福建省莆田市2022届高三数学上学期期中试题文

2022-2022学年上学期期中质量检测试卷高三年（文科）数学一、单选题（每题5分；共60分）1.已知集合，，则（ ）A、B、C、D、2.若,则( )A.B.C.D.3.若复数（）是纯虚数，则实数的值为（  ）A、-3B、3C、﹣1或3D、1或﹣34.已知命题p：若，则关于的方程有实根，q是p的逆命题，下面结论正确的是（  ）A、p真q真B、p假q真C、p真q假D、p假q假5.若，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．6.已知非零向量,满足：，，则实数λ的值为（ ）A、1B、C、2D、﹣27.函数，若，则实数的范围为（）A.B.C.D.8、函数的部分图象大致为（　　）-15-\nA、B、C、D、9、已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（  ）A、B、C、D、10、设平行四边形ABCD，.若点M、N满足，则A.20B.15C.36D.611、已知函数是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递增D．在上单调递减12、已知函数是定义在上的奇函数，且当时，；当时，，则方程（其中是自然对数的底数，且）在[-9,9]上的解的个数为(　　)A.9B.8C.7D.6-15-\n二、填空题（共4题；共20分）13、函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.14、已知e为自然对数的底数，则曲线在点（1，2e）处的切线斜率为________．15、已知，θ∈（π，2π），则=________．16、首项为正数的等差数列中，，当其前n项和Sn取最大值时，n的值为______三、解答题（6题，共70分）17、设数列的前n项和为Sn，且(I)求数列的通项公式;(II)设，求数列的前n项和Tn18、如图，在四棱锥，，，是的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：平面平.-15-\n19、（12分）已知函数，当时，的最小值为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在△ABC中，已知，AC=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．20、（12分）已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和．21、（12分）设函数．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意，恒有成立，求实数m的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。22（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点，求的值．23（10分）选修4-5：不等式选讲-15-\n已知．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有解，求a的取值范围．莆田第二十五中学2022-2022学年上学期期中质量检测试卷考场座位号：高三数学答题卷（文科）一、选择题（5×12=60）题号123456789101112答案二、填空题（4×5=20）13、14、15、16、三、解答题（12×5+10=70分）17、-15-\n18、19、-15-\n20、21、-15-\n22、-15-\n答案解析部分一、单选题1、C解：∵集合A={x|y=lg（x﹣3）}={x|x＞3}，B={x|x≤5}，∴A∩B={x|3＜x≤5}．2、A解：sin（﹣）=sin（﹣4π+）=sin=sin=，3、B解：复数z=（a2﹣2a﹣3）+（a2﹣1）i，（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，可得a2﹣2a﹣3=0并且a2﹣1≠0，解得a=3．4、C解：P：当m＞0时，△=1+4m≥0，解得，此时方程x2-x﹣m=0有实根，故p为真命题，q：p的逆命题：若x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m≥﹣，q为假命题．5、B解：∵正数x，y满足．则3x+4y=（3x+4y）=13+≥13+2=25，当且仅当x=2y=5时取等号．∴3x+4y的最小值为25．6、D解：由平方得=﹣=﹣．又由得，即,化简得4+2λ﹣（2+λ）=0，解得λ=﹣2．7、C解：画出不等式组件，表示的可行域，由图可知，当直线y=x﹣-15-\n，过A点（3，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为3﹣2×1=1．8、D解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．故选：D．9、B解：由题意可得：f′（x）=3x2﹣6x．令f′（x）＞0，则x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，则0＜x＜2，所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），减区间为（0，2），所以当x=0时函数有极大值f（0）=﹣k，当x=2时函数有极小值f（2）=﹣4﹣k．因为函数f（x）存在三个不同的零点，所以f（0）＞0并且f（2）＜0，解得：﹣4＜k＜0．所以实数a的取值范围是（﹣4，0）．10.C由图像可知在单调递增，画出不等式组表示的平面区域（如图阴影部分，不包括边界）．而表示可行域内的点与连线的斜率．如图，的取值范围是11、D解：∵ =（++），∴3=++；取AB的中点D，则+=2，∵3=++，∴2+=3，∴2（﹣）=﹣，即2=；同理，取BC中点E，可得2=，∴G为重心．