安徽省阜阳市太和八中高二数学上学期期中试题文含解析

2022-2022学年安徽省阜阳市太和八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题．（共10题，每道题5分，10*5=50）1．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为()A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞4或x＜﹣1}C．{x|x＞1或x＜﹣4}D．{x|﹣4＜x＜1}2．数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是()A．an=2n﹣1B．an=2n﹣1C．an=2nD．an=2n+13．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于()A．4B．C．4D．4．已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是()A．a2＜abB．|a|＜|b|C．D．5．已知△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinB=()A．B．C．D．6．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为()A．8B．±8C．16D．±167．若等比数列的前n项和为Sn=2n+a，则a的值为()A．﹣1B．±1C．1D．2-16-\n8．已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，b=2，sinC=2sinA，则△ABC的面积为()A．B．C．D．9．等差数列{an}的前n项和Sn（n=1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列各数中为定值的是()A．S17B．S18C．S15D．S1610．某人要制作一个三角形，要求它的三边的长度分别为3，4，6，则此人()A．不能作出这样的三角形B．能作出一个锐角三角形C．能作出一个直角三角形D．能作出一个钝角三角形二、填空题．（共5题，每道题5分，5*5=25）11．若a＞b＞0，则比较，的大小是__________．12．在△ABC中，已知acosA=bcosB，则△ABC的形状是__________．13．已知数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n﹣1，（n∈N+）则该数列的通项公式an=__________．14．已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围__________．15．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是__________．三、解答题．（共6题，共75分）16．（1）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．-16-\n（2）在等比数列{an}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．17．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．18．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣48n，（1）求数列的通项公式；（2）求Sn的最大或最小值．19．（13分）数列{an}满足a1=1，=+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=3n•，求数列{bn}的前n项和Sn．20．（13分）若0≤a≤1，解关于x的不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＜0．21．（13分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．-16-\n2022-2022学年安徽省阜阳市太和八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题．（共10题，每道题5分，10*5=50）1．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为()A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞4或x＜﹣1}C．{x|x＞1或x＜﹣4}D．{x|﹣4＜x＜1}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：不等式﹣x2+3x+4＜0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）＞0，可化为：或，解得：x＞4或x＜﹣1，则原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}．故选B．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，是一道基础题．2．数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是()A．an=2n﹣1B．an=2n﹣1C．an=2nD．an=2n+1【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】观察此数列是首项是1，且是公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式求出此数列的一个通项公式．【解答】解：由于数列1，2，4，8，16，32，…的第一项是1，且是公比为2的等比数列，故通项公式是an=1×qn﹣1=2n﹣1，故此数列的一个通项公式an=2n﹣1，故选B．-16-\n【点评】本题主要考查求等比数列的通项公式，求出公比q=2是解题的关键，属于基础题．3．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于()A．4B．C．4D．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故选A．【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对基础公式的熟练应用．4．已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是()A．a2＜abB．|a|＜|b|C．D．【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令a=﹣2，b=﹣1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，从而得出结论．【解答】解：令a=﹣2，b=﹣1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，故选：C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题．5．已知△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinB=()A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．-16-\n【分析】由题意可得A+C=2B，结合三角形的内角和可求B，进而可求sinB【解答】解：由题意可得，A+C=2B∵A+B+C=180°∴B=60°，sinB=故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题6．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为()A．8B．±8C．16D．±16【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】设这个等比数列为{an}，根据等比中项的性质可知a2•a4=a1•a5=a23进而求得a3，进而根据a2a3a4=a33，得到答案．【解答】解：设这个等比数列为{an}，依题意可知a1=，a5=8，则插入的3个数依次为a2，a3，a4，∴a2•a4=a1•a5=a23=4∴a3=2∴a2a3a4=a33=8故选A．【点评】本题主要考查了等比数列的性质．主要是利用等比中项的性质来解决．7．若等比数列的前n项和为Sn=2n+a，则a的值为()A．﹣1B．±1C．1D．2【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系及其等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：当n=1时，a1=S1=2+a；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+a﹣（2n﹣1+a）=2n﹣1，∵数列{an}为等比数列，-16-\n∴a1=2+a=1，解得a=﹣1．此时an=2n﹣1，a1=1，q=2．故选：A．【点评】本题考查了递推关系及其等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，b=2，sinC=2sinA，则△ABC的面积为()A．B．C．D．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，又cosB=，b=2，由余弦定理可得22=a2+（2a）2﹣2a•2a×，解得a=1，∴c=2，又cosB=，∴sinB==，∴△ABC的面积S=acsinB=×=故选：B【点评】本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．9．等差数列{an}的前n项和Sn（n=1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列各数中为定值的是()A．S17B．S18C．S15D．S16【考点】等差数列的前n项和．-16-\n【分析】根据选择项知，要将项的问题转化为前n项和的问题，结合前n项和公式，利用等差数列的性质求得【解答】解：由等差数列的性质得：a5+a11=2a8∴a5+a8+a11为定值，即a8为定值又∵∴s15为定值故选C【点评】注意本题中的选择项也是解题信息．10．某人要制作一个三角形，要求它的三边的长度分别为3，4，6，则此人()A．不能作出这样的三角形B．能作出一个锐角三角形C．能作出一个直角三角形D．能作出一个钝角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】若三角形两边分别为3，4，设第三边为x，则根据三角形三边故选可得：1＜x＜7，由余弦定理可得＜0，即开判定此三角形为钝角三角形．