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安徽省安庆市慧德中学高二数学上学期期中试卷理含解析

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2022-2022学年安徽省安庆市慧德中学高二(上)期中数学试卷(理科)一、选择题:(5*12=60分)1.若复数z满足z(2﹣i)=11+7i(i为虚数单位),则z为()A.3+5iB.3﹣5iC.﹣3+5iD.﹣3﹣5i2.已知集合A={﹣1,},B={x|mx﹣1=0},若A∩B=B,则所有实数m组成的集合是()A.{0,﹣1,2}B.{,0,1}C.{﹣1,2}D.{﹣1,0,}3.已知p、q是两个命题,若“¬(p∨q)”是真命题,则()A.p、q都是真命题B.p、q都是假命题C.p是假命题且q是真命题D.p是真命题且q是假命题4.已知向量,若与平行,则实数x的值是()A.﹣2B.0C.1D.25.要得到函数y=2cos(2x+)的图象,只需将函数y=sin2x+cos2x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位6.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0且|φ|<)在区间上是单调减函数,且函数值从1减小到﹣1,则f()=()A.1B.C.D.07.有以下四个命题,其中真命题的个数为()-23-\n①△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件;②若命题p:∀x∈R,sinx≤1,则¬p:∃x∈R,sinx<1;③函数y=3sin(2x﹣)+2的单调递减区间是(k∈z);④若函数f(x)=x2+2x+2a与g(x)=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值,则=.A.1个B.2个C.3个D.4个8.设函数f(x)=,给出以下三个结论:①f(x)为偶函数;②f(x)为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中正确结论的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个9.已知函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x=1对称,当x∈时,f(x)=﹣x,则f+f=()A.﹣1B.0C.1D.210.若关于x的方程x3﹣3x+m=0在上有根,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.11.如图所示,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救,则sinθ的值为()A.B.C.D.-23-\n12.若函数f(x)的定义域为D内的某个区间I上是增函数,且F(x)=在I上也是增函数,则称y=f(x)是I上的“完美函数”,已知g(x)=ex+x﹣lnx+1,若函数g(x)是区间上单调递减,求a的取值范围;(2)求满足下列条件的所有整数对(a,b):存在x0,使得f(x0)是f(x)的最大值,g(x0)是g(x)的最小值.21.已知函数f(x)=xlnx(x∈(0,+∞)(Ⅰ)求g(x)=的单调区间与极大值;(Ⅱ)任取两个不等的正数x1,x2,且x1<x2,若存在x0>0使f′(x0)=成立,求证:x1<x0<x2(Ⅲ)己知数列{an}满足a1=1,an+1=(1+)an+(n∈N+),求证:an<(e为自然对数的底数).请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号22.在直角坐标系xOy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos()=2.(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.23.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.-23-\n-23-\n2022-2022学年安徽省安庆市慧德中学高二(上)期中数学试卷(理科)一、选择题:(5*12=60分)1.若复数z满足z(2﹣i)=11+7i(i为虚数单位),则z为()A.3+5iB.3﹣5iC.﹣3+5iD.﹣3﹣5i【考点】复数代数形式的乘除运算.【专题】数系的扩充和复数.【分析】等式两边同乘2+i,然后化简求出z即可.【解答】解:因为z(2﹣i)=11+7i(i为虚数单位),所以z(2﹣i)(2+i)=(11+7i)(2+i),即5z=15+25i,z=3+5i.故选A.【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,考查计算能力.2.已知集合A={﹣1,},B={x|mx﹣1=0},若A∩B=B,则所有实数m组成的集合是()A.