贵州省遵义市2022学年度第一学期期末统考高二文科数学试卷

贵州省遵义市2022-2022学年度第一学期期末统考高二文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.将圆2221ݕ平分的直线是A.1ݕ.Dݕ1.Cݕ.Bݕ【答案】C【解析】解：将圆的方程化为标准方程得：1222，可得出圆心坐标为12，将1，2代入A选项得：11212ݕ，故圆心不在此直线上；将1，2代入B选项得：12ݕ，故圆心不在此直线上；将1，2代入C选项得：1121ݕ，故圆心在此直线上；将1，2代入D选项得：122ݕ，故圆心不在此直线上，则直线1ݕ将圆平分．故选：C．将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆2221ݕ平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．2.设命题p：，21䁕ݕ，则￢为，21䁕ݕ12，.BݕA.ݕݕݕݕC.，21䁕ݕ12，.Dݕݕݕ【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：，21䁕ݕ，则￢为：，21ݕ．ݕݕ故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．.下列四个结论：两条直线和同一个平面垂直，则这两条直线平行；两条直线没有公共点，则这两条直线平行；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；一条直线和一个平面内任意直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为1/12\nA.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：两条直线都和同一个平面垂直，则这两条直线平行，根据线面垂直的性质，可得正确；两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故错误；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，故错误；一条直线和一个平面内任意直线直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行，故正确．故选：C．在中，根据线面垂直的性质，可得正确；在没有公共点的两条直线平行或异面；在中，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面；根据线面平行的定义可以判断．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．.若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为A.B.C.D.21【答案】B【解析】解：设扇形的圆心角为，则扇形的面积为、半径为1，121，2，故选：B．利用扇形的面积公式，即可求得结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．25.过点22且与双曲线21有相同渐近线的双曲线的方程是222222222A.1B.1C.1D.12222【答案】B2【解析】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是2，2点22在双曲线方程上，22所以22，2，222故所求的双曲线方程是1，2\n故选：B．2设所求的双曲线方程是2，由点22在双曲线方程上，求出k值，即得所2求的双曲线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线2方程相同设所求的双曲线方程是2，属于基础题．2.一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于A.B.C.5D.【答案】B【解析】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是225，剩余部分的表面积225，故选：B．根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．.已知点111，222，是抛物线2䁕ݕ上的三点，其中1䁕2䁕，则log11，log12，log1大小关系为222A.䁕䁕B.䁕䁕C.䁕䁕D.䁕䁕【答案】A【解析】解：点111，222，是抛物线2䁕ݕ上的三点，其中1䁕2䁕，1䁕2䁕．/12\nlog1在ݕ上是减函数，log11，log12，log1，2222故有䁕䁕，故选：A．由题意利用对数函数的单调性可得1䁕2䁕，从而得出䁕䁕．本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题．.设x，，1，，且，则点ݕ到点的最短距离是121A.2B.3C.D.55【答案】D【解析】解：，ݕ即，ݕ，．2521点ݕ到点的距离为22112512251．5255故选：D．根据ݕ得出x，y的关系，代入两点间的距离公式，配方得出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，两点间的距离公式，属于中档题．.入射光线l从21出发，经x轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为1A.ݕB.5C.25D.252【答案】D【解析】解：由题意利用反射定律可得，点Q关于x轴的对称点̵在入射光线所在的直线上，11故入射光线l所在直线̵的方程为：，化简可得25，22故选：D．求得点Q关于x轴的对称点的坐标，再用两点式求得入射光线所在的直线的方程．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于中档题．1ݕ.“，2为等比数列”的12”是“数列A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B2【解析】解：若ݕ，则满足12，但数列不是等比数列，即充分性不成立，\n反之若数列为等比数列，则，2，成立，即必要性不成立，12即“，2为等比数列”的必要不充分条件，12”是“数列故选：B．