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江苏省盐城市高一期末数学试卷

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2022-2022学年江苏省盐城市高一(下)期末数学试卷 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.直线y=x﹣3的倾斜角为      .2.函数y=2sin(πx+)的最小正周期是      .3.已知圆锥的底面半径为1,高为,则该圆锥的侧面积为      .4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=﹣n2+4n,则其公差d=      .5.若向量=(2,m),=(1,),且与垂直,则实数m的值为      .6.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V1,四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V2,则=      .7.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴,终边过点P(﹣1,3),则cos2α的值为      .8.设{an}是等比数列,若a1+a2+a3=7,a2+a3+a4=14,则a4+a5+a6=      .9.设l,m,n是空间三条不同的直线,α,β是空间两个不重合的平面,给出下列四个命题:①若l与m异面,m∥n,则l与n异面;②若l∥α,α∥β,则l∥β;③若α⊥β,l⊥α,m⊥β,则l⊥m;④若m∥α,m∥n,则n∥α.其中正确命题的序号有      .(请将你认为正确命题的序号都填上)10.求值:=      .11.在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA+cosA=2,a=3,C=,则b=      .12.已知点A(2,4),B(6,﹣4),点P在直线3x﹣4y+3=0上,若满足PA2+PB2=λ的点P有且仅有1个,则实数λ的值为      .13.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=5,A、B是圆C上的两个动点,AB=2,则的取值范围为      .13/1414.在数列{an}中,设ai=2m(i∈N*,3m﹣2≤i<3m+1,m∈N*),Si=ai+ai+3+ai+6+ai+9+ai+12,则满足Si∈[1000,3000]的i的值为      . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A,ω,ϕ为常数,且A>0,ω>0,0<ϕ<π)的部分图象如图所示.(1)求A,ω,ϕ的值;(2)当x∈[0,]时,求f(x)的取值范围.16.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,CA=CB,D,E,F分别为AB,A1D,A1C的中点,点G在AA1上,且A1D⊥EG.(1)求证:CD∥平面EFG;(2)求证:A1D⊥平面EFG.17.如图,在四边形ABCD中,△ABC是边长为6的正三角形,设(x,y∈R).(1)若x=y=1,求||;(2)若=36,=54,求x,y.18.如图所示,∠PAQ是村里一个小湖的一角,其中∠13/14PAQ=60°.为了给村民营造丰富的休闲环境,村委会决定在直线湖岸AP与AQ上分别建观光长廊AB与AC,其中AB是宽长廊,造价是800元/米;AC是窄长廊,造价是400元/米;两段长廊的总造价预算为12万元(恰好都用完);同时,在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个表演舞台,并建水上通道AD(表演舞台的大小忽略不计),水上通道的造价是600元/米.(1)若规划宽长廊AB与窄长廊AC的长度相等,则水上通道AD的总造价需多少万元?(2)如何设计才能使得水上通道AD的总造价最低?最低总造价是多少万元?19.已知圆M的圆心为M(﹣1,2),直线y=x+4被圆M截得的弦长为,点P在直线l:y=x﹣1上.(1)求圆M的标准方程;(2)设点Q在圆M上,且满足=4,求点P的坐标;(3)设半径为5的圆N与圆M相离,过点P分别作圆M与圆N的切线,切点分别为A,B,若对任意的点P,都有PA=PB成立,求圆心N的坐标.20.设{an}是公比为正整数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1a2a3=64,b1+b2+b3=﹣42,6a1+b1=2a3+b3=0.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设pn=,数列{pn}的前n项和为Sn.