{0,﹣1,2}B.{,0,1}C.{﹣1,2}D.{﹣1,0,}【考点】子集与交集、并集运算的转换.【专题】集合.【分析】根据集合A∩B=B得到,B⊆A,即可得到结论.【解答】解:∵A∩B=B,∴B⊆A,若m=0,则B=∅,此时满足条件.若m≠0,则B={},则=﹣1或=,解得m=﹣1或m=2,综上所有实数m组成的集合是{0,﹣1,2},故选:A.-23-\n【点评】本题主要考查集合的基本关系的应用,将条件A∩B=B转化为B⊆A是解决本题的关键.3.已知p、q是两个命题,若“¬(p∨q)”是真命题,则()A.p、q都是真命题B.p、q都是假命题C.p是假命题且q是真命题D.p是真命题且q是假命题【考点】复合命题的真假.【专题】阅读型.【分析】由复合命题真值表判断命题“p∨q”为假命题,进而得到命题p、q都是假命题.【解答】解:由复合命题真值表得:若“¬(p∨q)”是真命题,则p∨q为假命题,则命题p、q都是假命题.故选B.【点评】本题考查了复合命题的真假判定规律,对复合命题真值表要熟练掌握.4.已知向量,若与平行,则实数x的值是()A.﹣2B.0C.1D.2【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量的坐标运算.【专题】计算题.【分析】由题意分别可得向量与的坐标,由向量平行的充要条件可建立关于x的方程,解之即可.【解答】解:由题意可得=(3,x+1),=(﹣1,1﹣x),因为与平行,所以3×(1﹣x)﹣(x+1)×(﹣1)=0,解得x=2故选D【点评】本题为向量平行的问题,熟练应用向量平行的充要条件是解决问题的关键,属基础题.-23-\n5.要得到函数y=2cos(2x+)的图象,只需将函数y=sin2x+cos2x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】由两角差的余弦把y=sin2x+cos2x化积,然后看x发生如何变化得y=2cos(2x+).【解答】解:y=sin2x+cos2x=.又数y=2cos(2x+)=2=,∴只需要将y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位,即可得到y=2cos(2x+)的图象.故选:A.【点评】本题考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的图象,考查了两角和与差的三角函数,是中档题.6.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0且|φ|<)在区间上是单调减函数,且函数值从1减小到﹣1,则f()=()A.1B.C.D.0【考点】正弦函数的图象.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】根据函数的单调性和最值求出ω和φ的值即可得到结论.【解答】解:∵f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0且|φ|<)在区间上是单调减函数,且函数值从1减小到﹣1,∴,即函数的周期T=π,∵T=,∴ω=2,-23-\n则f(x)=sin(2x+φ),∵f()=sin(2×+φ)=1,∴sin(+φ)=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,∵|φ|<,∴当k=0时,φ=,即f(x)=sin(2x+),则f()=sin(2×+)=sin(+)=cos=,故选:C.【点评】本题主要考查三角函数的图象的应用,根据条件求出ω和φ的值是解决本题的关键.7.有以下四个命题,其中真命题的个数为()①△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件;②若命题p:∀x∈R,sinx≤1,则¬p:∃x∈R,sinx<1;③函数y=3sin(2x﹣)+2的单调递减区间是(k∈z);④若函数f(x)=x2+2x+2a与g(x)=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值,则=.A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】命题的真假判断与应用.【专题】对应思想;导数的综合应用;三角函数的图像与性质;简易逻辑.【分析】根据正弦定理,可判断①;写出原命题的否定,可判断②;求出函数的单调区间,可判断③,求出a值,进而求出积分,可判断④【解答】解:①△ABC中,“A>B”⇔“a>b”⇔“2RsinA>2RsinB”⇔“sinA>sinB”,故“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件,即①是真命题;-23-\n②若命题p:∀x∈R,sinx≤1,则¬p:∃x∈R,sinx>1,故②是假命题;③由2x﹣∈(k∈z)得:x∈(k∈z);即函数y=3sin(2x﹣)+2的单调递减区间是(k∈z),故③是假命题;④若函数f(x)=x2+2x+2a的最小值为:2a﹣1,函数g(x)=|x﹣1|+|x+a|的最小值为:|a+1|,由2a﹣1=|a+1|得:a=2,则==﹣=,故④是真命题;故真命题的个数为2个,故选:B.