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广东省广州市2022届高三数学毕业班综合测试试题(一)理

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2022年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。参考公式:锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高..一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,,则集合可以表示为A.B.C.D.2.已知向量,若,则实数的值为A.B.C.D.3.若某市所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图),其中茎为十位数,叶为个位数,则这组数据的中位数和平均数分别是A.,B.,C.,D.,4.直线与圆的位置关系是-19-A.相交B.相切C.相离D.不能确定5.若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围是A.B.C.D.6.已知某锥体的正视图和侧视图如图2,其体积为,则该锥体的俯视图可以是图2A.B.C.D.7.已知为实数,则是关于的绝对值不等式有解的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知i是虚数单位,是全体复数构成的集合,若映射R满足:对任意,以及任意R,都有,则称映射具有性质.给出如下映射:①R,,iR;②R,,iR;③R,,iR;其中,具有性质的映射的序号为A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.已知,则的值为.-19-10.已知e为自然对数的底数,若曲线e在点处的切线斜率为.11.已知随机变量服从正态分布.若,则等于.12.已知幂函数Z为偶函数,且在区间上是单调增函数,则的值为.13.已知N,且,CC,则可推出CCCCCCCCC,由此,可推出CCCCC.(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,曲线和的参数方程分别为为参数和为参数.以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线与的交点的极坐标为.15.(几何证明选讲选做题)如图3,是圆的一条弦,延长至点,使得,过作圆的切线,为切点,的平分线交于点,则的长为.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分分)已知函数的图象在-19-轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.(1)求函数的解析式;(2)求的值.17.(本小题满分分)袋子中装有大小相同的白球和红球共个,从袋子中任取个球都是白球的概率为,每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前已取出的白球个数为.(1)求袋子中白球的个数;(2)求的分布列和数学期望.18.(本小题满分分)如图4,在边长为的菱形中,,点,分别是边,的中点,,沿将△翻折到△,连接,得到如图5的五棱锥,且.(1)求证:平面;(2)求二面角的正切值.-19-19.(本小题满分分)已知数列的各项均为正数,其前项和为,且满足,N.(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)是否存在正整数,使,,成等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分分)已知椭圆的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线的顶点,直线与椭圆交于,两点,且点的坐标为,点是椭圆上异于点,的任意一点,点满足,,且,,三点不共线.求椭圆的方程;求点的轨迹方程;求面积的最大值及此时点的坐标.21.(本小题满分分)-19-已知函数.(1)若对都成立,求的取值范围;(2)已知为自然对数的底数,证明:N,.2022年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.题号12345678答案BDCAACBB二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.9.10.11.12.13.14.15.说明:第题答案可以是Z.-19-三、解答题:本大题共6小题,满分80分.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:由题意可得,…………………………1分,…………………………3分∴…………………………4分由得,…………………………5分∴.…………………………6分(2)解:∵点是函数在轴右侧的第一个最高点,∴.…………………………7分∴.…………………………8分∴…………………………9分…………………………10分…………………………11分.…………………………12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值(数学期望)等知识,考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)-19-(1)解:设袋子中有N个白球,依题意得,,………………………1分即,化简得,,…………………………2分解得,或(舍去).…………………………3分∴袋子中有个白球.…………………………4分(2)解:由(1)得,袋子中有个红球,个白球.…………………………5分的可能取值为,…………………………6分,,,.………………10分∴的分布列为:…………………………11分∴.…………………………12分18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明:∵点,分别是边,的中点,∴∥.…………………………1分∵菱形的对角线互相垂直,∴.∴.-19-∴,.…………………………2分∵平面,平面,,∴平面.…………………………3分∴平面.…………………………4分(2)解法1:设,连接,∵,∴△为等边三角形.∴,,,.……5分在Rt△中,,在△中,,∴.…………………………6分∵,,平面,平面,∴平面.…………………………7分过作,垂足为,连接,由(1)知平面,且平面,∴.∵,平面,平面,∴平面.…………………………8分∵平面,∴.