-15-\n  12、B解：∵奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，∴奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）=0，不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价于x﹣1＞0，f（x﹣1）＞0或x﹣1＜0，f（x﹣1）＜0即或∴1＜x＜3或﹣1＜x＜1∴不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（﹣1，1）∪（1，3）二、填空题13、【答案】∀x∈R，ex≥014、2e解：曲线y=2ex的导数为：y′=2ex，曲线y=2ex在点（1，2e）处的切线斜率为：y′|x=1=2e1=2e，故答案为：2e．15、解：∵cosθ=﹣，θ∈（π，2π），∴θ为第三象限角，∴sinθ=﹣=﹣，∴∈（，），∴sin+cos＞0．再根据=1+sinθ=，可得sin+cos=，16、8解：由于5n的个位数字均为5，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，则3n的个位数字以3，9，7，1循环经行，其个位数字分别加上5后的个位数字为8，4，2，6循环进行，因为2022=504×4+1，故32022+52022的末位数字和31+51的个位数字相同，即为8．故答案为：817.解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=﹣=n，∴数列{an}的通项公式是an=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n+（﹣1）nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）=+n=22n+1+n﹣2．∴数列{bn}的前2n项和为22n+1+n﹣2-15-\n18.解：（Ⅰ）△ABC中，∵，∴sinAcosB+sinBsinA=sinC，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB∴sinAcosB+sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB整理得sinA=cosA，即tanA=，∴A=．（Ⅱ）AB•AC•cosA=|•|=3，∴bc•=3，即bc=2，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+c2﹣2•2•，∴b2+c2=1+6=7，∴b+c===2+19.解：解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）+m=4cosx（sinxcos+cosxsin）+m=sin2x+2cos2x+m=sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+）+m+1．∵x∈[0，]，2x+∈[，]，可得：2sin（2x+）min=﹣1，∴f（x）=﹣1=﹣1+m+1，解得：m=﹣1．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：f（x）=2sin（2x+），∴2sin（2C+）=1，∵C∈（0，π），可得：2C+∈（，），∴2C+=，解得：C=，如图，设BD=BC=x，则AB=5﹣x，∵在△ACB中，由余弦定理可得：cosC==，解得x=，∴cosA==，可得：sinA==，∴S△ACD=AC•AD•sinA==．20.解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项-15-\n∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{an}单调递增∴an=2n（II）∵an=2n∴∴21.解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞） 当a=1时，f（x）=x﹣lnx，则f′（x）=令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；（Ⅱ）f′（x）=当，即a=2时，，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当，即a＞2时，令f′（x）＜0，得或x＞1；令f′（x）＞0，得当，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞；令f′（x）＞0，得综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；当a＞2时，f（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增；当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值-15-\n∴∴对任意a∈（3，4），恒有∴m＞构造函数，则∵a∈（3，4），∴∴函数在（3，4）上单调增∴g（a）∈（0，）∴m≥．22.解：（I）曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，即ρ2sin2θ=ρcosθ，化为直角坐标方程：y2=x．将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1：y2=2（x﹣1）．（II）直线l的极坐标方程为，展开可得：ρ（cosθ+sinθ）﹣2=0，可得直角坐标方程：x+y﹣2=0．可得参数方程：（t为参数）．代入曲线C1的直角坐标方程可得：t2+2t﹣4=0．解得t1+t2=﹣2，t1•t2=﹣4．．∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|===．23.解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|+|x﹣1|＜4⇔或或，解得：﹣2＜x≤﹣1或﹣1＜x≤1或1＜x＜2，故不等式的解集为（﹣2，2）；（Ⅱ）∵f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，∴f（x）min=2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号，-15-\n而不等式f（x）﹣|a﹣1|＜0有解⇔|a﹣1|＞f（x）min=2，又|a﹣1|＞2⇔a﹣1＜﹣2或a﹣1＞2故a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）-15-