甘肃省武威第十八中学2022学年高二数学下学期期中试题理
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甘肃省武威第十八中学2022-2022学年高二数学下学期期中试题理一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若是虚数单位,则复数的虚部是()A.0B.C.1D.2.已知,,,,依照以上各式的规律,得到一般性的等式为()A.B.C.D.3.已知为三次函数的导函数,则它们的图象可能是()4.曲线与围成的封闭区域的面积是()A.1B.C.D.5.在用数学归纳法证明的过程中,假设时不等式成立,则需要证明成立时,比增加的值为()A、B、C、D、6.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.函数在区间上的最小值为()-12-\nA.B.C.D.8.若点P在曲线上移动,经过点P的切线的倾斜角为,则角的取值范围是()A.B.C.D.8.=()A.B.2C.D.9.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=()A.B.C.D.10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于()A.11或18B.11C.18D.17或1811.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.12.已知定义在R上的奇函数f(x),设其导函数为,当x∈(-∞,0]时,恒有,令F(x)=xf(x),则满足F(3)>F(2x-1)的实数x的取值范围是()A.(-2,1)B.C.D.(-1,2)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.观察下列不等式:①;②;③;…则第个不等式为.14.若复数满足,则的虚部为-12-\n15.已知函数,其导函数记为,则.16.若函数f(x)=2x2-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4;(2)猜想通项公式an,并用数学归纳法证明.18.(本题满分12分)点P是曲线x2-y-2ln=0上任意一点,求点P到直线y=x-2的最短距离.19.(本题满分12分)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图像关于直线x=-对称,且f′(1)=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.20.(本题满分12分)已知f(n)=1++++…+,g(n)=-,n∈N*.(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.21.(本题满分12分)已知函数f(x)=lnx-ax+-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当时,讨论f(x)的单调性.22.(本题满分12分)-12-\n定义在R上的函数f(x)满足f(x)=·e2x-2+x2-2f(0)·x,g(x)=f-x2+(1-a)x+a.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)的单调区间;(3)如果s、t、r满足|s-r|≤|t-r|,那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时,试比较和ex-1+a哪个更靠近lnx,并说明理由.-12-\n高二期中数学试题(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若是虚数单位,则复数的虚部是(B)A.0B.C.1D.2.已知,,,,依照以上各式的规律,得到一般性的等式为( A )A.B.C.D.3.已知为三次函数的导函数,则它们的图象可能是(D)4.曲线与围成的封闭区域的面积是( C )A.1B.C.D.5.在用数学归纳法证明的过程中,假设时不等式成立,则需要证明成立时,比增加的值为(B)A、B、C、D、6.在复平面内,复数对应的点位于(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.函数在区间上的最小值为(D)-12-\nA.B.C.D.8.=(D)A.B.2C.D.9.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=(D )A.B.C.D.10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于( C )A.11或18B.11C.18D.17或1811.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( B )A.B.C.D.12.已知定义在R上的奇函数f(x),设其导函数为,当x∈(-∞,0]时,恒有,令F(x)=xf(x),则满足F(3)>F(2x-1)的实数x的取值范围是(D)A.(-2,1)B.C.D.(-1,2)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.观察下列不等式:①;②;③;…则第个不等式为.14.若复数满足,则的虚部为115.已知函数,其导函数记为,则.2-12-\n16.若函数f(x)=2x2-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4;(2)猜想通项公式an,并用数学归纳法证明.解:(1)当n=1时,a1=S1=2-a1,∴a1=1.当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=.当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=.由此猜想an=(n∈N*).(2)证明:①当n=1时,左边=a1=1,右边==1,左边=右边,结论成立.②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立,即ak=,那么n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,∴2ak+1=2+ak,∴ak+1===,这表明n=k+1时,结论成立,-12-\n由①②知猜想an=(n∈N*)成立.18.(本题满分12分)点P是曲线x2-y-2ln=0上任意一点,求点P到直线y=x-2的最短距离.解析 y=x2-2ln=x2-lnx(x>0),y′=2x-,令y′=1,即2x-=1,解得x=1或x=-(舍去),故过点(1,1)且斜率为1的切线为y=x,其到直线y=x-2的距离即为所求.19.