…………………………9分∴为二面角的平面角.…………………………10分在Rt△中,,-19-在Rt△和Rt△中,,∴Rt△~Rt△.…………………………11分∴.∴.…………………………12分在Rt△中,.……………………13分∴二面角的正切值为.…………………………14分解法2:设,连接,∵,∴△为等边三角形.∴,,,.………………………5分在Rt△中,,在△中,,∴.…………………………6分∵,,平面,平面,∴平面.…………………………7分以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,,.…………8分∴,.设平面的法向量为,-19-由,,得……9分令,得,.∴平面的一个法向量为.…………………………10分由(1)知平面的一个法向量为,……………………11分设二面角的平面角为,则.………………………12分∴,.………………………13分∴二面角的正切值为.…………………………14分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等差数列、数列的前项和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力和创新意识)(1)解:∵,∴.…………………………1分(2)解法1:由,得,…………………………2分故.…………………………3分∵,∴.∴.…………………………4分∴数列是首项为,公差为的等差数列.∴.…………………………5分∴.…………………………6分当时,,…………………………8分又适合上式,-19-∴.…………………………9分解法2:由,得,…………………………2分当时,,          …………………………3分∴.…………………………4分∴.∴.…………………………5分∵,∴.…………………………6分∴数列从第2项开始是以为首项,公差为的等差数列.……………7分∴.        …………………………8分∵适合上式,∴.…………………………9分解法3:由已知及(1)得,,猜想.…………………………2分下面用数学归纳法证明.①当,时,由已知,,猜想成立.………3分②假设时,猜想成立,即,…………………………4分由已知,得,故.∴.…………………………5分∴.∴.…………………………6分∵,-19-∴.…………………………7分∴.…………………………8分故当时,猜想也成立.由①②知,猜想成立,即.…………………………9分(3)解:由(2)知,.假设存在正整数,使,,成等比数列,则.…………………………10分即.…………………………11分∵为正整数,∴.∴.∴.化简得.…………………………12分∵,∴.解得,与为正整数矛盾.……………………13分∴不存在正整数,使,,成等比数列.…………………………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)(1)解法1:∵双曲线的顶点为,,…………1分∴椭圆两焦点分别为,.-19-设椭圆方程为,∵椭圆过点,∴,得.………………………2分∴.………………………3分∴椭圆的方程为.………………………4分解法2:∵双曲线的顶点为,,……………………1分∴椭圆两焦点分别为,.设椭圆方程为,∵椭圆过点,∴.①………………………2分.∵,②………………………3分由①②解得,.∴椭圆的方程为.………………………4分(2)解法1:设点,点,由及椭圆关于原点对称可得,∴,,,.由,得,……………………5分即.①-19-同理,由,得.②……………6分①②得.③………………………7分由于点在椭圆上,则,得,代入③式得.当时,有,当,则点或,此时点对应的坐标分别为或,其坐标也满足方程.………………………8分当点与点重合时,即点,由②得,解方程组得点的坐标为或.同理,当点与点重合时,可得点的坐标为或.∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,.………………………9分解法2:设点,点,由及椭圆关于原点对称可得,∵,,∴,.∴,①……………………5分.②……………………6分①②得.(*)………………………7分-19-∵点在椭圆上,∴,得,代入(*)式得,即,化简得.若点或,此时点对应的坐标分别为或,其坐标也满足方程.………………………8分当点与点重合时,即点,由②得,解方程组得点的坐标为或.同理,当点与点重合时,可得点的坐标为或.∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,.………………………9分(3)解法1:点到直线的距离为.△的面积为………………………10分.………………………11分而(当且仅当时等号成立)∴.……12分当且仅当时,等号成立.-19-由解得或………………………13分∴△的面积最大值为,此时,点的坐标为或.…14分解法2:由于,故当点到直线的距离最大时,△的面积最大.………………………10分设与直线平行的直线为,由消去,得,由,解得.   ………………………11分若,则,;若,则,.…12分故当点的坐标为或时,△的面积最大,其值为.          ………………………14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数的导数、不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识)(1)解:∵,其定义域为,∴.…………………………1分①当时,,当时,,则在区间上单调递减,此时,,不符合题意.…2分-19-②当时,令,得,,当时,,则在区间上单调递减,此时,,不符合题意.…………………………3分③当时,,当时,,则在区间上单调递增,此时,,符合题意.……4分④当时,令,得,,当时,,则在区间上单调递增,此时,,符合题意.……5分综上所述,的取值范围为.…………………………6分(2)证明:由(1)可知,当时,对都成立,即对都成立.…………………………7分∴.………………8分即.由于N,则.…………………………9分∴.∴.…………………………10分由(1)可知,当时,对都成立,即对都成立.…………………………11分-19-∴.…………………………12分即.得由于N,则.…………………………13分∴.∴.…………………………14分∴.-19-

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:42:01 页数:19
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文章作者:U-336598

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