【解答】解：若三角形两边分别为3，4，设第三边为x，则根据三角形三边故选可得：1＜x＜7，故可做出这样的三角形．由余弦定理可得最大边所对的角的余弦值为：＜0，此三角形为钝角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形三边关系余弦定理的应用，属于基础题．二、填空题．（共5题，每道题5分，5*5=25）11．若a＞b＞0，则比较，的大小是＞．【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．-16-\n【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，∴＜1＜，∴＞，故答案为：＞．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．在△ABC中，已知acosA=bcosB，则△ABC的形状是△ABC为等腰或直角三角形．【考点】正弦定理的应用；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题．【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．【解答】解：根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，所以△ABC为等腰或直角三角形故答案为△ABC为等腰或直角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属基础题．13．已知数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n﹣1，（n∈N+）则该数列的通项公式an=n2﹣2n+3．【考点】数列递推式．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知数列递推式，利用累加法求得数列通项公式．【解答】解：由a1=2，an+1=an+2n﹣1，得a2﹣a1=2×1﹣1，a3﹣a2=2×2﹣1，a4﹣a3=2×3﹣1，…-16-\nan﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，（n≥2）累加得：an﹣a1=2﹣（n﹣1），∴=n2﹣2n+3（n≥2）．验证n=1上式成立，∴an=n2﹣2n+3．故答案为：n2﹣2n+3．【点评】本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是基础题．14．已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设f（x）=（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1，利用二次函数的性质得到二次项系数大于0，根的判别式小于等于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．【解答】解：设f（x）=（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1，当a2﹣4=0，即a=﹣2（a=2不是空集）时，不等式解集为空集；当a2﹣4≠0时，根据题意得：a2﹣4＞0，△≤0，∴（a+2）2+4（a2﹣4）≤0，即（a+2）（5a﹣6）≤0，解得：﹣2≤x≤，综上a的范围为．故答案为：【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．15．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是510．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．-16-\n【分析】易得此人一共走了8次，由等比数列的前n项和公式可得．【解答】解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，∴此人一共走了8次∵第n次走n米放2n颗石子∴他投放石子的总数是2+22+23+…+28==2×255=510故答案为：510【点评】本题考查等比数列的求和公式，得出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．三、解答题．（共6题，共75分）16．（1）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．（2）在等比数列{an}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知可得，解之即可；（2）由已知可得，解之可得．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知可得，解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；（2）由已知可得，-16-\n解之可得【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．17．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）由正弦定理得，结合二倍角公式及sinA≠0即可得解．（II）由（I）可求sinA，又根据∠B=2∠A，可求cosB，可求sinB，利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得sinC，利用正弦定理即可得解．【解答】解：（I）因为a=3，b=2，∠B=2∠A．所以在△ABC中，由正弦定理得．所以．故．（II）由（I）知，所以．又因为∠B=2∠A，所以．所以．在△ABC中，．所以．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数关系式，两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．-16-\n18．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣48n，（1）求数列的通项公式；（2）求Sn的最大或最小值．【考点】等差数列的通项公式；数列的函数特性；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】（1）利用递推公式an=Sn﹣Sn﹣1可求（2）若使Sn最小，则有an＜0，an+1≥0，求出n的值，代入可求【解答】解（1）a1=S1=12﹣48×1=﹣47…当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣48n﹣=2n﹣49…a1也适合上式∴an=2n﹣49（n∈N+）…（2）a1=﹣47，d=2，所以Sn有最小值由得…又n∈N+∴n=24即Sn最小……或：由Sn=n2﹣48n=（n﹣24）2﹣576∴当n=24时，Sn取得最小值﹣576．【点评】本题（1）主要考查了利用数列的递推公式an=Sn﹣Sn﹣1求解数列的通项公式，（2）主要考查了求解数列和的最小值问题，主要利用数列的单调性，则满足an＜0，an+1≥0．19．（13分）数列{an}满足a1=1，=+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=3n•，求数列{bn}的前n项和Sn．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）判断数列{}是等差数列，然后求解通项公式．-16-\n（2）利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】（本小题12分）（1）解：由已知可得﹣=1，…．所以是以=1为首项，1为公差的等差数列．得=1+（n﹣1）•1=n，所以an=n2，…（2）由（1）得an=n2，从而bn=n•3n…．Sn=1×31+2×32+3×33+…+n•3n①3Sn=1×32+2×33+3×34+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1②①﹣②得：﹣2Sn=31+32+33+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=．…．所以Sn=．…．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列求和的方法，考查计算能力．20．（13分）若0≤a≤1，解关于x的不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＜0．【考点】一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论；函数思想；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】解（x﹣a）（x+a﹣1）=0得：x=a，或x=1﹣a，讨论两个根的大小，结合“小于看中间”可得不等式的解集．【解答】解：由（x﹣a）（x+a﹣1）=0得：x=a，或x=1﹣a，当0≤a＜时，＜1﹣a≤1，解不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＜0得：x∈（a，1﹣a），当a=时，1﹣a=，不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＜0解集为∅，当＜a≤1，时，0≤1﹣a＜解不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＜0得：x∈（1﹣a，a）．-16-\n综上：当0≤a＜时，不等式的解集：x∈（a，1﹣a），当a=时，不等式解集为∅，当＜a≤1时，不等式的解集：x∈（1﹣a，a）．【点评】本题考查的知识点是二次不等式的解法，分类讨论思想，难度中档．21．（13分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用；数列的应用．【专题】计算题；应用题．【分析】（I）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；（II）由（I）中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n…=…=0.1n2+n+14.4…（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有…=++1≥2+1=2×1.2+1=3.4仅当，即n=12时，等号成立．…（13分）故：汽车使用12年报废为宜．…（14分）-16-\n【点评】本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，其中（I）的关键是由等差数列前n项和公式，得到f（n）的表达式，（II）的关键是根据基本不等式，得到函数的最小值点．-16-