广东省广州市2022届高三数学毕业班综合测试试题 理（一）（广州一模）（含解析）

试卷类型：A2022年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2022.3本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件相互独立,那么.线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，则。2.已知，其中是实数，i是虚数单位，则iA．iB．iC．iD．i14【答案】B【解析】由，即，得，。3．已知变量满足约束条件则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】如图：要使取得最大值，只有直线经过点，因此的最大值是1。x0y4.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是A．B．C．D．【答案】D【解析】圆心到直线的距离是：。可见，，所以劣弧所对的圆心角的一半是，圆心角是。5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A．B．C.D.14【答案】A【解析】由三视图可知，这个几何体是水平放置的直三棱柱，且底面是直角三角形。则。6.函数是A．奇函数且在上单调递增B．奇函数且在上单调递增C．偶函数且在上单调递增D．偶函数且在上单调递增【答案】C【解析】，可见它是偶函数，并且在上是单调递增的。7．已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是A．B.C.D.【答案】A【解析】由，所以函数的零点在区间上；而，可知函数的零点在区间上；则，又因为函数在上是单增的，得。水流方向8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知km，水流速度为km/h,若客船行驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中的速度大小为A．km/hB．km/h图2C．km/hD．km/h【答案】B【解析】设客船在静水中的速度大小是，由题意得14解得。二、填空题：本大题共7小题，考的生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式的解集是.【答案】【解析】当时，，即；当时，，；所以原不等式解集是。10．d.【答案】【解析】。11．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：234562.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约万元（结果保留两位小数）．【答案】12.38【解析】，，所以样本中心点是：，它在回归直线上，带入得，当时，。12．已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为.【答案】【解析】当时，函数的最大值是1，最小值是，则，14得；当时，函数的最大值是，最小值是，则，此种情况不成立；当时，函数的最大值是，最小值是1，则，得，综上得。13.已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则，.【答案】8；。【解析】当时，任意不经过同一条直线的三个平面将空间分成了八部分，即；当时，任意不经过同一条直线的四个平面将空间分成了十四部分，即；依次下去可得任意不经过同一条直线的个平面将空间分成了部分，且（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为．【答案】【解析】在直角坐标系中，的坐标是，点所在的直线的方程是，设的坐标是，则得解得的坐标是，它的极坐标是。1415．（几何证明选讲选做题）如图3，是的直径，是的切线，与交于点，若，，则的长为．【答案】4【解析】由切割弦定理，得，又因为，所以，则。三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求△的面积.【解析】（1）因为函数的最大值是2，所以；它的最小正周期是8，则。（2）由题意得，，，；直线的方程是，所以原点到直线的距离是，则的面积是。17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为，(＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：012314(1)求至少有一位学生做对该题的概率；（2)求，的值；（3)求的数学期望.【解析】（1）设是“至少有一位学生做对该题”事件，是“没有一位学生做对”。可见、两个事件是对立事件，则。（2）由的分布列可得解得（3）由题意可得；；。18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点.（1）求证：∥平面；（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.【解析】（1）证明：延长交的延长线于点，连接.∵∥，且，∴为的中点.∵为的中点，∴∥.14∵平面，平面，∴∥平面。（2）∵平面，平面，∴∵△是边长为的等边三角形，是的中点，∴，。∵平面，平面，，∴平面.∴为与平面所成的角.∵，在Rt△中，，∴当最短时，的值最大，则最大.∴当时，最大.此时，.∴.∵∥，平面，∴平面.∵平面，平面，∴，.∴为平面与平面所成二面角（锐角）.在Rt△中，，。14∴平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为。19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且N.(1)求数列的通项公式；（2）若是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断是否成等比数列？并说明理由.【解析】（1）解：，∴当时，有解得.由,①,②②-①得:.③由③式得：得.④当时,⑤⑤-④得：.由，得，∴.∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.∴.（2）∵成等差数列，∴.假设成等比数列，则，即14，化简得：.（*）∵，∴，这与（*）式矛盾，故假设不成立.∴不是等比数列.20．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在满足的点?若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.【解析】（1）设椭圆的方程为,依题意:解得:∴椭圆的方程为.（2）设点,，则，，∵三点共线,∴.∴,化简得：.①14由,即得.∴抛物线在点处的切线的方程为，即.②同理，抛物线在点处的切线的方程为.③设点，由②③得：，而，则.代入②得，则，代入①得，即点的轨迹方程为若，则点在椭圆上，而点在直线上，∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.∴满足条件的点有两个。21．（本小题满分14分）已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数.设.（1）求的值；（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；（3）若，且，求证：N.【解析】（1）∵关于的不等式的解集为，即不等式的解集为，14∴.∴.∴.∴.(2)由(1)得.∴的定义域为.∴.方程（*）的判别式.①当时，，方程（*）的两个实根为则时，；时，.∴函数在上单调递减，在上单调递增.∴函数有极小值点.②当时，由,得或，若，则故时，，∴函数在上单调递增.14∴函数没有极值点.若时，则时，；时，；时，.∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∴函数有极小值点，有极大值点.综上所述,当时，取任意实数,函数有极小值点；当时，，函数有极小值点，有极大值点.(其中,)（3）证：∵，∴.∴.令，则.∵，∴14.∴，即.14