①试求最小的正整数n0,使得当n≥n0时,都有S2n>0成立;②是否存在正整数m,n(m<n),使得Sm=Sn成立?若存在,请求出所有满足条件的m,n;若不存在,请说明理由. 13/142022-2022学年江苏省盐城市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.直线y=x﹣3的倾斜角为 45° .【考点】直线的倾斜角.【分析】先求出直线的斜率,再求倾斜角.【解答】解:∵直线y=x﹣3的斜率k=1,∴直线y=x﹣3的倾斜角α=45°.故答案为:45°. 2.函数y=2sin(πx+)的最小正周期是 2 .【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的周期为,得出结论.【解答】解:函数y=2sin(πx+)的最小正周期是=2,故答案为:2. 3.已知圆锥的底面半径为1,高为,则该圆锥的侧面积为 3π .【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长,然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可.【解答】解:∵圆锥的底面半径为1,高为2,∴母线长为:=3,∴圆锥的侧面积为:πrl=π×1×3=3π,故答案为:3π. 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=﹣n2+4n,则其公差d= 1 .【考点】等差数列的前n项和.【分析】由Sn=﹣n2+4n,可得a1=S1=3,a1+a2=4,分别解得a1,a2.即可得出.【解答】解:∵Sn=﹣n2+4n,∴a1=S1=3,a1+a2=﹣22+8,解得a1=3,a2=4.∴公差d=a2﹣a1=1.故答案为:1. 5.若向量=(2,m),=(1,),且与垂直,则实数m的值为 0 .【考点】平面向量的坐标运算.13/14【分析】根据平面向量的坐标表示与运算,列出方程,求解即可.【解答】解:向量=(2,m),=(1,),∴=(3,m+),=(1,m﹣);又()⊥(),∴(+)•(﹣)=3×1+(m+)(m﹣)=0,解得m=0.故答案为:0. 6.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V1,四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V2,则=  .【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】设三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为S,高为h,则V1=Sh,三棱锥A1﹣ABC的体积为Sh,可得四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V2=Sh,即可得出结论.【解答】解:设三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为S,高为h,则V1=Sh,三棱锥A1﹣ABC的体积为Sh,∴四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V2=Sh,∴V2=V1,∴=.故答案为:. 7.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴,终边过点P(﹣1,3),则cos2α的值为 ﹣ .【考点】二倍角的余弦;任意角的三角函数的定义.13/14【分析】利用任意角的三角函数的定义,求得cosα的值,再利用二倍角公式求得cos2α的值.【解答】解:∵角α的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴,终边过点P(﹣1,3),∴cosα==﹣则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣,故答案为:﹣. 8.设{an}是等比数列,若a1+a2+a3=7,a2+a3+a4=14,则a4+a5+a6= 56 .【考点】等比数列的通项公式.【分析】已知等式利用等比数列的通项公式变形,求出公比q的值,原式变形后代入计算即可求出值.【解答】解:∵{an}是等比数列,a1+a2+a3=7,a2+a3+a4=14,∴(a1+a2+a3)q=14,即q=2,则a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3=56,故答案为:56. 9.设l,m,n是空间三条不同的直线,α,β是空间两个不重合的平面,给出下列四个命题:①若l与m异面,m∥n,则l与n异面;②若l∥α,α∥β,则l∥β;③若α⊥β,l⊥α,m⊥β,则l⊥m;④若m∥α,m∥n,则n∥α.