(本题满分12分)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图像关于直线x=-对称,且f′(1)=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,故f′(x)=6x2+2ax+b,从而f′(x)=62+b-,即y=f′(x)关于直线x=-对称.从而由题设条件知-=-,即a=3.又由于f′(1)=0,即6+2a+b=0,得b=-12.(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2),令f′(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增;-12-\n当x∈(-2,1)时,f′(x)<0,即f(x)在(-2,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在(1,+∞)上单调递增.从而函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=21,在x=1处取得极小值f(1)=-6.20.(本题满分12分)已知f(n)=1++++…+,g(n)=-,n∈N*.(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.解:(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);当n=2时,f(2)=,g(2)=,所以f(2)<g(2);当n=3时,f(3)=,g(3)=,所以f(3)<g(3).(2)由(1)猜想f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明.①当n=1,2,3时,不等式显然成立.②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时不等式成立.即1++++…+<-,那么,当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+<-+,因为-=-=<0,所以f(k+1)<-=g(k+1).由①、②可知,对一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立.21.(本题满分12分)已知函数f(x)=lnx-ax+-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当时,讨论f(x)的单调性.-12-\n解析 (1)当a=-1时,f(x)=lnx+x+-1,x∈(0,+∞).∴f′(x)=+1-,∴f(2)=ln2+2,f′(2)=1.∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x+ln2.(2)因为f(x)=lnx-ax+-1,所以f′(x)=-a+=-,x∈(0,+∞).令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞),①当a=0时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞).所以当x∈(0,1)时g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增.②当a≠0时,由f′(x)=0,解得x1=1,x2=-1.当a<0时,由于-1<0,由f′(x)<0,得0<x<1,∴x∈(0,1)时,函数f(x)递减;x∈(1,+∞)时,函数f(x)递增.综上所述:当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;22.(本题满分12分)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=·e2x-2+x2-2f(0)·x,g(x)=f-x2+(1-a)x+a.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)的单调区间;(3)如果s、t、r满足|s-r|≤|t-r|,那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时,试比较和ex-1+a哪个更靠近lnx,并说明理由.解:(1)f′(x)=f′(1)e2x-2+2x-2f(0),所以f′(1)=f′(1)+2-2f(0),即f(0)=1.又f(0)=·e-2,所以f′(1)=2e2,所以f(x)=e2x+x2-2x.(2)∵f(x)=e2x-2x+x2,-12-\n∴g(x)=f-x2+(1-a)x+a=ex+x2-x-x2+(1-a)x+a=ex-a(x-1),∴g′(x)=ex-a.①当a≤0时,g′(x)>0,函数f(x)在R上单调递增;②当a>0时,由g′(x)=ex-a=0得x=lna,∴x∈(-∞,lna)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;x∈(lna,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.综上,当a≤0时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>0时,函数g(x)的单调递增区间为(lna,+∞),单调递减区间为(-∞,lna).(3)设p(x)=-lnx,q(x)=ex-1+a-lnx,∵p′(x)=--<0,∴p(x)在x∈[1,+∞)上为减函数,又p(e)=0,∴当1≤x≤e时,p(x)≥0,当x>e时,p(x)<0.∵q′(x)=ex-1-,q″(x)=ex-1+>0,∴q′(x)在x∈[1,+∞)上为增函数,又q′(1)=0,∴x∈[1,+∞)时,q′(x)≥0,∴q(x)在x∈[1,+∞)上为增函数,∴q(x)≥q(1)=a+1>0.①当1≤x≤e时,|p(x)|-|q(x)|=p(x)-q(x)=-ex-1-a,设m(x)=-ex-1-a,则m′(x)=--ex-1<0,∴m(x)在x∈[1,+∞)上为减函数,∴m(x)≤m(1)=e-1-a,∵a≥2,∴m(x)<0,∴|p(x)|<|q(x)|,∴比ex-1+a更靠近lnx.②当x>e时,|p(x)|-|q(x)|=-p(x)-q(x)=-+2lnx-ex-1-a<2lnx-ex-1-a,设n(x)=2lnx-ex-1-a,则n′(x)=-ex-1,n″(x)=--ex-1<0,-12-\n∴n′(x)在x>e时为减函数,∴n′(x)<n′(e)=-ee-1<0,∴n(x)在x>e时为减函数,∴n(x)<n(e)=2-a-ee-1<0,∴|p(x)|<|q(x)|,∴比ex-1+a更靠近lnx.综上在a≥2,x≥1时,比ex-1+a更靠近lnx.-12-
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