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江西省九江第一中学2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题
江西省九江第一中学2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题
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江西省九江第一中学2022-2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.“a=12”是“ln(2a-1)>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.双曲线x23−y26=1的渐近线方程为( )A.y=±2xB.y=±12xC.y=±2xD.y=±22x3.在等差数列{an}中,a3=5则{an}的前5项和S5=( )A.7B.15C.25D.204.△ABC中,若asinA=bcosB=ccosC,则△ABC中最长的边是( )A.aB.bC.cD.b或c5.下列命题中正确的是( )A.若a>b,则ac>bcB.若a>b,c>d,则a−c>b−dC.若ab>0,a>b,则1a<1bD.若a>b,c>d,则ac>bd6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上一点M(2,m)满足|MF|=6,则抛物线C的方程为( )A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=16x7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象( )可得g(x)=sin(2x+π4)的图象A.向右平移π12个长度单位B.向左平移π24个长度单位C.向左平移π12个长度单位D.向右平移π24个长度单位8.椭圆x216+y24=1上的点到直线x+2y−2=0的最大距离是( )A.3B.11C.22D.109.两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其分前n项的乘积分别为An,Bn,若a5b5=2,则A9B9=( )13/13\nA.512B.32C.8D.21.已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为( )A.6B.7C.8D.92.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是( )A.[33,1]B.[63,1]C.[63,223]D.[223,1]3.已知圆O1:(x-2)2+y2=16和圆O2:x2+y2=r2(0<r<2),动圆M与圆O1、圆O2都相切,动圆圆心M的轨迹为两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为e1、e2(e1>e2),则e1+2e2的最小值是( )A.3+224B.32C.2D.38二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)4.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=2π3,则边c的长是______5.已知正数x,y满足x+y=1,则1x+4y的最小值是______.6.若实数x,y满足|x|−y+1≤0y≤2,则z=x+yx−2的最小值为______7.若方程x2−1=2x+m有实数解,则实数m的取值范围是______三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)8.直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=2+22ty=1+22t(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6cosθ(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于点A,B,求|AB|的值.9.已知命题p:(a-2)(6-a)>0;命题q:函数f(x)=(4-a)x在R上是增函数;若命题“p或q”为真,命题“p且q”为假,求实数a的取值范围.13/13\n1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边为a,b,c,且满足sinA−sinCb=sinA−sinBa+c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若cosA=17,求cos(2A-C)的值.2.已知数列{an}满足:a1=3,且对任意的n∈N+,都有1,an,an+1成等差数列.(1)证明数列{an-1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.3.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA=PB=AB=2,点N为AB的中点.(1)证明:AB⊥PC(2)若点M为线段PD的中点,平面PAB⊥平面ABCD,求二面角M-NC-P的余弦值.13/13\n1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2且离心率为22,Q、A、B为椭圆C上三个点,△QF1F2的周长为4(2+1),线段AB的垂直平分线经过点P(-1,0).(1)求椭圆C的方程;(2)求线段AB长度的最大值.13/13\n答案和解析1.【答案】D【解析】解:由“ln(2a-1)>0”得2a-1>1得a>1,则“a=”是“ln(2a-1)>0”的既不充分也不必要条件,故选:D.根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关键.2.【答案】C【解析】解:双曲线的a=,b=,可得渐近线方程为y=±x,即y=±x.故选:C.由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程y=±x,即可得到所求方程.本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程的求法,考查运算能力,属于基础题.3.【答案】C【解析】解:∵在等差数列{an}中,a3=5,∴S5==5a3=25.故选:C.利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解.