其中正确命题的序号有 ③ .(请将你认为正确命题的序号都填上)【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系,对4个选项分别进行判断,即可得出结论.【解答】解:①若l与m异面,m∥n,则l与n异面或相交,故不正确;②若l∥α,α∥β,则l∥β或l⊂β,故不正确;③若α⊥β,l⊥α,m⊥β,利用正方体模型,可得l⊥m,正确;④若m∥α,m∥n,则n∥α或n⊂α,故不正确.故答案为:③. 10.求值:= 4 .【考点】三角函数的化简求值.【分析】先通分,然后利用辅助角公式结合两角和差的余弦公式进行化简即可.【解答】解:===4•==4,13/14故答案为:4 11.在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA+cosA=2,a=3,C=,则b=  .【考点】正弦定理;三角函数的化简求值.【分析】sinA+cosA=2,化为2sin(A+)=2,解得A,再利用正弦定理即可得出.【解答】解:∵sinA+cosA=2,∴2sin(A+)=2,即sin(A+)=1,∵A∈,∴(A+)∈,∴A+=,解得A=.∴B=﹣=,在△ABC中,则b===.故答案为:. 12.已知点A(2,4),B(6,﹣4),点P在直线3x﹣4y+3=0上,若满足PA2+PB2=λ的点P有且仅有1个,则实数λ的值为 58 .【考点】两点间的距离公式.【分析】根据点P在直线3x﹣4y+3=0上,设出点P的坐标,代人PA2+PB2=λ中,化简并令△=0,从而求出λ的值.【解答】解:由点P在直线3x﹣4y+3=0上,设P(x,),又PA2+PB2=λ,∴[(x﹣2)2+]+[(x﹣6)2+]=λ,化简得x2﹣x+﹣λ=0,根据题意△=﹣4××(﹣λ)=0,解得λ=58.故答案为:58. 13.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=5,A、B是圆C上的两个动点,AB=2,则的取值范围为 [8﹣4,8+4] .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据圆的半径和余弦定理求出cos∠ACB=,根据勾股定理求出CD,∠COD=θ,0≤θ≤π,利用向量的加减的几何意义和向量的数量积的运算,得到13/14=+•(+)+,代值,根据余弦函数的性质计算即可.【解答】解:∵圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=5,∴CA=CB=,由余弦定理可得cos∠ACB===,设D为AB的中点,∴CD==2,设∠COD=θ,0≤θ≤π,∴﹣1≤cosθ≤1,∵+=2∴=(+)•(+)=+•(+)+=5+2•+×=8+2××2•cosθ=8+4cosθ,∴的取值范围为[8﹣4,8+4],故答案为:[8﹣4,8+4]. 14.在数列{an}中,设ai=2m(i∈N*,3m﹣2≤i<3m+1,m∈N*),Si=ai+ai+3+ai+6+ai+9+ai+12,则满足Si∈[1000,3000]的i的值为 2 .【考点】数列的求和.【分析】根据数列通项公式得出Si关于m的表达式,利用Si的范围得出m的值,从而得出i的值.【解答】解:∵3m﹣2≤i<3m+1,∴3(m+1)﹣2≤i+3<3(m+1)+1,∴ai+3=2m+1,同理可得:ai+6=2m+2,ai+9=2m+3,ai+12=2m+4.∴Si=2m+2m+1+2m+2+2m+3+2m+4=(1+2+4+8+16)2m=31•2m.∴1000≤31•2m≤3000.∴≤2m≤,∵m∈N*,∴2m=64.∴m=6.13/14∵3×2﹣2≤6<3×2+1,∴i=2.故答案为:2. 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A,ω,ϕ为常数,且A>0,ω>0,0<ϕ<π)的部分图象如图所示.(1)求A,ω,ϕ的值;(2)当x∈[0,]时,求f(x)的取值范围.【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.【分析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式.(2)利用正弦函数的定义域和值域,求得当x∈[0,]时,求f(x)的取值范围.【解答】解:(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A,ω,ϕ为常数,且A>0,ω>0,0<ϕ<π)的部分图象,可得A=,•=﹣=,∴ω=2.再根据五点法作图,可得2•+φ=π,∴φ=,f(x)=sin(2x+).(2)当x∈[0,]时,2x+∈[,],sin(2x+)∈[﹣1],∴f(x)∈[﹣,]. 