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山东省2022届高三数学模拟试题(一)理 新人教A版
山东省2022届高三数学模拟试题(一)理 新人教A版
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山东省2022届高三高考模拟卷(一)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.把复数的共轭复数记作,为虚数单位,若,则A.B.C.D.42.已知集合,集合,则A.B.C.D.3.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其频率分布直方图如图所示:若某高校A专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A专业的人数为A.10B.20C.8D.164.下列说法正确的是A.函数在其定义域上是减函数B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件17C.命题“,”的否定是“,”D.给定命题,若是真命题,则是假命题5.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,则下列说法中正确的是A.函数是奇函数,最小值是B.函数是偶函数,最小值是C.函数是奇函数,最小值是D.函数是偶函数,最小值是6.已知点满足过点P的直线与圆相交于A,B两点,则AB的最小值为A.2B.C.D.47.一个几何体的三视图如图所示,其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是A.B.C.D.8.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出,的值分别为17A.5,1B.30,3C.15.3D.30.69.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的,则该双曲线的渐近线方程是A.B.C.D.10.我们定义若函数为D上的凹函数须满足以下两条规则:(1)函数在区间D上的任何取值有意义;(2)对于区间D上的任意个值,总满足,那么下列四个图象中在上满足凹函数定义的是11.若,则A.B.C.D.12.已知为互不相等的三个正实数,函数可能满足如下性质:17①为奇函数;②为奇函数;③为偶函数;④为偶函数;⑤.类比函数的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得到了如下结论:(i)若满足①②,则的一个周期为;(ii)若满足①③;则的一个周期为;(iii)若满足③④,则的一个周期为;(iv)若满足②⑤;则的一个周期为.其中正确结论的个数为().A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在答题纸的相应位置.13.已知向量,,且满足,则实数_______.14.对任意的实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是________.1715.由直线,曲线以及轴围成的封闭图形的面积为________.16.如图放置的边长为2的正方形PABC沿轴滚动.设顶点的轨迹方程是,则在其两个相邻零点间的图象与轴所围成的区域的面积为______.三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤,把答案填写在答题纸的相应位置.17.(本小题满分12分)在△ABC中,三个内角分别为A,B,C,已知,.(1)求cosC的值;(2)若BC=10,D为AB的中点,求CD的长.18.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,BC⊥CF,,EF=2,BE=3,CF=4.(1)求证:EF⊥平面DCE;(2)当AB的长为何值时,二面角的平面角的大小为.19.(本小题满分12分)为迎接2022年“两会”(全国人大3月5日-3月18日、全国政协3月3日-3月14日)的胜利召开,某机构举办猜奖活动,参与者需先后回答两道选择题,问题A有四个选项,问题B有五个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题A可获奖金元,正确回答问题B可获奖金元.活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答错误,则该参与者猜奖活动中止.假设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生,试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.20.(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且满足,数列17为等差数列,且,.(1)求数列与的通项公式;(2)若,,求的值.21.(本小题满分13分)已知椭圆C:的离心率为,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设P(4,0),A,B是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆C于另一点E,证明:直线AE与轴相交于定点Q;(3)在(2)的条件下,设过点Q的直线与椭圆C交于M,N两点,求的取值范围.22.(本小题满分13分)已知函数,的图象过点,且在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值;(2)求在为自然对数的底数)上的最大值;(3)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上?山东省2022届高三高考模拟卷(一)数学(理科)参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.A【解析】由得.2.D【解析】由题意得集合或,故17,又集合,所以.3.B【解析】该班学生视力在0.9以上的频率为,故该班50名学生中能报A专业的人数为.4.D【解析】由减函数的定义易知在其定义域上不是减函数,A错;两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件,B错;命题“,”的否定是“,”,C错;由是真命题可知和都是真命题,故一定是假命题,D正确,选D.5.C【解析】由题易得,将的图象向左平移个单位后,得的图象,易知为奇函数,最小值为,故选C.6.D【解析】当P点同时满足(1)P为AB的中点;(2)P点到D点的距离最大时,AB取得最小值.P点的可行域如图所示,因为直线和直线垂直,故P点的坐标是(1,3)时,OP最大.