根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质是解决本题的关键．11.已知三棱柱1.111.1的侧棱与底面边长都相等，1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与..1所成的角的余弦值为5A.B.C.D.【答案】D【解析】解：设BC的中点为D，连接1D、AD、11，易知11即为异面直线AB与..1所成的角；12并设三棱柱1.111.1的侧棱与底面边长为1，则，12，11，22111由余弦定理，得cos2．2故选：D．首先找到异面直线AB与..1所成的角如11；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出11的长度即可；不妨设三棱柱1.111.1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．12.已知抛物线C：2的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2㈱，则㈱的面积为A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】解：抛物线C：2的焦点为㈱2ݕ，准线为22ݕ设ݕ21则，AB线垂作线准向点A过，ݕݕ2㈱，又㈱1ݕ2ݕ2由12212得222，即22，解ݕݕݕݕ得211㈱的面积为㈱ݕ22故选：B．5/12\n根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设ݕݕ，过A点向准线作垂线AB，则12ݕ2ݕ1㈱及㈱2据根，ݕ2，进而可求得A点坐标，进而求得㈱的面积．本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在1中集中条件求出ݕ是关键；二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）21.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为______．22【答案】【解析】解：圆锥侧面展开图是一个圆心角为12ݕ半径为3的扇形2圆锥的母线长为，底面周长即扇形的弧长为2，底面圆的半径1，可得底面圆的面积为2又圆锥的高22122122故圆锥的体积为22，22故答案为：．2由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为，半径为3的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，求出底面圆的面积，再由22求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．本题考查弧长公式及旋转体的体积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．1.直线l垂直于1ݕ222：C圆分平且，ݕ，则直线l的方程为______．【答案】1ݕݕ【解析】解：根据题意，直线l垂直于1ݕ为程方的l线直设，ݕ，圆C：222ݕ的圆心C为12，若直线l平分圆C：222ݕ，则直线l经过圆心C，则有12ݕ1得可解，ݕ；则直线l的方程为1ݕݕ；故答案为：1ݕݕ．根据题意，设直线l的方程为ݕ，分析圆C的圆心，分析可得直线l经过圆心C，则有12ݕ，解可得m的值，将m的值代入直线l的方程，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意直线平分圆的含义，属于基础题．\n15.已知1.的三个顶点在以O为球心的球面上，且122，1.1，.，三棱锥1.的体积为，则球O的表面积为______．【答案】12【解析】解：1.中122，1.1，.，由勾股定理可知斜边AC的中点̵就是1.的外接圆的圆心，三棱锥1.的体积为，11221̵，2̵2，球O的表面积为212．故答案为：12．确定斜边AC的中点̵就是1.的外接圆的圆心，利用三棱锥1.的体积，求出O到底面的距离，求出球的半径，然后求出球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．221.椭圆C：1䁕䁕ݕ的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q22两点，若，，则椭圆C的离心率为______．25【答案】5【解析】解：不妨设点P在第一象限，由对称性可得，221，在中，cos，2ݕ，，22代入椭圆方程得：1，1212252522，整理得25，25离心率．525故答案为：．5设点P在第一象限，由对称性可得，推导出ݕ，，由22此能求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．/12\n三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）1.已知命题p：，2ݕ，命题q：点12在圆221的内部．1若命题p为真命题，求实数m的取值范围；2若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：1命题p为真命题，：，2ݕ恒成立，11ݕ，解得．1所以实数m的取值范围是．2命题“p或q”为假命题，与q都为假命题，当q为真命题时，1222䁕1，解得1䁕䁕2，为假命题时1或2，1由1知，p为假命题时：䁕．1䁕1从而，解得䁕1或2．2或11所以实数m的取值范围为12．【解析】1命题p为真命题，由，2ݕ得可，立成恒ݕ，解得实数m的取值范围．2由命题“p或q”为假命题，可得p与q都为假命题，进而得出实数m的取值范围．本题考查了不等式的性质与解法、充要条件的判定方法、点与圆的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．1.如图，在直四棱柱1.111.11中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段1，BD的中点．1求证：㈱//平面1.11；2四棱柱1.111.11的外接球的表面积为1，求异面直线EF与BC所成的角的大小．