甘肃省武威第十八中学2022-2022学年高二数学下学期期中试题文一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若是虚数单位,则复数的虚部是()A.0B.C.1D.2.已知,,,,依照以上各式的规律,得到一般性的等式为()A.B.C.D.3.函数的递增区间是()A.B.C.D.4.,若,则的值等于()A.B.C.D.5.函数的导数为()A.B.C.D.6.已知为三次函数的导函数,则它们的图象可能是()7.给出下面类比推理(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“a,c∈C,则a-c=0⇒a=c”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈Q-10-\n,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”;④“若x∈R,则|x|<1⇒-1<x<1”类比推出“若z∈C,则|z|<1⇒-1<z<1”.其中类比结论正确的个数为()A.1B.2C.3D.48.函数有()A.极小值,极大值1B.极小值,极大值3C.极小值,极大值2D.极小值,极大值39.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.函数在区间上的最小值为()A.B.C.D.11.若点P在曲线上移动,经过点P的切线的倾斜角为,则角的取值范围是()A.B.C.D.12.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.观察下列不等式:①;②;③;…则第个不等式为.14.若复数满足,则的虚部为15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于16.若函数f(x)=2x2-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是-10-\n三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。18.(本题满分12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.19.为了解学生喜欢数学是否与性别有关,对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表:喜欢数学不喜欢数学合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为.(1)请将列联表补充完整(不用写计算过程);(2)是否有99.5%的把握认为喜欢数学与性别有关?说明你的理由;下面的临界值表供参考:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式:,其中)20.(本题满分12分)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图像关于直线x=-对称,且-10-\nf′(1)=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.21.(本题满分12分)已知函数f(x)=lnx-ax+-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当时,讨论f(x)的单调性.22.(本题满分12分)已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x2-4x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.-10-\n高二期中数学试题(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若是虚数单位,则复数的虚部是(B)A.0B.C.1D.2.已知,,,,依照以上各式的规律,得到一般性的等式为( A )A.B.C.D.3.函数的递增区间是(C)A.B.C.D.4.,若,则的值等于(D)A.B.C.D.5.函数的导数为(B)A.B.C.D.6.已知为三次函数的导函数,则它们的图象可能是(D)7.给出下面类比推理(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“a,c∈C,则a-c=0⇒a=c”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈Q-10-\n,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”;④“若x∈R,则|x|<1⇒-1<x<1”类比推出“若z∈C,则|z|<1⇒-1<z<1”.其中类比结论正确的个数为( B )A.1 B.2C.3D.48.函数有(D)A.极小值,极大值1B.极小值,极大值3C.极小值,极大值2D.极小值,极大值39.在复平面内,复数对应的点位于(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.函数在区间上的最小值为(D)A.B.C.D.11.若点P在曲线上移动,经过点P的切线的倾斜角为,则角的取值范围是(B)A.B.C.D.12.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( B )A.B.C.D.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.观察下列不等式:①;②;③;…则第个不等式为.14.若复数满足,则的虚部为115.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于1816.若函数f(x)=2x2-10-\n-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。解:设切点为,函数的导数为切线的斜率,得,代入到得,即,所求切线方程为。18.(本题满分12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解:设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.∵==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,∴z=4-2i.∴(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.由于(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,∴解得2<a<6.∴实数a的取值范围是(2,6).19.为了解学生喜欢数学是否与性别有关,对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表:喜欢数学不喜欢数学合计男生5女生10合计50-10-\n已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为.(1)请将列联表补充完整(不用写计算过程);(2)是否有99.5%的把握认为喜欢数学与性别有关?说明你的理由;下面的临界值表供参考:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式:,其中).解:(1)列联表补充如下:喜爱数学不喜爱数学合计男生20525女生101525合计302050(2)∵∴有99.5%的把握认为喜爱数学与性别有关.20.(本题满分12分)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图像关于直线x=-对称,且f′(1)=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,故f′(x)=6x2+2ax+b,从而f′(x)=62+b-,即y=f′(x)关于直线x=-对称.从而由题设条件知-=-,即a=3.-10-\n又由于f′(1)=0,即6+2a+b=0,得b=-12.(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2),令f′(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增;当x∈(-2,1)时,f′(x)<0,即f(x)在(-2,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在(1,+∞)上单调递增.从而函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=21,在x=1处取得极小值f(1)=-6.21.(本题满分12分)已知函数f(x)=lnx-ax+-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当时,讨论f(x)的单调性.解析 (1)当a=-1时,f(x)=lnx+x+-1,x∈(0,+∞).∴f′(x)=+1-,∴f(2)=ln2+2,f′(2)=1.∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x+ln2.(2)因为f(x)=lnx-ax+-1,所以f′(x)=-a+=-,x∈(0,+∞).令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞),①当a=0时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞).所以当x∈(0,1)时g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增.②当a≠0时,由f′(x)=0,解得x1=1,x2=-1.-10-\n当a<0时,由于-1<0,由f′(x)<0,得0<x<1,∴x∈(0,1)时,函数f(x)递减;x∈(1,+∞)时,函数f(x)递增.综上所述:当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;22.(本题满分12分)已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x2-4x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.解:(1)f′(x)=a+=(x>0).①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞).②当a<0时,由f′(x)=0,得x=-.在区间上,f′(x)>0,在区间上,f′(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.综上所述,当a≥0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),当a<0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由题意得f(x)max<g(x)max,而g(x)max=2,由(1)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意.当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,故f(x)的极大值即为最大值,f=-1+ln=-1-ln(-a),所以2>-1-ln(-a),解得a<-.故a的取值范围为.-10-