．数列{an}的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an＞0，（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式（Ⅱ）设，求和Tn=b1+b2+…+bn．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1求出首项，然后根据4an=4Sn﹣4Sn﹣1进行化简得an﹣an﹣1=2，从而得到数列{an}是等差数列，直接求出通项公式即可；（Ⅱ）确定数列通项，利用错位相减法，可求数列的和．【解答】（Ⅰ）证明：∵4S1=4a1=（a1+1）2，∴a1=1．当n≥2时，4an=4Sn﹣4Sn﹣1=（an+1）2﹣（an﹣1+1）2，∴2（an+an﹣1）=an2﹣an﹣12，又{an}各项均为正数，∴an﹣an﹣1=2，∴数列{an}是等差数列，∴an=2n﹣1；（Ⅱ）解：=∴Tn=b1+b2+…+bn=++…+﹣﹣﹣①∴Tn=++…++﹣﹣﹣②①﹣②Tn=+2（++…+）﹣=∴Tn=1﹣．【点评】本题主要考查了数列的递推关系，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．-18-\n22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，则a2=4b2．∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2．将y=x代入可得，因此，解得a=2．则b=1．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）．-18-\n∵直线AB的斜率，又AB⊥AD，∴直线AD的斜率．设AD方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴．因此．由题意可得．∴直线BD的方程为．令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．可得．∴，即．因此存在常数使得结论成立．（ii）直线BD方程为，令x=0，得，即N（）．由（i）知M（3x1，0），可得△OMN的面积为S==．当且仅当时等号成立．-18-\n∴△OMN面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．-18-