辽宁省大连市2022届高三数学第四次模拟考试试题 文 新人教A版

大连2022届高三第四次模拟考试数学文科考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集U＝R，集合A＝{x｜x2－3x－10＜0}B＝{x｜x＞3}，则右图中阴影部分表示的集合为()北京四中网校A．(3，5)B．(－2，＋∞)C．(－2，5)D．(5，＋∞)2．已知复数，则它的共轭复数等于()A．2－iB．2＋iC．－2＋iD．－2－i3．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，nα，则m∥nB．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m∥α，mβ，α∩β＝n，则m∥n4．下列所给的有关命题中，说法错误的命题是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题P∶x∈R，x2＋x＋1＜0，则p∶x∈Rx2＋x＋1≥05．已知函数f(x)＝log2x(x＞0)的反函数为g(x)，且有g(a)g(b)＝8，若a＞0且b＞0，则的最小值为()A．9B．6C．3D．26．函数f(x)＝ex＋lnx，g(x)＝e－x＋lnx，h(x)＝e－x－lnx的零点分别是a，b，c则AA．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c7．下列命题正确的是()A．函数在内单调递增B．函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期为2πC．函数图象关于点对称D．函数图象关于直线对称8．在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率()10A．B．C．D．第9题图9．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的侧面积和体积分别是()A．B．C．D．10．已知三点A(a，0)、B(0，b)，C(4，1)共线，其中a·b＞0，则a＋b的最小值()A．8B．C．9D．11．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且＝(n∈N*)，则a2022的值为()A．4016B．4017C．4018D．401912．已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1，2)C．D．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卷相应位置上。13．为了在运行下面的程序之后得到输出y＝25，键盘输入x应该是______InputxIfx＜0Theny＝(x＋1)*(x＋1)Elsey＝(x－1)*(x－1)EndPrintyEnd14．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径10．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R＝______15．某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克／毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克／毫升。此驾驶员至少要过______小时后才能开车。(精确到1小时)16．已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A，B，点O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是______．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．(本小题共12分)已知(1)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值：(2)若函数y＝f(2x)－a在区间上恰有两上零点x1，x2，求tan(x1＋x2)的值．18．(本小题共12分)某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师1女生4男生2(Ⅰ)请完成此统计表；(Ⅱ)试估计高三年级学生“同意”的人数：(Ⅲ)从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意的概率．”1019．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1(3)求三棱锥C1－CDB1的体积。20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋a2(a＞0)的单调递减区间是(1，2)且满足f(0)＝1，(1)求f(x)的解析式；(2)对任意m∈(0，2]，关于x的不等式－mlnm－mt＋3在x∈[2，＋∞)上有解，求实数t的取值范围。21．(本小题满分12分)已知椭圆(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x－y＋b＝0是抛物线y2＝4x的一条切线。(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点的动直线L交椭圆C于A、B10两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．(本小题满分10分)选修4—1几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。(Ⅰ)求证：DE是⊙O的切线；(Ⅱ)若，求的值．23．(本小题满分10分)选修4—4极坐标与参数方程已知某圆的极坐标方程为：．(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．24．(本小题满分10分)选修4—5不等式选讲10对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式｜a＋b｜＋｜a－b｜≥M·｜a｜恒成立，记实数M的最大值是m(1)求m的值；(2)解不等式｜x－1｜＋｜x－2｜≤m．数学文科参考答案一、选择题1—12BBDCCACACCDB二、填空题13．－6或614．15．416．三、解答题17．(本题满分12分)解(1)…………2分…………4分∴f(x)的最大值为2，此时，即……6分(2)令设t1，t2是函数y＝2sint－a的两个相应零点(即)……8分由y＝2sint图象性质知t1＋t2＝π，即…………10分…………12分18．(本题满分12分)解：(Ⅰ)被调查人答卷情况统计表：同意不同意合计教师112女生246男生32510…………3分(Ⅱ)×126＋×105＝42＋63＝105(人)…………6分(Ⅲ)设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人总的基本事件Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}共包含15个基本事件；设A为事件“选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意””A＝{(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)}，包含8个基本事件，．…………12分19．(本题满分12分)解：(1)直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面ABC，AC平面ABC，∴AC⊥CC1，又BC∩CC1＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，∴AC⊥BC1…………5分(2)设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是C1B的中点，∴DE＝AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1■平面CDB1.．………9分(3)………12分20．(本题满分12分)解：(1)由已知，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋a2的单调递减区间是(1，2)，∴f′(x)＜0的解是1＜x＜2．所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两个根分别是1和2，且a＞0，由f(0)＝a2＝1，且a＞0，可得a＝1．………2分又得………4分(2)由(1)，得f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)∵当x＞2时，f′(x)＞0，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增，x∈[2，＋∞)时，f(x)min＝f(2)＝3………6分要使在x∈[2，＋∞)上有解，需 10对任意m∈(0，2]恒成立，即对任意m∈(0，2]恒成立。………9分设，m∈(0，2]，则t＜h(m)min，令h′(m)＝0得m＝1或m＝－1由m∈(0，2]，列表如下：m(0，1)1(1，2)2h′(m)－0＋h(m)↘极小值↗∴当m＝1时，h(m)min＝h(m)极小值……………12分21．(本题满分12分)解：(Ⅰ)由消去y得：x2＋(2b－4)x＋b2＝0因直线y＝x＋b与抛物线y2＝4x相切，∴＝(2b－4)2－4b2＝0，∴b＝1………2分∵椭圆(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴，故所求椭圆方程为．………4分(Ⅱ)当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x2＋y2＝1由解得即两圆相切于点(0，1)因此，所求的点T如果存在，只能是(0，1)………6分事实上，点T(0，1)就是所求的点。证明如下：当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(0，1)；若直线L不垂直于x轴，可设直线L：；由消去y得：(18k2＋9)x2－12kx－16＝0，记点A(x1，y1)、B(x2，10y2)，则………9分又因为＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)所以＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(0，1)………11分所以在坐标平面上存在一个定点T(0，1)满足条件。………12分22．(本题满分12分)(1)证明：连结OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC…………2分∴OD∥AE又AE⊥DE∴OE⊥OD，又OD为半径∴DE是的⊙O切线…………5分(2)解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH＝∠CAB………………7分设OD＝5x，则AB＝10x，OH＝2x，∴AH＝7x由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x又由△AEF∽△DOF可得AF∶DF＝AE∶OD＝…………10分23．(本题满分10分)解：(1)ρ2＝x2＋y2ρcosθ＝x，ρsinθ＝y＝ρ2－4(ρcosθ＋ρsinθ)＋6＝x2＋y2－4x－4y＋6∴圆的普通方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0………5分(2)由x2＋y2－4x－4y＋6＝0(x－2)2＋(y－2)2＝2………………7分 设(α为参数)10所以x＋y的最大值6，最小值2…………………10分24．(本题满分10分)解：(1)不等式｜a＋b｜＋｜a－b｜≥M·｜a｜恒成立，即对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要M恒小于或等于的最小值。…………2分因为｜a＋b｜＋｜a－b｜≥｜(a＋b)＋(a－b)｜＝2｜a｜，所以，即的最小值是2所以M≤2m＝2…………5分(2)当x＜1时，原不等式化为－(x－1)－(x－2)≤2，解得x≥，所以x的取值范围是≤x＜1．当1≤x≤2时，原不等式化为(x－1)－(x－2)≤2，得x的取值范围是1≤x≤2．当x＞2时，原不等式化为(x－1)＋(x－2)≤2，解得x，所以x的取值范围是2