本题考查等差数列的前5项和的求法,是基础题,解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用.4.【答案】A【解析】解:由,可得,,∴B=C=45°,那么A=90°.大边对应大角,可得:a最大;故选:A.根据正弦定理求解即可.13/13\n本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用,考查运算能力,属于基础题.5.【答案】C【解析】解:A.c<0时不成立;B.a>b,c>d,则a+c>b+d,因此不正确;C.ab>0,a>b,则,正确.D.取a=2,b=-3,c=3,d=-3,满足条件a>b,c>d,但是不成立.故选:C.利用不等式的性质即可判断出结论.本题主要不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.【答案】D【解析】解:∵抛物线C:y2=2px(p>0),在此抛物线上一点M(2,m)到焦点的距离是6,∴抛物线准线方程是x=-,由抛物线的定义可得2+=6,解得p=8,∴抛物线的方程是y2=16x.故选:D.求得抛物线的准线方程,由抛物线的定义推导出2+=6,解得p,由此能求出抛物线的方程.本题考查抛物线方程的求法,解题时要认真审题,注意抛物线的简单性质的合理运用.7.【答案】D【解析】解:由图象得A=1,=-=,即T=π,由T==π,则ω=2,即f(x)=sin(2x+φ),∵f()=sin(2×+φ)=-1,∴sin(+φ)=-1,即+φ=+2kπ,得φ=-+2kπ=+2kπ,∵,13/13\n∴当k=0时,φ=,则f(x)=sin(2x+),=sin(2x-++]=sin[2(x-)+],即将函数f(x)的图象向右平移个长度单位可得的图象,故选:D.根据三角函数的图象确定函数的解析式,进行求解即可.本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象的变换,根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键.8.【答案】D【解析】解:设椭圆上的点P(4cosθ,2sinθ)则点P到直线的距离d=;故选:D.设椭圆上的点P(4cosθ,2sinθ),由点到直线的距离公式,计算可得答案.本题考查直线和椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细求解.9.【答案】A【解析】解:因为A9=a1a2a3…a9=a59,B9=b1b2b3…b9=b59,所以则=()9=512,故选:A.由等差数列的性质即可求出本题考查了等差数列的性质和灵活应用,是常考的题型,注意总结.10.【答案】B【解析】解:由题意,AC为直径,所以||=|2+|所以B为(-1,0)时,|2+|≤7.所以||的最大值为7.另解:设B(cosα,sinα),|2+|=|2(-2,0)+(cosα-2,sinα)|=|(cosα-6,sinα)|==,当cosα=-1时,B为(-1,0),取得最大值7.故选:B.由题意,AC为直径,所以||=|2+|.B为(-1,0)时,|2+|≤7,即可得出结论.本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.13/13\n11.【答案】B【解析】解:由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中,==.sin∠C1OA1=sin(π-2∠AOA1)=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=,=1.∴sinα的取值范围是.故选:B.由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法,考查了推理能力,属于中档题.12.【答案】A【解析】解:①当动圆M与圆O1、O2都相内切时,|MO2|+|MO1|=4-r=2a,∴e1=.②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时,|MO1|+|MO2|=4+r=2a′,∴e2=∴e1+2e2=+=,令12-r=t(10<t<12),e1+2e2=2×≥2×==故选:A.分别求出e1、e2(e1>e2),利用基本不等式求出e1+2e2的最小值.本题考查了两圆相切的性质、椭圆的离心率,属于难题.13.【答案】219【解析】解:∵a=4,b=6,C=,∴由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcosC=42+62-2×4×6×cos=2.故答案为:2.13/13\n由已知利用余弦定理即可计算得解.本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.14.【答案】9【解析】解:∵正数x,y满足x+y=1,则+=(+)(x+y)=1+4++≥5+2=9,当且仅当x=,y=时取等号,故则+的最小值是9,故答案为:9.有题意可得+=(+)(x+y)=1+4++,再利用基本不等式即可求出.本题考查了基本不等式的应用,关键是掌握等号成立的条件,属于基础题.15.【答案】-3【解析】解:实数x,y满足,的可行域如图:z==1+,几何意义是可行域内的点与P(2,-2)连线的斜率,由图形可知PB的斜率最小,由,解得B(1,2),z=的最小值为:-3.故答案为:-3.画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求解即可.本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.16.【答案】(-∞,-3]∪[2,+∞)【解析】解:方程=2x+m可化为m=-2x;作函数m=-2x的图象如下,结合选项可得,实数m的取值范围是(-∞,-]∪[2,+∞);故答案为:(-∞,-]∪[2,+∞);方程=2x+m可化为13/13\nm=-2x;作函数图象求解.本题考查了数形结合的思想应用及方程与函数的图象的关系应用,属于中档题.17.【答案】解:(1)圆C的方程为ρ=6cosθ,转换为直角坐标方程为:x2+y2=6x,转换为标准方程为(x-3)2+y2=9.(2)把直线l的参数方程为x=2+22ty=1+22t(t为参数),代入圆的方程x2+y2=6x,得到:t2-7=0,所以:t1+t2=0,t1•t2=-7,所以:|AB|=(t1+t2)2−4t1t2=27.【解析】(1)直接利用转换关系式,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.(2)利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.18.