【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了正弦定理,全称命题的否定,正弦函数的单调性,函数的最值,积分等知识点,难度中档.8.设函数f(x)=,给出以下三个结论:①f(x)为偶函数;②f(x)为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中正确结论的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个【考点】命题的真假判断与应用.【专题】规律型;函数思想;综合法;简易逻辑.【分析】由题意可得f(x)==,检验f(﹣x)=f(x),即可判断①,由于f(x)的函数值是1,0交替出现,故函数是以2为周期的周期函数,可判断②,由于x+1,x中必定一个是奇数,一个是偶数,则f(x+1)与f(x)的值一个是1,一个是0,可判断③.【解答】解:∵f(x)==,-23-\n∴f(﹣x)====f(x),故f(x)为偶函数,①正确.由于f(x)的函数值是1,0交替出现,故函数是以2为周期的周期函数,②正确.由于x+1,x中必定一个是奇数,一个是偶数,则f(x+1)与f(x)的值一个是1,一个是0,则f(x+1)+f(x)=1,③正确.∴正确结论的个数为:3.故选:D.【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的定义、周期性的定义的应用,解题的关键是对已知函数的化简,是基础题.9.已知函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x=1对称,当x∈时,f(x)=﹣x,则f+f=()A.﹣1B.0C.1D.2【考点】函数奇偶性的性质.【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用.【分析】由函数的对称性可得f(x)=f(2﹣x),再由奇偶性可得f(x)=﹣f(x﹣2),由此可推得函数的周期,根据周期性可把f,f转化为已知区间上求解【解答】解:因为f(x)图象关于x=1对称,所以f(x)=f(2﹣x),又f(x)为奇函数,所以f(2﹣x)=﹣f(x﹣2),即f(x)=﹣f(x﹣2),则f(x+4)=﹣f(x+2)=﹣=f(x),故4为函数f(x)的一个周期,从而f+f=f(﹣1)+f(0),而f(0)=0,f(﹣1),故f(﹣1)+f(0)=1,即f+f=1,故选:C【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的性质,是解答的关键.-23-\n10.若关于x的方程x3﹣3x+m=0在上有根,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【考点】函数的零点与方程根的关系;函数的值域;利用导数研究函数的单调性.【专题】计算题;函数思想;构造法.【分析】分离参数m=﹣x3+3x,记f(x)=﹣x3+3x,x∈,要使原方程有解,则m∈.【解答】解:分离参数m得,m=﹣x3+3x,x∈,记f(x)=﹣x3+3x,x∈,要使原方程有解,则m∈,令f'(x)=﹣3x2+3=0,解得x=±1,分析可知,函数f(x)在(﹣∞,﹣1)单调递减,(﹣1,1)单调递增,(1,+∞)单调递减,所以,当x∈时,f(x)先增后减,在x=1取得最大值,即:f(x)max=f(1)=2,f(x)min=min{f(0),f()}=0,因此,m∈,故选:B.【点评】本题主要考查了应用导数研究函数的单调性,单调区间和最值,以及函数零点与方程的判断,属于中档题.11.如图所示,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救,则sinθ的值为()A.B.C.D.【考点】解三角形的实际应用.【专题】应用题;解三角形.【分析】连接BC,在三角形ABC中,利用余弦定理求出BC的长,再利用正弦定理求出sin∠ACB的值,即可求出sinθ的值.【解答】解:连接BC,在△ABC中,AC=10海里,AB=20海里,∠CAB=120°-23-\n根据余弦定理得:BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700,∴BC=10海里,根据正弦定理得,即,∴sin∠ACB=,∴sinθ=.故选:A.【点评】解三角形问题,通常要利用正弦定理、余弦定理,同时往往与三角函数知识相联系.12.若函数f(x)的定义域为D内的某个区间I上是增函数,且F(x)=在I上也是增函数,则称y=f(x)是I上的“完美函数”,已知g(x)=ex+x﹣lnx+1,若函数g(x)是区间【点评】本题以新定义的形式考查函数的单调性,考查运用所学知识分析解决新问题的能力,多次构造函数,求解导数,判断单调递增,属于难题.