福建省莆田市2022届高三数学上学期期中试题理

2022-218学年上学期期中质量检测试卷高三数学（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（∁UN）等于（　　）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2}或x≥3}C．{x|x≥32}D．{x|﹣2≤x＜3}2.函数在上的单调递减区间是（）A.B.C.D.和3.设为等比数列的前n项和且，则A=_________A.B.C.-3D.34．已知“命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）”是“命题q：x2+3x﹣4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（　　）A．m＞1或m＜﹣7B．m≥1或m≤﹣7C．﹣7＜m＜1D．﹣7≤m≤15．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（　　）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）6．“”是函数“的最小正周期为”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.等差数列的前项和分别为，且，则使得为整数的正整数的个数是(　　)-12-\nA.B.C.D.8．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（　　）A．1B．2C．3D．49．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（　　）A．B．﹣C．+3D．﹣+310．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）A．（0，]B．[，]C．[，)∪{}D．[，]∪{}11．已知，若的任意一条对称轴与轴的交点横坐标都不属于区间，则的取值范围是（）A.B.C.D.12．已知为定义在上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．数列{an}的通项，其前n项和为Sn，则S30=　　．14.已知，则=____________-12-\n15.的三个内角所对的边,且，则面积的最大值为.16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=称为狄利克雷函数，关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的序号为　　．（写出所有正确命题的序号）　三、解答题（共6小题，满分70分）17．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3=7，且a1，a2，a3﹣1成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log4a2n+1，n=1，2，3…，求和：．18．如图，已知平面上直线l1∥l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一定点，C到l1的距离CM=1，C到l2的距离CN=，△ABC内角A、B、C所对边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA（1）判断三角形△ABC的形状；（2）记∠ACM=θ，f（θ）=，求f（θ）的最大值．-12-\n19．已知函数f（x）=2；（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，若=4，求a的最小值．20．（本小题满分12分）已知数列，，且满足．（1）令，证明数列是等差数列，并求其通项公式；（2）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲设.（Ⅰ）若的解集为，求实数的值；-12-\n（Ⅱ）当时，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.莆田第二十五中学2022--2022学年上学期期中质量检测试卷考场座位号：高三数学（理科）一、选择题（12×5=60）题号123456789101112答案二、填空题（4×5=20分）13.14.15.16.三、解答题（70分）17.-12-\n18.19.-12-\n20.-12-\n21.22.-12-\n高三理科数学期中考参考答案一、选择题123456789101112BADBCACCDDCB二、填空题（13）15；（14）;（15）;（16）①②③④．三、解答题（共6小题，满分70分）17.解：（1）由已知得：，解得a2=2．设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=，a3=2q，又S3=7，可知+2+2q=7，即2q2﹣5q+2=0，解得q=2，或q=．由题意得q＞1，∴q=2，a1=1，故数列{an}的通项公式为an=2n﹣1．（2）由（1）得a2n+1=22n=4n，由于bn=log4a2n+1，∴bn=log44n=n．=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣．18.解：（1）由正弦定理可得：结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A∵a＞b，∴A＞B∵A，B∈（0，π），∴2B+2A=π，∴A+B=，即C=∴△ABC是直角三角形；（2）记∠ACM=θ，由（1）得∠BCN=∴AC=，BC=∴f（θ）==cosθ+=cos（θ﹣），-12-\n∴θ=时，f（θ）的最大值为．19.解：（1）因此，最小正周期为T=π…，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）…（2）由题知：=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∴bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为2…20.解：（1）由题意可得，，两边同除以，得，又，，又，………………3分数列是首项为，公差为的等差数列．…………4分，．………………5分（2）设数列的公比为，因为，，整理得：，，又，，，…………7分…………①…………②…………9分①—②得：-12-\n．……………………12分21.解：（Ⅰ）g′（x）=2x，F（x）=tf（x）=tlnx，F′（x）=tf′（x）=，∵F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，∴k=F′（1）=g′（1），即t=2，（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣1=，则h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）的最大值为h（1）=﹣1，∴|h（x）|的最大值是1，设G（x）==+，G′（x）=，故G（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，故G（x）max=+＜1，∴；（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的都成立，令H（x）=mlnx﹣x，是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．22.解：(Ⅰ)显然，…………………1分当时，解集为，，无解；……………………3分当时，解集为，令，，-12-\n综上所述，.……………………5分(Ⅱ)当时，令………………7分由此可知，在单调减，在单调增，在单调增，则当时，取到最小值，………………8分由题意知，，则实数的取值范围是……………10分-12-