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福建省宁德市2022届高三数学单科质量检测试题 理
福建省宁德市2022届高三数学单科质量检测试题 理
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2022年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学(理科)试卷本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本卷满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.参考公式:样本数据,,,的标准差其中为样本平均数柱体体积公式其中为底面面积,为高锥体体积公式其中为底面面积,为高球的表面积、体积公式,其中为球的半径第I卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,,则满足且的实数所组成的集合为A.B.C.D.2.命题“若,则”的逆否命题是A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则3.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了下表:喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生19625女生91625-15-合计282250根据表中的数据及随机变量的公式,算得.临界值表:P(χ2≥k)0.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828根据临界值表,你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%开始结束否是输出4.某公司将4名新招聘的员工分配至3个不同的部门,每个部门至少分配一名员工.其中甲、乙两名员工必须在同一个部门的不同分配方法的总数为A.6B.12C.24D.365.运行如图所示的程序框图,则输出的所有实数对所对应的点都在函数A.的图象上B.的图象上C.的图象上D.的图象上6.若变量满足约束条件且的最大值和最小值分别为和,则等于A.8B.7C.6D.57.已知某几何体的三视图如图所示,则它的体积是A.B.C.D.8.已知函数,其中,则下列结论中正确的是A.的一条对称轴是B.在上单调递增C.是最小正周期为的奇函数-15-D.将函数的图象左移个单位得到函数的图象9.已知为坐标原点,向量,.若平面区域由所有满足(,)的点组成,则能够把区域的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是A.B.C.D.10.斜率为的两条直线分别切函数的图象于,两点.若直线的方程为,则的值为A.8B.7C.6D.5第II卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.11.已知复数(是虚数单位),则的模_______.12.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中乙种产品有30件,则样本容量n=________.13.如图,直线与函数的图象交于点,,过作轴于.在中任取一点,则该点落在阴影部分的概率为________.14.已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为,且成等差数列.若其对角线长为,则的最大值为________.15.如图,,,,均为等腰直角三角形,其直角顶点,,,在曲线上,与坐标原点重合,在轴正半轴上.设的纵坐标为,则________.-15-三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分13分)分组频数频率(80,90]30.03(90,100]70.07(100,110]0.10(110,120]20(120,130]350.35(130,140]200.20(140,150]50.05合计1.00某渔池年初放养一批鱼苗,为了解这批鱼苗的生长、健康状况,一个月后,从该渔池中随机捞出条鱼称其重量(单位:克),并将所得数据进行分组,得到如右频率分布表.(Ⅰ)求频率分布表中的,,的值;(Ⅱ)从捞出的重量不超过克的鱼中,随机抽取条作病理检测,记这条鱼中,重量不超过克的鱼的条数为,求的分布列和数学期望.17.(本小题满分13分)已知数列满足:,且.(Ⅰ)求证:数列是等差数列;(Ⅱ)求数列的前项和.18.(本小题满分13分)如图(1)所示,直角梯形中,,,,.过作于,是线段上的一个动点.将沿向上折起,使平面平面.连结,,(如图(2)).(Ⅰ)取线段的中点,问:是否存在点,使得平面?若存在,求出的长;不存在,说明理由;ABECDADCBEPQP•(Ⅱ)当时,求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.-15-图(2)图(1)19.(本小题满分13分)ABCDl某供货商拟从码头发货至其对岸的两个商场,处,通常货物先由处船运至之间的中转站,再利用车辆转运.如图,码头与两商场,的距离相等,两商场间的距离为千米,且.若一批货物从码头至处的运费为100元/千米,这批货到后需分别发车2辆、4辆转运至、处,每辆汽车运费为25元/千米.设该批货总运费为元.(Ⅰ)写出关于的函数关系式,并指出的取值范围;(Ⅱ)当为何值时,总运费最小?并求出的最小值.20.(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)若,求函数的极值;(Ⅱ)若在有唯一的零点,求的取值范围;(Ⅲ)若,设,求证:在内有唯一的零点,且对(Ⅱ)中的,满足.21.(本小题满分14分)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题做答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)选修4-2:矩阵与变换(本小题满分7分)已知二阶矩阵A有特征值,,其对应的一个特征向量分别为,.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)求圆在矩阵A所对应的线性变换作用下得到曲线的方程.-15-(2)选修4-4参数方程与极坐标(本小题满分7分)已知倾斜角为,过点的直线与曲线C:是参数相交于,两点.(Ⅰ)写出直线的参数方程和曲线C的普通方程;(Ⅱ)求的值.(3)选修4-5:不等式选讲(本小题满分7分)在空间直角坐标系中,坐标原点为,点坐标为.(Ⅰ)若点在轴上,且坐标满足,求点到原点的距离的最小值;(Ⅱ)若点到坐标原点的距离为,求的最大值.2022年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学(理科)试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分50分.1.D2.B3.C4.A5.D6.C7.A8.B9.C10.B二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分20分.11.12.13.14.15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.