甘肃省兰州市2022高二上学期第二片区丙组期末联考数学试题（理）

甘肃省兰州市2022-2022年高二上学期第二片区丙组期末联考数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）11.已知命题p：1，命题q：函数ሺݔȏ,1是域义定的ݔ，则以下为真命香1题的是ሺݔA.B.C.￢D.￢【答案】B【解析】解：命题p：1是真命题，1命题q：函数ሺݔȏ,1是域义定的ݔ是假命题，香1在A中，是假命题，故A错误；在B中，是真命题，故B正确；在C中，￢是假命题，故C错误；在D中，￢是假命题，故D错误．故选：B．推导出命题p是真命题，命题q是假命题，从而是假命题，是真命题，￢是假命题，￢是假命题．本题考查命题真假的判断，考查或、且、非及复合命题的真假判断等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．222.椭圆ȏ1的离心率为ሺݔ211A.B.C.D.2【答案】A22【解析】解：由椭圆ȏ1的方程可知，，，，离心率，21故选：A．22由椭圆ȏ1的方程可知，a，b，c的值，由离心率求出结果．21本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a、c的值是解题的关键．.已知空间向量、，，ሺ1,3，ݔሺ是以可标坐的则，ݔA.ሺ2,4，ݔ1香,香,ሺ.Dݔ1香,1香,ͺሺ.Cݔ‴1，6,2ሺ.Bݔ【答案】C1/12\n【解析】解：空间向量、，，ሺ1,3，ݔ，在A中，当ሺ2,4，ݔ时，2ȏ12ȏ‴‴，故A错误；在B中，当ሺ2,6，1‴ݔ时，2ȏ1ͺȏ‴൅‴‴，故B错误；在C中，当ሺͺ,香1,香1ݔ时，ͺ香香‴，，故C正确；在D中，当ሺ,香,香1ݔ时，香െ香香െ‴，故D错误．故选：C．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查向量的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．.命题“若2ȏ2‴，则‴且‴”的否命题是ሺݔA.若2ȏ2‴，则‴且‴B.若2ȏ2‴，则‴或‴C.若2ȏ2‴，则‴且‴D.若2ȏ2‴，则‴或‴【答案】D【解析】解：命题“2ȏ2‴，则‴”的否定命题为：若2ȏ2‴，则‴或‴．故选：D．直接利用四种命题的逆否关系，写出否定命题即可．本题考查四种命题的逆否关系，注意命题的否定与否定命题的区别，是基础题．22.若方程香1表示双曲线，则m的取值范围是ሺݔ2香1香2A.香2B.香1䁪䁪2C.香1䁪䁪1D.香1䁪䁪1或香2【答案】D22【解析】解：方程香1表示双曲线，2香1香2可得：ሺ2香1ݔሺ香2ݔ香‴，解得：香1䁪䁪1或香2．故选：D．利用双曲线的简单性质，列出不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．.以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是ሺݔ1A.ሺ1,0，‴ݔ‴,2香,ሺ，ݔ‴，2,‴ሺ，ݔ2B.ሺ1,0，‴ݔ2，0,‴ሺ，ݔ‴，1,‴ሺ，ݔC.ሺ1,0，1ݔ，ሺ‴,1，1ݔ，ሺ2,1，2ݔD.ሺ1,1，1ݔ2，0,1ሺ，ݔ‴，1,‴ሺ，ݔ【答案】A\n【解析】解：若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，1对于选项A，因为：ሺ1,0，0，ݔ‴,2香,ሺ，ݔ‴，2,‴ሺ，ݔ，212则香，22即向量，，共面，故选项A中的三个向量不能构成空间基底，对于选项B，C，D中的三个向量均不共面，即能够构成空间的基底，故选：A．结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可本题考查了空间向量基本定理、正交分解及坐标表示，属简单题൅.