【答案】解:p真时,(a-2)(6-a)>0,解得2<a<6.q真时,4-a>1,解得a<3.由命题“p或q”为真,“p且q”为假,可知命题p,q中一真一假,当p真,q假时,得3≤a<6,当p假,q真时,得a≤2.因此实数a的取值范围是(-∞,2]∪[3,6).【解析】分别求出命题p、q为真时,a的范围,再根据命题“p或q”为真,命题“p且q”为假,可得p真q假,或p假q真,从而建立不等式,即可求出实数a的取值范围.本题考查复合命题真假的判定,考查分类讨论的数学思想,解题的关键是根据命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,可得p真q假,或p假q真,是基础题.19.【答案】解:(Ⅰ)因为sinA−sinCb=sinA−sinBa+c,在△ABC中,由正弦定理得:a−cb=a−ba+c,即:a2-c2=ab-b2,由余弦定理得:cosC=a2+b2−c22ab=12.又∵角C是三角形ABC的内角,∴C=π3;(II)由cosA=17及sin2A+cos2A=1 得sinA=1−cos2A=1−(17)2=437.13/13\ncos2A=2cos2A-1=-4749,∴sin2A=2sinAcosA=2×437×17=8349,∴cos(2A-C)=cos(2A-π3)=cos2Acosπ3+sin2Asinπ3=-4749×12+8349×32=-2398.【解析】(Ⅰ)利用正弦定理得到a2-c2=ab-b2,再结合余弦定理和特殊角的三角函数求得C的值;(Ⅱ)由同角三角函数关系,二倍角公式进行转化并求值.本题考查的知识点是正弦定理,两角和与差的余弦公式,诱导公式,难度不大,属于基础题.20.【答案】解:(1)证明:由1,an,an+1成等差数列,可知1+an+1=2an,即an+1=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),且a1-1=2,则{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an-1=2n,则an=2n+1,n∈N*;(2)由(1)可得前n项和Sn=(2+1)+(22+1)+…+(2n+1)=(2+4+…+2n)+n=2(1−2n)1−2+n=2n+1+n-2.【解析】(1)运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式,即可得到所求通项公式;(2)运用数列的分组求和和等比数列的求和公式,计算可得所求和.本题考查等比数列的定义和通项公式的运用,考查数列的并项求和,化简运算能力,属于中档题.21.【答案】证明:(1)∵四棱锥P-ABCD中,底面ABC为菱形,∠ABC=60°,PA=PB=AB=2,点N为AB的中点.∴PN⊥AB,CN⊥AB,∵PN∩CN=N,∴AB⊥平面PNC,∵PC⊂平面PNC,∴AB⊥PC.解:(2)∵点M为线段PD的中点,平面PAB⊥平面ABCD,又PN⊥AB,平面PAB∩平面ABCD=AB,∴PN⊥平面ABCD,以N为原点,NB为x轴,NC为y轴,NP为z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),D(-2,2,0),M(-1,22,32),N(0,0,0),C(0,3,0),13/13\nNM(-1,22,32),NC=(0,3,0),NP=(0,0,3),设平面MNC的法向量n=(x,y,z),则n⋅NM=−x+22y+32z=0n⋅NC=3y=0,取x=3,得n=(32,0,1),平面NCP的法向量m=(1,0,0),设二面角M-NC-P的平面角为θ,则cosθ=|m⋅n||m|⋅|n|=321×74=217.∴二面角M-NC-P的余弦值为217.【解析】(1)推导出PN⊥AB,CN⊥AB,从而AB⊥平面PNC,由此能证明AB⊥PC.(2)以N为原点,NB为x轴,NC为y轴,NP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角M-NC-P的余弦值.本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.22.【答案】解:(1)由题意可得:ca=22,2a+2c=4(2+1),b2=a2-c2,解得c=2=b,a=22.∴椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)AB⊥x轴时,满足题意,可得|AB|≤2b=4.由题意可得:AB的斜率不为0,设线段AB的中点为:(x0,y0),直线AB的方程为:y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2).联立x2+2y2=8y=kx+t,化为:(1+2k2)x2+4ktx+2t2-8=0.△=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-8)>0.化为:4+8k2>t2.x1+x2=−4kt1+2k2=2x0,解得x0=−2kt1+2k2.y0=kx0+t=t1+2k2.k⋅y0x0+1=-1,化为:t=1+2k2k.代入△>0,解得k4>14.又x1•x2=2t2−81+2k2,|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=(1+k2)[16k2t2(1+2k2)2−4(2t2−8)1+2k2]=(1+k2)×8(4+8k2−t2)(1+2k2)2=22(1+k2)(2k2−1)k2(1+2k2)=221−12k4+k2<22<4.综上可得:|AB|的最长为4.【解析】(1)由题意可得:=,2a+2c=4(+1),b2=a2-c2,联立解得.(2)AB⊥x轴时,满足题意,可得|AB|≤2b=4.由题意可得:AB的斜率不为0,13/13\n设线段AB的中点为:(x0,y0),直线AB的方程为:y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2).与椭圆方程联立化为:(1+2k2)x2+4ktx+2t2-8=0.△>0.化为:4+8k2>t2.根据根与系数的关系、中点坐标公式可得:|AB|,进而得出.本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、分类讨论方法、中点坐标公式、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.13/13
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高中 - 数学
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