江西省上饶市上饶中学2022届高三数学上学期第二次月考试题理

上饶中学高三上学期第二次月考数学试卷全卷满分：150分测试时间：120分钟测试内容：集合与简易逻辑函数与导数三角函数平面向量数列不等式立体几何第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题有且只有一个正确答案）1．函数y＝的定义域是A．[－1，＋∞）B．[－1,0）C．（－1，＋∞）D．（－1,0）2．数列，，，，…的一个通项公式为A．B．C．D．3．设是虚数单位，若复数满足，则复数的模A．B．C．D．4．设一元二次不等式的解集为则的值为A．1B．C．4D．5．已知，，则A．B．或C．D．6．已知向量若，则与的夹角为A．30°B．45°C．60°D．120°7．下列四个命题中错误的是A．若直线、互相平行，则直线、确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面8．已知函数与图像的交点坐标为（），则所在的大致区间为A.B.C.D.9．若函数，且，，集合，则A．，都有B．，都有C．，使得D．，使得-10-\n10．已知函数,（其中），其部分图像如下图所示，将的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到的图像，则函数的解析式为A．B．C.D.11．已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是A．B．C．D．12．设,其中是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹经过的A．外心B．内心C．重心D．垂心．第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若变量满足，则的最大值为※．14．数列的通项公式，它的前n项和为，则※．15．空间一线段，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，则线段的长度为※．16．已知定义在区间上的函数的图象如图所示，对于满足的任意，，给出下列结论：①；②；③；④．-10-\n其中正确结论的序号是※．（把所有正确结论的序号都填上）三、解答题(本大题共6小题，其中17题10分，其余每题12分，共70分)17．设函数（1）当时，解不等式：；（2）若不等式的解集为，求的值．18．已知数列的前项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．19．在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝1，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．（1）求证：AC⊥PB；（2）当PD＝2时，求此四棱锥的体积．-10-\n20．已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求实数的值．21．如图所示，某镇有一块空地，其中，．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边A，B上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为了安全起见，需在的一周安装防护网．（1）当时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小．22．已知为实常数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点；①求实数的取值范围；②求证：且.（注：为自然对数的底数）-10-\n上饶中学第二次月考理科数学参考答案2022年12月3日1．C【解析】，定义域为（－1，＋∞）2．D【解析】分子为奇数，分母是指数，符号由确定，D正确．3．B【解析】，所以有，故选B．4．B【解析】方程的根为5．C【解析】，得选C．6．D【解析】，从而，7．C【解析】若两直线无公共点，则是异面直线或是平行直线．故选C．8．B【解析】为方程的根，即为的零点，因，选B.9．A【解析】∵，，故有且，∴，即，且，即，∴，又，∴为的一个零点，，另一个零点为，∴，∴，∴恒成立．10．B【解析】解得，由且解得：，所以将其横坐标变为原来的倍，得到，再向右平移一个单位得到：，选B.11．B【解析】，设切点为，则切线为，即，-10-\n与直线重合时，有，，解得，所以，当直线与直线平行时，直线为，当时，，当时，，当时，，所以与在上有2个交点，所以直线在和之间时与函数有2个交点，所以，故选B．12．D【解析】，所以，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC．的垂心，选D13．8【解析】作出可行域，如图内部（含边界），再作直线，向上平移直线，增大，当过点时，取得最大值3，因此的最大值为8．14．99【解析】,可得前n项和，则.15．【解析】边长为1的正方体的对角线，其长度为，它在各个面上的投影是各面的对角线，长度为，由此可知线段AB的长度.16．②③④【解析】因为，所以由得，表示连线的斜率大于①不正确；由得，表示点与原点连线的斜率，②正确；函数结合图象是上凸的，所以正确；由知，时，，函数是增函数，所以④正确.综上知正确结论有②③④.17．【解析】（1）当时，函数，由不等式可得①，或②．解①可得，解②可得，故不等式的解集为．-10-\n（2）∵，连续函数在上是增函数，由于的解集为，故，当时，有，解得．当时，则有，解得．综上可得，当或时，f（x）≤2的解集为．18．【解析】（1）当时，，当时，即：，数列为以2为公比的等比数列（2），，两式相减，得19．【解析】（1），，．…6分（2）由（1）有，，，，当时，仅当时，，解得（舍）；当时，仅当时，，解得或（舍）；当时，仅当时，，解得（舍）；综上所述，．20．【解析】（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，∴AC＝＝，∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．-10-\n（2）当PD＝2时，作CE⊥AB交AB于E，Rt△CEB中，CE＝CB·sin30°＝2×＝，Rt△PCD中，DC＝1，∴PC＝，∴VP－ABCD＝·PC·SABCD＝××．20．【解析】（1）在中，因为，所以，在中，，由余弦定理，得，所以，即，所以，所以为正三角形，所以的周长为9，即防护网的总长度为9km．（2）设因为的面积是堆假山用地的面积的倍，所以，即，中，由，得，从而，即，由，得，所以，即．22．【解析】（I）的定义域为．其导数．1分①当时，，函数在上是增函数；2分②当时，在区间上，；在区间上，．所以在是增函数，在是减函数.4分（II）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，所以，解得，6分此时，，且，令，则，所以在上单调递增，所以，即所以的取值范围是8分-10-\n②证法一：.设..当时，；当时，；所以在上是增函数，在上是减函数.最大值为.由于，且，所以，所以.下面证明：当时，.设，则.在上是增函数，所以当时，.即当时，..由得.所以.所以，即，，.又，所以，.所以.即.由，得.所以，.12分②证法二：由（II）①可知函数在是增函数，在是减函数..故因为,所以.只要证明:就可以得出结论下面给出证明：令则：，所以函数在区间上为减函数.-10-\n,则,又于是.又由(1)可知.即12分-10-