16.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,CA=CB,D,E,F分别为AB,A1D,A1C的中点,点G在AA1上,且A1D⊥EG.(1)求证:CD∥平面EFG;(2)求证:A1D⊥平面EFG.13/14【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.【分析】(1)利用三角形的中位线的性质,证明EF∥CD,利用线面平行的判定定理证明:CD∥平面EFG;(2)利用等腰三角形三线合一证明CD⊥AB,利用平面与平面垂直的性质证明CD⊥A1D,利用线面垂直的判定定理证明:A1D⊥平面EFG.【解答】证明:(1)∵E,F分别为A1D,A1C的中点,∴EF∥CD,∵CD⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,∴CD∥平面EFG;(2)∵CA=CB,D为AB的中点,∴CD⊥AB,∵侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,∴CD⊥侧面ABB1A1,∴CD⊥A1D,∵EF∥CD,∴A1D⊥EF,∵A1D⊥EG,EF∩EG=E,∴A1D⊥平面EFG. 17.如图,在四边形ABCD中,△ABC是边长为6的正三角形,设(x,y∈R).(1)若x=y=1,求||;(2)若=36,=54,求x,y.【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义.【分析】(1)x,y=1时,根据向量加法的平行四边形法则,以及等边三角形的中线也是高线便可求出BD的长度,即求出的值;13/14(2)可设BD=d,∠DBC=θ,根据条件及向量数量积的计算公式便可得出不等式组,解该不等式组可求出d的大小,然后对两边平方即可得出①;再根据该问的条件可得到方程x﹣y=1②,这样两式联立即可求出x,y的值.【解答】解:(1)如图,若x=y=1,则;∴BD过AC的中点E,且BD=2BE=;即;(2)设∠DBC=θ,则∠DBA=60°﹣θ,设BD=d;∴由,得:;解得,cos,d=;∴;即84=36x2+36xy+36y2,整理得,①;且;∴=18x﹣18y=18;∴x﹣y=1②;①②联立得,(舍去),x=. 18.如图所示,∠PAQ是村里一个小湖的一角,其中∠PAQ=60°.为了给村民营造丰富的休闲环境,村委会决定在直线湖岸AP与AQ上分别建观光长廊AB与AC,其中AB是宽长廊,造价是800元/米;AC是窄长廊,造价是400元/米;两段长廊的总造价预算为12万元(恰好都用完);同时,在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个表演舞台,并建水上通道AD(表演舞台的大小忽略不计),水上通道的造价是600元/米.(1)若规划宽长廊AB与窄长廊AC的长度相等,则水上通道AD的总造价需多少万元?(2)如何设计才能使得水上通道AD的总造价最低?最低总造价是多少万元?13/14【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【分析】(1)设AB=AC=x(单位:百米),由题意可得12x=12,即x=1,求得BD=,在△ABD中,由余弦定理求得AD的长,即可得到所求造价;(2)设AB=x,AC=y(单位:百米),则两段长廊的总造价为8x+4y=12,即2x+y=3,y=3﹣2x,运用余弦定理求得BC,再在△ABC与△ABD中,由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD,求得AD2的解析式,化简整理,运用配方,即可得到所求最小值,及x,y的值.【解答】解:(1)设AB=AC=x(单位:百米),则宽长廊造价为8x万元,窄长廊造价为4x万元,故两段长廊的总造价为12x万元,所以12x=12,得x=1,又∠PAQ=60°,△ABC是边长为1的正三角形,又点D为线段BC上靠近点B的三等分点,所以BD=,在△ABD中,由余弦定理得AD2=BA2+BD2﹣2BA•BD•cos∠ABD=1+﹣2××=,即AD=.又水上通道的造价是6万元/百米,所以水上通道的总造价为2万元.(2)设AB=x,AC=y(单位:百米),则两段长廊的总造价为8x+4y=12,即2x+y=3,在△ABC中,由余弦定理得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC=x2+y2﹣2xy•=x2+y2﹣xy,在△ABC与△ABD中,由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD,得=,又BC=3BD,得AD2=x2+y2+xy=x2+(3﹣2x)2+x(3﹣2x)=x2﹣x+1=(x﹣)2+,当且仅当x=时,AD有最小值,故总造价有最小值3万元,此时y=,即当宽长廊AB为百米(75米)、窄长廊AC为百米时,水上通道AD有最低总造价为3万元. 13/1419.