平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的ሺݔA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若动点P到两个定点㤵㌠的距离之和为正常数2a，当2㤵㌠时，动点P的轨迹是线段AB，或不存在，故充分性不成立，若动点P的轨迹是椭圆，则满足，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”，必要性成立，故平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的必要不充分条件，故选：B．根据椭圆的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和性质是解决本题的关键．ͺ.已知点1、2是椭圆2ȏ222的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么1ȏ2的最小值是ሺݔA.0B.1C.2D.22【答案】C【解析】解：为12的中点，1ȏ22，可得1ȏ22当点P到原点的距离最小时，达到最小值，ȏ12同时达到最小值．2椭圆2ȏ222化成标准形式，得ȏ21222且21，可得2，1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即最小值为11ȏ22的最小值为2/12\n故选：C．根据向量的加法法则和三角形中线的性质，可得ȏ等于点P到原点距离的212倍，由此结合椭圆的标准方程和简单几何性质，即可得到ȏ的最小值是2．12本题给出点1、2是椭圆的两个焦点，求椭圆上一个动点P指向两个焦点所成向量的和向量长度的最小值，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．22െ.已知点1、2是椭圆2ȏ21ሺ香香‴ݔ的左、右焦点，点A为椭圆与x轴正半轴的交点，点B为椭圆与y轴正半轴的交点，P是椭圆上一点，1与x轴垂直，//㤵㌠，若椭圆上存在点Q，使‴，则这样的Q点的个数为ሺݔ12A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】解：如图，2㤵ሺ,‴ݔ,香ሺ，ݔ,‴ሺ㌠，ݔ.2㤵㌠香，香，2由//㤵㌠，得香香，则．22以O为圆心，以12为直径的圆与椭圆2ȏ21有两个交点，为短轴的两端点．若椭圆上存在点Q，使‴，则Q为短轴的两端点，Q点的个数为2个．12故选：C．2由已知画出图形，求出A，B，P的坐标，由已知可得香香，得到，由此可知，22以O为圆心，以12为直径的圆与椭圆2ȏ21有两个交点，为短轴的两端点，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆、椭圆与圆位置关系的应用，是中档题．1‴.已知点A、B在抛物线2上，直线AB的斜率为1，M为线段AB的中点，直线AC垂直于直线l：香1，C为垂足，若C、B、ሺ坐标原点ݔ三点共线，则M到直线l的距离是ሺݔA.3B.4C.6D.8【答案】B\n【解析】解：如图，设AB：ȏ，ȏ联立2，得2香香‴．22设㤵ሺ,1ݔ，㌠ሺ,2ݔ，则ሺ1,香1ݔ．12由根与系数的关系可得：1ȏ2，12香．12由C、B、O三点共线，得香，即12香．1香香，即1．222ȏ2到直线l的距离是ȏȏ21ȏ2ȏ212ȏ212ሺ1ȏ2ݔ2香2122香2ȏ2ȏ2．故选：B．由已知画出图形，设AB：ȏ，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系结合C、B、O三点共线求得m，再由梯形中位线的性质求解．