2021学年高三上学期8月省实、广雅、执信、六中四校联考试卷数学
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2021学年高三上学期8月省实、广雅、执信、六中四校联考试卷数学命题学校:广东广雅中学本试卷共22小题,满分150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答题卡前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合Axx22,B2,3,4,则AB()A.2B.2,3C.3,4D.2,3,4z2.已知z34i,则()z33333A.1iB.1iC.1iD.1i44443.函数f(x)sinxcosx具有性质()36A.最大值为2,图象关于,0对称B.最大值为2,图象关于,0对称66C.最大值为2,图象关于直线x对称D.最大值为2,图象关于直线x对称6624.一个圆柱的侧面展开图是一个面积为4的正方形,则这个圆柱的体积为()22A.B.2C.D.2135.已知sin,则cos2()545771515A.B.C.D.888822xy6.已知函数ylog(x1)1(a0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在椭圆1上,则mnamn的最小值为()A.12B.10C.9D.87.2020年新冠肺炎肆虐,全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”,医药科研工作者积极研制有效抗疫药物,中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液;“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液,甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗,则两人选取药方完全不同的概率是()4825A.B.C.D.927392222xy8.已知点Q在圆E:(x3)(y4)4上,椭圆C:1ab0的右焦点为F,点P在椭22ab圆C上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,若PQPF的最小值为256,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,过点F作圆E的切线,则切线斜率为()4715A.2B.C.D.332二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如图是2021年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m、n均为数字0~9中的一个),在去掉一个最高分和一个最低分后,则有()A.甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数B.甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数C.甲选手得分的众数与m的值无关D.甲选手得分的方差与n的值无关10.已知向量a1,sin,bcos,2,则下列命题正确的是()2A.存在,使得a//bB.当tan时,a与b垂直237C.对任意,都有abD.当ab3时,a在b方向上的投影为711.如图,点M是正方体ABCDABCD中的侧面ADDA内(包括边界)的一个动点,则下列结论正确111111的是()A.满足BMAD的点M的轨迹是一条线段1B.在线段AD上存在点M,使异面直线BM与CD所成的角是30111C.若正方体的棱长为1,三棱锥BCMD的体积最大值为13D.点M存在无数个位置满足到直线AD和直线CD的距离相等11xe1,xm12.已知函数f(x)(mR),则()2(x2),xmA.对任意的mR,函数f(x)都有零点.B.当m3时,对xx,都有xxfxfx0成立.121212C.当m0时,方程ff(x)0有4个不同的实数根.D.当m0时,方程f(x)fx0有2个不同的实数根.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.2x213.已知双曲线C:y1(m0)的一条渐近线为3xmy0,则双曲线C的实轴长为__________.mn114.已知二项式2xx的展开式的二项式系数和为64,则展开式中的有理项系数和为___________.3x1cosx15.函数f(x)的图象在点,1处的切线与直线xay10垂直,则非零实数a的值为sinx2__________.01k1k16.设正整数na2a2a2a2,其中a0,1,i0,1,2,,k,记01k1ki01910na0a1ak.若ma02a12a922且m3,则这样的正整数m有__________个,所有的这样的正整数m的和为_____________.(用数字作答)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列a是递增数列,满足a32,aa80.n435(1)求a的通项公式;n11(2)设bloga,若b为数列c的前n项积,证明1.n2nnnbcnn18.党中央,国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作,中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署,要求尽力扩大核酸检测范围,着力提升检测能力.根据统计发现,疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p0p1.现有6例疑似病例,分别对其取样、检测,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验,混合样本中只要有病毒,则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性,则需将该组中备用的样本再逐个化验;若混合样本呈阴性,则判定该组各个样本均为阴性,无需再化验.现有以下三种方案:方案一:6个样本逐个化验;方案二:6个样本混合在一起化验;方案三:6个样本均分为两组,分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期,由于检测能力不足,化验次数的期望值越小,则方案越“优”.1(1)若p,按方案一,求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率;33(2)若t1p,现将该6例疑似病例样本进行化验,当方案三比方案二更“优”时,求t的取值范围.319.如图所示,在四边形ABCD中,D2B,且AD1,CD3,cosB.3(1)若BC6,求AB的长;(2)求四边形ABCD面积的最大值.20.在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,AD//BC,BCCD,PAAD2,BC3CD3,点M,N在线段BC上,满足BM2MN1,ANMDE.