二、填空题:(5*4=20分)13.已知函数f(x)=,则f(f())的值是=﹣2.【考点】对数的运算性质;函数的值.【专题】计算题;函数的性质及应用.【分析】利于抑制投机求出f()的值,然后求解所求表达式的值.【解答】解:∵函数,∴f()=2+=4.-23-\n=f(4)==﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题考查函数值的求法,指数以及对数的运算法则,解题方法是由里及外逐步求解,考查计算能力.14.已知cos()=,则sin()=﹣.【考点】两角和与差的正弦函数.【专题】计算题;三角函数的求值.【分析】观察得,(﹣α)+(α﹣)=﹣,结合题意,利用诱导公式即可求得sin(α﹣).【解答】解:∵cos(﹣α)=,且(﹣α)+(α﹣)=﹣,∴sin(α﹣)=sin=﹣sin=﹣cos(﹣α)=﹣.故答案为:﹣.【点评】本题考查诱导公式,观察得到(﹣α)+(α﹣)=﹣是关键,考查观察与转化的能力,属于中档题.15.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(a+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为.【考点】正弦定理.【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形.【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4.再由余弦定理可得A=,利用基本不等式可得bc≤4,当且仅当b=c=2时,取等号,此时,△ABC为等边三角形,从而求得它的面积的值.【解答】解:△ABC中,∵a=2,且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,∴利用正弦定理可得(2+b)(a﹣b)=(c﹣b)c,即b2+c2﹣bc=4,即b2+c2﹣4=bc,-23-\n∴cosA===,∴A=.再由b2+c2﹣bc=4,利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc,∴bc≤4,当且仅当b=c=2时,取等号,此时,△ABC为等边三角形,它的面积为=×2×2×=,故答案为:.【点评】本题主要考查正弦定理的应用,基本不等式,属于中档题.16.已知函数,在下列四个命题中:①f(x)是奇函数;②对定义域内任意x,f(x)<1恒成立;③当时,f(x)取极小值;④f(2)>f(3),正确的是:②④.【考点】命题的真假判断与应用.【专题】转化思想;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质;简易逻辑.【分析】判断出函数的奇偶性,可判断①,求出函数的值域,可判断②;判断出函数的极值点,可判断③;利用函数的单调性,比较两个函数值,可判断④.【解答】解:①∵函数,∴===f(x),故f(x)是偶函数,故①错误;②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|,∴≤1,∵x≠0,∴<1成立,故②正确;③∵f′(x)=,-23-\n∵f′()=≠0,∴x=不是极值点,∴③错误;④∵<2<3<π,∴sin2>sin3>0,∴>,∴④正确,故答案为:②④.【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的奇偶性,值域,极值,单调性是三角函数图象和性质的综合应用,难度较大.三、解答题:(12+12+12+12+12+10=70分)17.已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x2﹣5x+4≥0},(1)当a=3时,求A∩B,A∪(∁RB);(2)若A∩B=∅,求实数a的取值范围.【考点】集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算.【专题】计算题.【分析】(1)当a=3时,求出集合A,B,然后求出CRB,即可求A∩B,A∪(CRB);(2)若A∩B=Φ,只需2﹣a>1,并且2+a<4,即可求实数a的取值范围.【解答】解:(1)当a=3时,A={x|﹣1≤x≤5},B={x|x2﹣5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4},CRB={x|1<x<4}所以A∩B={x|﹣1≤x≤5}∩{x|x≤1或x≥4}={x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5},A∪(CRB)={x|﹣1≤x≤5}∪{x|1<x<4}={x|﹣1≤x≤5};(2)A∩B=Φ所以或2﹣a>2+a,解得a<1或a<0,所以a的取值范围是(﹣∞,1)【点评】本题考查集合的基本运算,不等式的解集的求法,注意等价变形的应用,常考题型.-23-\n18.