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．11.已知实数x，y，z满足2ȏ2ȏ21，则ሺ香ݔ2ȏሺ香ݔ2ȏሺ香ݔ2的范围是ሺݔA.,2B.2香1,ͺC.,ͺD.2香1,2ȏ1【答案】D【解析】解：实数x，y，z满足2ȏ2ȏ21，看做是以坐标原点为球心的球，ሺ香ݔ2ȏሺ香ݔ2ȏሺ香ݔ2的几何意义是球上的点与ሺ,4，ݔ的距离．可知最小值：2ȏ2ȏ2香12香1，最大值为：2ȏ2ȏ2ȏ12ȏ1，所以：ሺ香ݔ2ȏሺ香ݔ2ȏሺ香ݔ2的范围是：2香1,2ȏ1.故选：D．2ȏ2ȏ21，看做是以坐标原点为球心的球，ሺ香ݔ2ȏሺ香ݔ2ȏሺ香ݔ2的几何意义是球上的点与ሺ,4，ݔ的距离.然后求解范围即可．本题考查空间两点间距离公式的求法，表达式的几何意义，考查空间想象能力以及计算/12\n能力．12.以下三个命题：െሺ1ݔ‴,ሺ㌠、ݔ‴,香ሺ㤵点定到M点动若ݔ的连线斜率之积为定值香，则动点M的轨2迹为一个椭圆．ሺ2ݔ平面内到一定点的距离和到一定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线．ሺݔ若过原点的直线与圆ሺ香2ݔ2ȏ2相交于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹为一个圆．其中真命题的个数为ሺݔA.0B.1C.2D.3【答案】Aെ【解析】解：对于ሺ1ݔ‴,ሺ㌠、ݔ‴,香ሺ㤵点定到M点动若，ݔ的连线斜率之积为定值香，2െ22设ሺ,ݔሺ1ȏ为即，香得可，ݔ，ȏ香22െ则动点M的轨迹为一个椭圆ሺ不包括x轴上的点ݔ，故ሺ1ݔ错误；对于ሺ2ݔ，平面内到一定点的距离和到一定直线的距离相等，如果定点不在定直线上，可得动点的轨迹是一条抛物线；若定点在定直线上，可得动点的轨迹为过定点垂直于定直线的直线，故ሺ2ݔ错误；对于ሺݔ‴,‴ሺ㤵设，2为径半，ݔ‴,2ሺ心圆的2ȏ2ݔ2香ሺ：C圆，ݔ，若过原点的直线与圆C：ሺ香2ݔ2ȏ2相交于A、B两点，由㤵㌠，可得M的轨迹为以AC为直径的圆ሺ不包括原点ݔ，故ሺݔ错误．其中真命题的个数为0．故选：A．由直线的斜率公式化简整理，注意去掉x轴上的点，即可判断ሺ1ݔ；由抛物线的定义，即可判断ሺ2ݔሺ断判可即，理定径垂的内圆由；ݔ．本题考查轨迹方程的求法，注意运用方程思想和定义法，易错点：一些特殊点，考查运算能力，属于基础题和易错题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.抛物线22ሺ香‴ݔ‴,ሺ为点焦的ݔ，则抛物线的标准方程为______．【答案】22‴【解析】解：抛物线22ሺ香‴ݔ‴,ሺ为点焦的ݔ，可得1‴，所以抛物线的标准方程为：22‴．故答案为：22‴．利用抛物线的焦点坐标，求出p，然后求解抛物线的标准方程即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，考查计算能力．1.命题“存在实数a，使函数在其定义域内为非单调函数”是______ሺ填“真”或“假”ݔ命题．\n【答案】真【解析】解：当2时，2在ሺ香,‴为减函数，在ሺ‴,ȏݔ为增函数，但在定义域内为非单调函数．则存在实数a，使函数在其定义域内为非单调函数，故答案为：真．可取2，由二次函数的单调性，即可判断命题的真假．本题考查存在性命题的真假判断，主要是幂函数的图象和性质的运用，考查判断能力，属于基础题．1.叙述空间向量基本定理：______【答案】如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组x、y、z，使得ȏȏ【解析】解：空间向量的基本定理是，“如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组x、y、z，使得ȏȏ”.