-15-16.本小题主要考察概率统计的基础知识,考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识,考查或然与必然的思想,满分13分.解:(Ⅰ)依题意,,………………………………………1分∴.………………………………………………2分∴,…………………………………………3分.……………………………………………4分(Ⅱ)依题意,的所有可能取值为0,1,2,3,…………5分,,,,…………9分(说明:以上4个式子,每个1分)故的分布列为0123P…………11分所以的数学期望…………12分..…………………………………13分17.本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想.满分13分.解法一:(Ⅰ)令,………………………………………………1分则…………………………………………2分………………………………3分………………………………………4分∴数列为公差为的等差数列.即数列是公差为的等差数列.……………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列为公差为的等差数列,,-15-∴……………………………………………6分∴.…………………………………………………………7分∴,……………①…………………8分∴,……………②……………………9分①-②得,……………………10分∴……………………………………12分.………………………………………13分解法二:(Ⅰ)∵,∴,……………………………………3分∴,…………………………………4分∴数列是公差为的等差数列.……………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知:数列是公差为的等差数列,∴,∴.……………………7分以下同法一18.本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.满分13分.解:(Ⅰ)存在.当为的中点时,满足平面.………1分取的中点,连结,.ADCBEPMQ由为的中点,得,且,……2分-15-又,且,所以,,所以四边形为平行四边形,……………………3分故.……………………………………………4分又平面,平面,所以平面.………………………………5分QxyzADCBEP从而存在点,使得平面,此时.………………6分(Ⅱ)由平面平面,交线为,且,所以平面,又,………………………………7分以E为原点,分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),则,,,,.…………………………………………………………8分,.…………………………………9分平面的一个法向量为,……………………10分设平面的法向量为,由得………………………………………11分取,得,……………………………………………12分所以,即面和平面所成的锐二面角的余弦值为.……………13分19.本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力和运算求解能力,考查应用意识,考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分13分.-15-解法一:(Ⅰ)依题意,在中,,∴.………………………………………………………1分又∵在中,,,由,得………………………………2分由,得,…………3分∴.…………………………………4分∴………………………5分………………………6分其中的取值范围是.…………………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ),…………………………8分令,∴,……………9分由得:,又∵,∴.…………………………………………………………10分当时,,-15-当时,,…………………………………11分∴.…………………………………12分∴(元),∴当时,运输费用S的最小值为元.……………13分20.本题考查函数与导数等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能力,满分14分.解法一:(Ⅰ)当时,,,.…………………1分由,令,得.当变化时,,的变化如下表:0极小值故函数在单调递减,在单调递增,…………………3分有极小值,无极大值.………………………………4分(Ⅱ),令,得,设.则在有唯一的零点等价于在有唯一的零点当时,方程的解为,满足题意;…………………………5分当时,由函数图象的对称轴,函数在上单调递增,且,,所以满足题意;……………………6分-15-当,时,,此时方程的解为,不符合题意;当,时,由,只需,得.……………7分综上,.…………………8分(说明:未讨论扣1分)(Ⅲ)设,则,,…………………9分,由,故由(Ⅱ)可知,方程在内有唯一的解,且当时,,单调递减;时,,单调递增.…………………11分又,所以.…………………12分取,则,从而当时,必存在唯一的零点,且,即,得,且,从而函数在内有唯一的零点,满足.……14分解法二:(Ⅰ)同解法一;………………4分(Ⅱ),令,由,得.………5分-15-设,则,,………6分问题转化为直线与函数的图象在恰有一个交点问题.又当时,单调递增,………7分故直线与函数的图象恰有一个交点,当且仅当.……8分(Ⅲ)同解法一.(说明:第(Ⅲ)问判断零点存在时,利用时,进行证明,扣1分)21.(1)本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,满分7分.解:(Ⅰ)设矩阵,依题意,得…………………1分∴………………………………2分解得…………………………3分∴.…………………4分(Ⅱ)设圆C上任意一点在矩阵对应的变换作用下的像是,∴…………………5分解得…………………6分又∵,-15-∴,∴曲线C′的方程为.…………………7分(2)本题主要考查直线和圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想和化归与转化思想,满分7分.(Ⅰ)依题意,得直线的参数方程为(为参数)………1分即(为参数)…①…………………………………………2分∵曲线C的参数方程为∴曲线C的普通方程为.………②………………4分(Ⅱ)把①代入②得,∴,………………5分∴,,…………………6分∴.………………………………7分(3)本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,满分7分解:(Ⅰ)由点在轴上,所以,又坐标满足,所以,………………2分解得,…………………………………………………3分所以点到原点的距离的最小值为1..…………………4分(Ⅱ)由点到坐标原点的距离为,故,…………………………………………5分-15-由柯西不等式,得,………6分即,所以的最大值为6,当且仅当时取最大.…………7分-15-
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发布时间:2022-08-25 21:09:26
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