(1)求证:PNMD;(2)若Q为线段PB上的一点,且PD//平面AQM,求平面QAM与平面PAN所成锐二面角的余弦值.221.已知抛物线C:y2pxp0的焦点为F,Mn,2为抛物线C上的一点,且MF2.(1)求抛物线C的标准方程;(2)过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点,点P在抛物线C上,记直线PA的斜率为k,直线PB的1斜率为k,试判断是否存在点P,使得kk2?若存在,求出点P的个数;若不存在,请说明理由.2121222.已知函数f(x)x2axlnx.2(1)若函数f(x)为增函数,求实数a的取值范围;13(2)设g(x)xf(x)x2x有两个不同零点x,x.1221(i)证明:xx;12a6(ii)若x3x0,证明:xx.21122e2021学年高三上学期8月省实、广雅、执信、六中四校联考答案数学一、选择题(本大题12小题,每小题5分,共60分.其中第1题~第10题为单项选择题,在给出的四个选项中,只有一项符合要求;第11题和第12题为多项选择题,在给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)题号123456789101112答案BDCDACABABDBDACDAC二、填空题(本大题4小题,每小题5分,共20分)13.2314.6515.-116.45,55287三、解答题(本大题6小题,共70分)3217.(1)可设等比数列a的公比为qq1,∵a32,∴aa32q80.n435q1解得:q2或q(舍去).2n4n1所以aa22.n4(2)∵blogan1,∴cb2,n2n11当n2时,cccn1①,cccn②,12n12n1n1①/②得c(n2),nn2n1当n1时,c2也成立,∴c,1n1n111n∴1.bcn1n1nn118.(1)用X表示6例疑似病例中化验呈阳性的人数,则随机变量X~B6,,3602665由题意可知:P(x1)1P(x0)1C.63729665答:6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为.729(2)方案二:混合一起检验,记检验次数为,则1,7.22∴P(1)t,P(7)1t,222∴E()t71t76t.方案三:每组的三个样本混合在一起化验,记检验次数为,则2,5,8.22∴P(2)t,P(5)2t(1t),P(8)(1t),22∴E()2t10t(1t)8(1t)86t,223333∵E()E(),∴86t76t,∴6t6t11,∴t,663333∴t的取值范围t.66319.(1)∵D2B,cosB,3221∴cosDcos2B2cosB11,331∵在△ACD中,AD1,CD3,cosD,32221∴由余弦定理可得ACADCD2ADCDcosD192312,AC23,33在△ABC中,BC6,AC23,cosB,32222ABBCAC3AB612∴由余弦定理可得cosB,即,2ABBC32AB62化简得AB22AB60,解得AB32.故AB的长为32.(2)设四边形ABCD面积为S,则SSS,△BAC△DAC112∵SDADCsinDDADC1cosD2,△DAC2216所以SS2BABCsinB2BABC2,△BAC263在△ABC中,AC23,cosB,∴由余弦定理可得:3222ABBCAC2ABBCcosB,2223即ABBC12ABBC2ABBC12,312∴ABBC933,232363632当且仅当∴ABBC933时,S(933),△BACmax6236323652所以S2.max2220.(1)证明:∵PA平面ABCD,MD平面ABCD,∴MDPA,∵AD//BC,BCCD,AD2,BC3,BM1,MC2AD,∴四边形ADCM为矩形.AMMN1∵,∴NAMMDADMC,∴DMCANM90,∴DMAN,ADAM2∵PAANA,PA,AN平面PAN,∴MD平面PAN,∵PN平面PAN,∴PNMD.(第一问直接用向量法,也相应给分)(2)连接BD交AM于点E,连接QE.BEME1∵△BME△DAE,∴,EDEA2∵PD//平面AQM,PD平面PBD,平面AQM平面PBDQE,BQBM1∴QE//PD,∴,BPBN3如图建立空间直角坐标系,则1222A0,0,0,M1,0,0,P0,0,2,N1,,0,B1,1,0,Q,,,D0,2,0,2333由(1)知MD平面PAN,则MD1,2,0为平面PAN的一个法向量.222∵AM1,0,0,AQ,,,333设平面QAM的一个法向量为mx,y,z,x0mAM0则222,取m0,1,1,mAQ0xyz0333mMD02010设平面QAM与平面PAN所成锐二面角为,∴cos,mMD25510∴平面QAM与平面PAN所成锐二面角的余弦值为.5221.(1)根据题意抛物线C的方程为y2pxp0,p则MFn2,2pn4,解得p2,n1,22所以抛物线C的标准方程为y4x.(2)由题意知,F1,0,直线m的斜率不为0,可设直线m的方程为xty1,2y4x2联立方程得,消去x并化简得y4ty40,xty1设Ax,y,Bx,y,Px,y,则yy4t,yy4.11220012122y4x11因为A,P两点在抛物线C上,所以,2y4x00yy4401所以k,同理可得k,则12xxyyyy010102444y1y22y04y1y22y044t2y0kk2,1222y1y0y2y0y1y0y2y0y1y2y0y1y2y044ty0y022所以8t4y44tyy,即y(4t4)y8t40*,0000022因为(4t4)4(8t4)16t20,所以方程*有两个不同的解,故满足kk2的点P的个数为2.12122.(1)∵f(x)的定义域为0,,f'(x)x2a.x∵函数f(x)是0,上的增函数,11∴f'(x)x2a2x2a22a0,∴a1.xx∴实数a的取值范围是a1.(2)(i)∵g(x)x(lnx22ax)0,∴lnx22ax0(x0)的两个根为x,x.12不妨设xx0,21lnx122ax1lnx2lnx1∴,∴2ax2x1lnx2lnx1.∴a,lnx222ax22x2x11要证:xx,12ax2212x2x12x2x1x2x1只需证xxlnxlnxln.1221lnx2lnx1x1x2x1x21x1x2(t1)2令t1,F(x)lnt(t1).xt112(t1)∴F'(t)0在t1,恒成立,∴F(x)在t1,为增函数,∴F(x)f10,2t(t1)1∴xx.12ax2(ii)∵x3x0,∴t3,21x1lnx22ax11∵,∴lnx2lnx142ax2x1,lnx22ax22x21lnxlnxxx2112∴lnxlnx4xx,∴lnxx4ln,211212x2x1x21x1x11t2lnt(t1)t令G(x)lnt(t3),∴G'(t)(t3),2t1(t1)21(t1)令h(t)tlnt(t3),∴h'(t)0,2tt1t2lntt∴h(x)在t1,为增函数,∴h(x)h(3)h(1)0,∴G'(t)0,2(t1)∴G(x)在t3,为增函数,∴G(x)G(3)2ln3ln9.99∴lnxlnx4ln9,∴lnxxln,∴xx,21124124ee96∴xx2xx2,121242ee6∴xx.122e
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