故答案为：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组x、y、z，使得ȏȏ．根据空间向量的基本定理，写出定理的内容即可．本题考查了空间向量的基本定理与应用问题，是基础题．221.已知点1、2是椭圆ȏ1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若动点Q满足221ሺ,香‴ݔ且2，则点Q到双曲线香1的一条渐近线距离的最大值为______．21【答案】ȏ൅22【解析】解：椭圆ȏ1的2，1ሺ香1,‴ݔ，若动点Q满足1ሺ,香‴ݔ且2，可得1，P，Q三点共线，且同向，由1ȏ12ȏ12，可得Q的轨迹为以1为圆心，4为半径的圆，22双曲线香1的一条渐近线方程设为香2‴，21由圆心到渐近线的距离为，ȏ൅2221可得点Q到双曲线香1的一条渐近线距离的最大值为ȏ，൅21故答案为：ȏ．൅求得椭圆的焦点和a，运用向量共线和椭圆的定义可得Q的轨迹为以1为圆心，4为半径的圆，求得双曲线的一条渐近线方程，以及圆心到渐近线的距离d，由最大值为ȏ㜷，൅/12\n可得所求值．本题考查椭圆和双曲线的定义、性质，考查轨迹的求法，以及直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的运用，以及最值的求法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）1൅.已知p：香2香‴，q：香香‴，其中．ሺ1ݔ若p是q的充分不必要条件，求实数a的范围；ሺ2ݔሺ2ݔ若p是q的必要不充分条件，求实数a的范围；【答案】解：（1）设命题p：A=，即P：A=，命题q：B=，因为p是q的充分不必要条件，则A⊊B，＞‴即，解得：a＞2，＜2（2）由（1）得：B⊊A，①当a=0时，B=∅，满足，②当a＞0时，由B⊊A得：＞2，即0＜a＜2，③a＜0时，显然不满足题意，综合①②③得：实数a的范围：0≤a＜2．【解析】（1）由命题与集合的关系，设命题p：A=，命题q：B=，因为p是q的充分不必要条件，则A⊊B，得解，（2）由B⊊A，分别讨论①当a=0时，②当a＞0时，③a＜0时，再综合可得解．本题考查了含参不等式的解法及集合的包含关系及充分、必要条件，属简单题1ͺ.已知四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且㤵㌠㌠2，点E是AC的中点；ሺ1ݔ求证：㤵；1‴ሺ2ݔ若异面直线CD与BE所成角为，且cos，求二面角香1‴㤵香㌠的余弦值；【答案】证明：ሺ1ݔ以B为坐标原点，建立空间直角坐标系㌠香，则㤵ሺ2,0，‴ݔ‴，1,1ሺ，ݔ‴，2,‴ሺ，ݔ，设ሺ‴,0，ݔ‴香ሺ，ݔ，ሺ1,1，香ݔ‴，2,2香ሺ㤵，ݔ，㤵‴，㤵.ሺ分ݔ\n解：ሺ2ݔ‴，1,1ሺ㌠，ݔ香，2,‴ሺݔ，㌠21‴cos，解得，即ሺ‴,0，ݔ分ͺሺ，ݔ㌠ȏ21‴设平面DAC的法向量为ሺ,y，ݔ，㤵香2ȏ2‴则，取1，得ሺ2,2，1ݔ，2香‴又平面ABC的法向量为ሺ‴,0，1ݔ，设二面角香㤵香㌠的平面角为，1则cos，1二面角香㤵香㌠的余弦值为.ሺ12分ݔ【解析】ሺ1ݔ以B为坐标原点，建立空间直角坐标系㌠香，利用向量法能证明㤵．ሺ2ݔ求出平面DAC的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角香㤵香㌠的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．221െ.