已知圆M的圆心为M(﹣1,2),直线y=x+4被圆M截得的弦长为,点P在直线l:y=x﹣1上.(1)求圆M的标准方程;(2)设点Q在圆M上,且满足=4,求点P的坐标;(3)设半径为5的圆N与圆M相离,过点P分别作圆M与圆N的切线,切点分别为A,B,若对任意的点P,都有PA=PB成立,求圆心N的坐标.【考点】圆方程的综合应用.【分析】(1)求出M到直线y=x+4的距离,利用垂径定理计算圆M的半径,得出圆M的标准方程;(2)由|MQ|=1可知|MP|=4,利用两点间的距离公式列方程解出P点坐标;(3)由切线的性质可知PA2=PM2﹣1,PB2=PN2﹣5.设N(m,n),P(x,x﹣1),列出方程,令关于x的方程恒成立得出m,n.【解答】解:(1)点M到直线y=x+4的距离d==.∴圆M的半径r==1.∴圆M的标准方程为:(x+1)2+(y﹣2)2=1.(2)∵点Q在圆M上,∴||=1.∴||=4||=4.设P(a,b)则,解得或.∴点P坐标为(﹣1.﹣2)或(3,2).(3)设N(m,n),P(x,x﹣1),∵PA,PB分别与圆M,圆N相切,∴PA2=PM2﹣1,PB2=PN2﹣5.∵对任意点P,都有PA=PB,∴(x+1)2+(x﹣3)2﹣1=(x﹣m)2+(x﹣1﹣n)2﹣25恒成立.整理得:2(m+n﹣1)x+33﹣m2﹣n2﹣2n=0恒成立.∴,解得或.∴N(5,﹣4)或N(﹣3,4). 20.设{an}是公比为正整数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1a2a3=64,b1+b2+b3=﹣42,6a1+b1=2a3+b3=0.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设pn=,数列{pn}的前n项和为Sn.①试求最小的正整数n0,使得当n≥n0时,都有S2n>0成立;②是否存在正整数m,n(m<n),使得Sm=Sn成立?若存在,请求出所有满足条件的m,n;若不存在,请说明理由.【考点】等比数列的前n项和.13/14【分析】(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出.(2)①pn=,可得数列{pn}的前2n项和S2n=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(b2+b4+…+b2n)=﹣﹣2n2﹣12n.n=1,2,3时,S2n<0.n≥4时,都有S2n>0.即可得出.②由S1=2,S2=﹣12,S3=﹣4,S4=﹣22,S5=10,S6=﹣12,S7=116.由①可知:使得当n≥4时,都有S2n>0成立,而an=2n>0.因此n≥8时,都有Sn>0,且Sn单调递增.即可得出.【解答】解:(1)设等比数列{an}的公比为q>0,等差数列{bn}的公差为d,∵a1a2a3=64,b1+b2+b3=﹣42,6a1+b1=2a3+b3=0.∴=64,3b2=﹣42,+b2﹣d=2a2q+b2+d=0,联立解得a2=4,b2=﹣14,q=2,d=﹣2.∴an==4×2n﹣2=2n,bn=b2+(n﹣2)d=﹣14﹣2(n﹣2)=﹣2n﹣10.(2)①∵pn=,数列{pn}的前2n项和S2n=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(b2+b4+…+b2n)=﹣14n+=﹣﹣2n2﹣12n.n=1,2,3时,S2n<0.n≥4时,都有S2n>0.∴最小的正整数n0=4,使得当n≥n0时,都有S2n>0成立.②由S1=2,S2=﹣12,S3=﹣12+23=﹣4,S4=﹣22,S5=﹣22+25=10,S6=﹣12,S7=﹣12+27=116.由①可知:使得当n≥4时,都有S2n>0成立,而an=2n>0.因此n≥8时,都有Sn>0,且Sn单调递增.假设存在正整数m,n(m<n),使得Sm=Sn成立,则取m=2,n=6时,Sm=Sn=﹣12成立,由n≥8时,都有Sn>0,且Sn单调递增,S8=90.因此Sm=Sn不可能成立.综上可得:只有m=2,n=6时,使得Sm=Sn成立. 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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:49:34 页数:14
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文章作者:U-336598

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