已知函数,(1)求f(x)的最小正周期;(2)若在x=处取得最大值,求y=g(x)的单调递增区间;(3)求(2)中y=g(x)在上的值域.【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值.【专题】方程思想;转化思想;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.【分析】(1)利用倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出;(2)g(x)=f(x+ϕ)=2sin(2x+2ϕ)+1,当,k∈z时取得最大值,将代入上式,得ϕ,再利用正弦函数的单调性即可得出.(3)利用正弦函数的单调性即可得出.【解答】解:(1)=2sin2x(1+sin2x)+cos4x=2sin2x+2sin22x+cos4x=2sin2x+1∴最小正周期为.(2)g(x)=f(x+ϕ)=2sin(2x+2ϕ)+1,当,k∈z时取得最大值,将代入上式,得,k∈z,∴,得,∴,k∈z,解得,k∈z,∴g(x)的单调增区间为,k∈z(3)由(2)得,由,得,-23-\n∴,得,∴g(x)∈.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cosC+(cosB﹣sinB)cosA=0,(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值.【考点】余弦定理的应用;正弦定理.【专题】方程思想;转化思想;综合法;解三角形.【分析】(1)利用和差化积、诱导公式、三角函数求值即可得出.(2)利用三角形的面积计算公式、正弦定理余弦定理即可得出.【解答】解:(1)由验证可得:,化为,又sinB≠0,∴,又cosA≠0,∴,又0<A<π,故.(2)∵,得bc=20,又b=5,∴c=4.由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=21,故,又由正弦定理得.【点评】本题考查了和差化积、诱导公式、三角函数求值、三角形的面积计算公式、正弦定理余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.已知函数f(x)=ax2﹣2x,g(x)=﹣(a,b∈R)(1)当b=0时,若f(x)在(﹣∞,2]上单调递减,求a的取值范围;(2)求满足下列条件的所有整数对(a,b):存在x0,使得f(x0)是f(x)的最大值,g(x0)是g(x)的最小值.【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.-23-\n【专题】计算题;函数的性质及应用.【分析】(1)当b=0时,f(x)=ax2﹣4x,讨论a的取值并结合二次函数的单调性,建立关于实数a的不等式即可解出实数a的取值范围;(2)当a=0时,易得一次函数f(x)没有最大值,不符合题意.因此(x)为二次函数,可得a<0,函数f(x)取最大值时对应的x=,结合题意得到=a是一个整数,化简得a2=,即可得出满足条件的整数只有a=﹣1,从而得到b=﹣1或3,得到满足条件的所有整数对(a,b).【解答】解:(1)当b=0,时,f(x)=ax2﹣4x,若a=0,f(x)=﹣4x,则f(x)在(﹣∞,2]上单调递减,成立,故a≠0,要使f(x)在;(2)若a=0,f(x)=﹣2x,可得f(x)无最大值,故a≠0,∴f(x)为二次函数,要使f(x)有最大值,必须满足,即a<0且≤b≤,此时,x=x0=时,f(x)有最大值.又∵g(x)取最小值时,x=x0=a,依题意,=a∈Z,可得a2=,∵a<0且≤b≤,∴0,结合a为整数得a=﹣1,此时b=﹣1或b=3.综上所述,满足条件的实数对(a,b)是:(﹣1,﹣1),(﹣1,3).【点评】本题给出含有根号和字母参数的二次函数,讨论函数的单调性与值域.着重考查了二次函数的图象与性质、方程整数解的讨论等知识,属于中档题.21.已知函数f(x)=xlnx(x∈(0,+∞)(Ⅰ)求g(x)=的单调区间与极大值;-23-\n(Ⅱ)任取两个不等的正数x1,x2,且x1<x2,若存在x0>0使f′(x0)=成立,求证:x1<x0<x2(Ⅲ)己知数列{an}满足a1=1,an+1=(1+)an+(n∈N+),求证:an<(e为自然对数的底数).【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.【专题】导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)由f(x)求出f(x+1),代入g(x),对函数g(x)求导后利用导函数的符号求出函数g(x)在定义域内的单调区间,从而求出函数的极大值;(Ⅱ)求出f′(x0),代入f′(x0)=后把lnx0用lnx1,lnx2表示,再把lnx0与lnx2作差后构造辅助函数,求导后得到构造的辅助函数的最大值小于0,从而得到lnx0<lnx2,运用同样的办法得到lnx1<lnx0,最后得到要证的结论;(Ⅲ)由给出的递推式an+1=(1+)an+说明数列{an}是递增数列,根据a1=1,得到an≥1,由此把递推式an+1=(1+)an+放大得到,结合(Ⅰ)中的ln(1+x)<x得到,分别取n=1,2,3,…,n﹣1,得到n个式子后累加即可证得结论.