已知双曲线与椭圆ȏ1有公共焦点，双曲线的渐近线方程为112ሺ1ݔ求双曲线的标准方程；ሺ2ݔ若直线l：香1与双曲线有两个不同的交点，求实数k的范围22【答案】解：ሺ1ݔ‴,2ሺ，ݔ‴,2香ሺ诶点焦知可，点焦共公有1ȏ圆椭与线曲双ݔ，112即2，双曲线的渐近线方程为，又22ȏ2，2，21，2双曲线的方程为香21，2香222ሺ2ݔ香1ሺ得可y消，由ݔȏ香‴，香1直线l：香1与双曲线有两个不同的交点，1香2‴且2ȏ2ሺ1香2ݔ香‴，解得香2䁪䁪2，且，故k的范围为香2䁪䁪2，且【解析】ሺ1ݔ先求出2，再根据渐近线方程可得，又22ȏ2，解得即可求出．ሺ2ݔ联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围．െ/12\n本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．2‴.已知点ሺ1,2ݔ在抛物线22ሺ香‴ݔ上．ሺ1ݔ求抛物线的标准方程；ሺ2ݔ过㤵ሺ,‴ݔ的直线与抛物线交于ሺ1,1ݔ、ሺ2,2ݔ两点，试证明12、12均为定值，并求相应的定值．【答案】解：ሺ1ݔ点ሺ1,2ݔ在抛物线22ሺ香‴ݔ上，2，即2，抛物线的标准方程2；证明：ሺ2ݔ香ሺ：为程方的l线直的k为率斜且ݔ‴,ሺ点过：ݔ．把ሺ香ݔȏ2ͺሺ香22得y去消，2入代ݔȏ12‴，由于直线与抛物线交于不同两点，故2‴且香‴，121，而12䁪‴，12香1．当过点ሺ,‴ݔ且斜率不存在时，也满足121，12香1．综上可得：12，12均为定值．【解析】ሺ1ݔ将点P代入即求出p的值，可得抛物线的方程；ሺ2ݔ香ሺ：为程方的l线直的k为率斜且ݔ‴,ሺ点过ݔ.联立抛物线方程，由韦达定理可得121，12香1，又由直线斜率不存在时，121，12香1也成立，可得结论．本题考查了抛物线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线方程，属于中档题．21.已知正四面体ABCD的各边长均为2，点E是边AB的中点，点F在边CD上，且2ሺ1ݔ计算EF的长；ሺ2ݔ求E到平面BCD的距离；【答案】解：ሺ1ݔ令㤵㌠，㤵，㤵，正四面体ABCD的各边长均为2，点E是边AB的中点，点F在边CD上，且2，2，䁪,香䁪,香䁪,香‴，香，2，111香，111112㤵ȏ㤵ȏ香ȏȏ香香ȏȏ，22211221െሺ香ȏȏݔ，2െ1െ的长．\n1ሺ2ݔ平面BCD的法向量ȏȏ，㌠，2到平面BCD的距离：12112ȏ2ȏ2．2ሺȏȏݔ2【解析】ሺ1ݔ令㤵㌠，㤵，㤵，则2，䁪,香䁪,香䁪,香111112‴，则香，2，得香，从而求出香ȏȏ，2由此能求出EF的长．1ሺ2ݔ平面BCD的法向量ȏȏ，㌠，由此能求出E到平面BCD的距离．2本题考查线段长的求法，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．222.在平面直角坐标系xOy中，点1、2是椭圆C：ȏ21的左、右焦点，点2‴ሺ‴,‴ݔሺ‴‴ݔ在椭圆上，过点P的直线l的方程为2ȏ‴1．ሺ1ݔ当212时，求12的面积；ሺ2ݔ若直线l与x轴、y轴分别相交于A，B两点，试求㤵㌠面积的最小值；【答案】解：ሺ1ݔ当212时，‴1，2‴，212221212的面积12‴22ሺⅡݔ直线l与x轴，y轴分别相交于A，B两点，‴‴，‴‴．22令‴，得，则㤵ሺ,‴ݔ，‴‴11令‴，得，则㌠ሺ‴,ݔ.‴‴点ሺ‴,‴ݔ在椭圆C上，2‴2ȏ1．2‴2‴212ȏ‴2‴‴，12‴‴11211㤵㌠的面积㤵㌠㤵㌠222‴‴‴‴212当且仅当‴2，即‴1，‴取等号，2‴22故㤵㌠面积的最小值为211/12\n2【解析】ሺ1ݔ根据212时，即可求出‴，三角形的面积可求出．2ሺ2ݔ在直线l中，分别令‴，‴，求得A，B的坐标，求得三角形OAB的面积，由P代入椭圆方程，运用基本不等式即可得到所求最小值；本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的基本量的关系，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题