【答案】解：1连接11，在11中，E、F分别为线段1、BD的中点，㈱为中位线，㈱//11，11面1.11，㈱面1.11，㈱//平面1.11；2由1知㈱//11，故11.即为异面直线EF与BC所成的角，\n四棱柱1.111.11的外接球的表面积为1，四棱柱1.111.11的外接球的半径2，12设1，则2，解得22，2在直四棱柱1.111.11中，1.平面.1.1，.1平面.1.1，1..1，在..11中，1.2，.12，1.1.，1.tan11.，则11.ݕ，1.异面直线EF与BC所成的角为ݕ．【解析】1连接11，由中位线定理证明㈱//11，由线面平行的判定定理证明㈱//平面1.11；2由1和异面直线所成角的定义，得异面直线EF与BC所成的角是11.，由题意和球的表面积公式求出外接球的半径，由勾股定理求出侧棱1的长，由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义，判断出1..1，在..11中求出tan11.，求出11.可得答案．本题考查了异面直线所成角的定义以及求法，线面平行的判定定理，球的表面积公式，以及直四棱柱的结构特征，属于中档题．1.已知圆C的圆心在直线21ݕ1，2点过经C圆且，上ݕ2．1求圆的标准方程；2直线l过点11且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程．【答案】解：1设圆心为M，则M应在AB的中垂线上，其方程为2，22由21ݕ，即圆心M坐标为2又半径ȁ5，故圆的方程为2225．2点11在圆内，且弦长为䁕25，故应有两条直线符合题意，此时圆心到直线距离51．当直线的斜率不存在时，直线的方程为1，此时圆心到直线距离为1，符合题意．当直线的斜率存在时，设其斜率为k，直线方程为1121整理为1ݕ，则圆心到直线距离为121解得，直线方程为1ݕ综上，所求直线方程为1或1ݕ．【解析】1根据题意，设圆心为M，分析可得圆心再直线2和21ݕ上，解可得圆心的坐标，进而可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案；2根据题意，求出圆心到直线的距离，分2种情况讨论：当直线的斜率不存在时，直线的方程为1，当直线的斜率存在时，设其斜率为k，直线方程为11，由直线与圆的方程可得k的值，综合2种情况即可得答案．/12\n本题考查直线与圆的方程以及应用，关键是求出圆M的方程，属于基础题．2ݕ.已知，动点P在抛物线22上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，动点Q满1足：．21求动点Q的轨迹E的方程；2过点5且斜率为k的直线交轨迹E于A，B两点，M点的坐标为，设直线MA，MB的斜率分别为1和2，求12的值．1【答案】解：1设点，由，则点2，2将点2代入22得2．动点Q的轨迹E的方程为2．2设过点N的直线方程为5，11，122.5联立2，得212ݕݕ，则12，1212ݕ．121，2，1211212122121211112．12121212【解析】1设，则2，代入22得出轨迹方程；2联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式计算12化简即可．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率，属于中档题．21.如图1所示，在直角梯形ABCD中，1//.，.ݕ，.1，，1，.12.将.沿AC折起，使得点D在平面ABC的正投影O恰好落在AC边上，得到几何体1.，如图2所示．1求证：平面BCD；2求点C到平面ABD的距离．【答案】证明：1据题意得：平面ABC，1.因为.2，.12，1，满\n足.2.1212，所以.1.又.，所以1.平面ADC，得1.，分又.，1...，平面1.分2设点C到平面ABD的距离为d，.1由1知：DO是三棱锥1.的高，且，1..1.2，.2211，11221，11，22由.11.，得11.，2所以点C到平面ABD的距离：12分1【解析】1推导出平面ABC，从而1.，推导出.1.，从而1.平面ADC，1.，再由.，能证明平面BCD．2设点C到平面ABD的距离为d，由.11.，能求出点C到平面ABD的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．2222.给定椭圆C：221䁕䁕ݕ，称圆心在原点O，半径为22的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为㈱2ݕ，其短轴上的一个端点到F的距离为．1求椭圆C的方程和其“准圆”方程．2点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线1，2，使得1，2与椭圆C都只有一个交点.求证：12．【答案】解：1因为2，所以12所以椭圆的方程为21，准圆的方程为22．2当1，2中有一条无斜率时，不妨设1无斜率，因为1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当1方程为时，此时1与准圆交于点11，此时经过点1或1且与椭圆只有一个公共点的直线是1或1，即2为1或1，显然直线1，2垂直；同理可证1方程为时，直线1，2垂直．，都有斜率时，设点，其中22，当12ݕݕݕݕ设经过点ݕݕ为线直的点共公个一有只圆椭与，ݕݕ，ݕݕ则2，消去y得到2ݕ2ݕݕ，21即122ݕݕ，ݕ2ݕݕݕݕ212ݕ2ݕݕ，11/12\n经过化简得到：22212ݕ，因为22，所以有22ݕݕݕݕݕݕݕ22ݕ，ݕݕݕ设1，2的斜率分别为1，2，因为1，2与椭圆都只有一个公共点，所以，满足上述方程2222ݕ，12ݕݕݕݕ所以121，即1，2垂直．【解析】1欲求椭圆C的方程和其“准圆”方程，只要求出半径22即可，即分别求出椭圆方程中的a，b即得，这由题意不难求得；2先分两种情况讨论：当1，2中有一条无斜率时；.当1，2都有斜率时，第一种情形比较简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为ݕݕ，代入椭圆方程，消去去y得到一个关于x的二次方程，根据根的判别式等于0得到一个方程：2222ݕ，而直线，的斜率正好是这个方程的ݕݕݕݕ12两个根，从而证得12．本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．