【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=xlnx(x∈(0,+∞)).∴f(x+1)=(x+1)ln(x+1)(x∈(﹣1,+∞)).则有==ln(x+1)﹣x,此函数的定义域为(﹣1,+∞)..故当x∈(﹣1,0)时,g′(x)>0;当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0.所以g(x)的单调递增区间是(﹣1,0),单调递减区间是(0,+∞),故g(x)的极大值是g(0)=0;(Ⅱ)证明:由f(x)=xlnx(x∈(0,+∞)),得f′(x)=lnx+1,-23-\n所以,于是==,令(t>1),则,因为t﹣1>0,只需证明lnt﹣t+1<0.令s(t)=lnt﹣t+1,则,∴s(t)在t∈(1,+∞)上递减,所以s(t)<s(1)=0,于是h(t)<0,即lnx0<lnx2,故x0<x2.同理可证x1<x0,故x1<x0<x2.(Ⅲ)证明:因为a1=1,,所以{an}单调递增,an≥1.于是=,所以(*).由(Ⅰ)知当x>0时,ln(1+x)<x.所以(*)式变为.即(k∈N,k≥2),令k=2,3,…,n,这n﹣1个式子相加得-23-\n===.即,所以.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了通过构造函数,利用函数的单调性和极值证明不等式,训练了累加法求数列的通项公式,考查了利用放缩法证明不等式,是一道难度较大的综合题型.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号22.在直角坐标系xOy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos()=2.(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程.【专题】压轴题;直线与圆.【分析】(I)先将圆C1,直线C2化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐标,最后化成极坐标即可;(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,由参数方程可得y=x﹣+1,从而构造关于a,b的方程组,解得a,b的值.【解答】解:(I)圆C1,直线C2的直角坐标方程分别为x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0,解得或,-23-\n∴C1与C2交点的极坐标为(4,).(2,).(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,由参数方程可得y=x﹣+1,∴,解得a=﹣1,b=2.【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法,方程思想的应用,属于基础题.23.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)由a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f(x)≥2成立.(Ⅱ)由f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,分当a>3时和当0<a≤3时两种情况,分别去掉绝对值,求得不等式的解集,再取并集,即得所求.【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|≥|(x+)﹣(x﹣a)|=|a+|=a+≥2=2,故不等式f(x)≥2成立.(Ⅱ)∵f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,∴当a>3时,不等式即a+<5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<.当0<a≤3时,不等式即6﹣a+<5,即a2﹣a﹣1>0,求得<a≤3.-23-\n综上可得,a的取值范围(,).【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.-23-

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所属: 高中 - 语文
发布时间:2022-08-25 20:31:05 页数:23
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文章作者:U-336598

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