易知此时AB=4,故选D.7.B【解析】结合三视图可知该几何体是一个圆台,其上,下底面的半径分别为2,1,其直观图如图所示.则该几何的侧面积.8.D【解析】执行程序框图可知,当时,;当时,;…;当时,,即能被整除,退出循环,输出的值分别为30,6.9.C【解析】由双曲线的对称性可取其一个焦点17和一条渐近线,则该点到该渐近线的距离为,而,因此,,所以,因此双曲线的渐近线方程为.10.A【解析】要判断是不是凹函数,需要先明确凹函数的定义,由定义的第一点可以排除D,在A、B、C这三个选项中可以考虑特值法,取,,则显然选项B、C不满足,故选A.11.B【解析】令得①,令得②,由①②联立,可得,,从而.12.B【解析】由的图象知,两相邻对称中心的距离为两相邻对称轴的距离为,对称中心与距其最近的对称轴的距离为,若满足①②,则的两个相邻对称中心分别为,,从而有,即;若满足①③,则的对称轴为,与对称轴相邻的对称中心为,有,即;若满足③④,则的两个相邻的对称轴为和,从而有,即;若满足②⑤,则的对称中心为17,与其相邻的对称轴为,从而有,即.故只有(iii)(iv)错误.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在答题纸的相应位置.13.【解析】由,,得,,因为,所以,即,解得.14.【解析】当时,;当时,原不等式变形可得,因为(当且仅当时,等号成立),所以,即的最大值是,所以.15.【解析】由,解得直线和曲线的交点坐标是(1,1),结合图形可知,由直线,曲线以及轴围成的封闭图形的面积为.16.4【解析】由于本题是求两个相邻零点问的图象与轴所围成的区域的面积,所以为了简便,可以直接将P点移到原点,开始运动,如图所示,当P点第一次回到轴时经过的曲线是三段相连的圆弧,它与轴围成的区域面积为.三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤,把答案填写在答题纸的相应位置.17.【解析】(1)因为,且,,则17.(2)由(1)可得.由正弦定理得,即,解得AB=14.因为在△BCD中,,,所以.18.【解析】(1)由题易知在△BCE中,,BE=3,所以,又在△FCE中,,所以EF⊥CE,因为平面ABCD⊥平面EFCB,DC⊥BC,所以DC⊥平面EFCB,又EF平面EFCB,所以DC⊥EE,又DCEC=C,所以EF⊥平面DCE.(2)法一过点B作BH⊥EF交FE的延长线于点H,连接AH.由平面ABCD⊥平面BEFC,又平面ABCD平面BEFC=BC,AB⊥BC,所以AB⊥平面BEFC,从而AB⊥EF,又因为BH⊥EF,BHAB=B,所以EF⊥平面ABH.又AH平面ABH,所以EF⊥AH,所以∠AHB为二面角的平面角.在Rt△CEF中,因为EF=2,CF=4,所以∠CFE=,因为BE∥CF,所以∠BEH=∠CFE=.又在Rt△BHE中,BE=3,所以,由二面角的平面角的大小为,得∠AHB=,17在Rt△ABH中,解得.所以当时,二面角的平面角的大小为.(2)法二由题知,平面ABCD⊥平面BEFC,又平面ABCD平面BEFC=BC,DC⊥BC,则DC⊥平面BEFC.又CF⊥BC,则BC,CD,CF两两垂直,以点C为坐标原点,CB,CF和CD所在直线分别作为轴,轴和轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,,,从而,.设平面AEF的法向量为,由,0得,,取,则,,即平面AEF的二个法向量为.不妨设平面EFCB的法向量为,由条件,得,解得.所以当时,二面角的平面角的大小为.19.【解析】该参与者随机猜对问题A的概率,随机猜对问题B的概率.回答问题的顺序有两种,分别讨论如下:17①先回答问题A,再回答问题B,参与者获奖金额的可能取值为,则,,.数学期望.②先回答问题B,再回答问题A,参与者获奖金额的可能取值为,则,,.数学期望..于是,当时,,即先回答问题A,再回答问题B,参与者获奖金额的期望值较大;当时,,无论是先回答问题A,再回答问题B,还是先回答问题B,再回答问题A,参与者获奖金额的期望值相等;当时,,即先回答问题B,再回答问题A,参与者获奖金额的期望值较大.20.【解析】(1)由题意得,当时,,17又,所以设等差数列的公差为.由,,可得,解得.所以,所以.(2)由(1)得,当时,,当时,,所以当时,;当时,.记,①,②①-②得,故,则.因为,所以.1721.【解析】(1)由题意知,所以,即.又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆,与直线相切,所以,所以,,故椭圆C的方程为.(2)由题意知直线PB的斜率存在且不为0,则直线PB的方程为.由得.①设点,,则.由题意知直线AE的斜率存在,则直线AE的方程为.令,得,将,4)代入整理得.②由①式利用根与系数的关系得,,代入②式整理得.所以直线AE与轴相交于定点Q(1,0).(3)当过点Q的直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为,,.17由得,易知,由根与系数的关系知,,则,则,因为,所以,所以,所以.当过点Q的直线MN的斜率不存在时,其方程为,代入椭圆方程得,不妨设,,此时.综上所述,的取值范围是.22.【解析】(1)当时,,由题意,得即解得.(2)由(1),知①当时,,由,得;由,得或.所以在和上单调递减,在上单调递增.17因为,,,所以在上的最大值为2.②当时,,当时,;当时,在上单调递增.所以在上的最大值为.所以当时,在上的最大值为;当时,在上的最大值为2.(3)假设曲线上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在轴两侧,因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,所以,不妨设,则由△POQ斜边的中点在轴上知,且.所以.(*)是否存在两点P,Q满足题意等价于方程(*)是否有解.若,则,代入方程(*),得,即,而此方程无实数解;当时,则,代入方程(*),得,即,设,则在上恒成立,所以在上单调递增,从而,即的值域为.因为,所以的值域为,所以当时,方程有解,即方程(*)有解.所以对任意给定的正实数,曲线上总存在两点P,Q,使得△17POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上.17
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