广东省省实、广雅、执信、二中、六中五校2020-2021学年高二上学期期末联考试题 数学答案

2020-2021学年度第一学期省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高二年级数学科期末考试答案一、选择题（每题5分，共60分。其中1--10单选；11、12多选：选对5分，漏选3分，错选0分）123456789101112AADACBBDCCABCAD二、填空题（每题5分，共20分）13.a1或a314.0或615.2616.2三、解答题（共70分）17.（本小题12分）2c－a2sinC－sinA解：(1)由正弦定理，则＝，······1分bsinBcosA－2cosC2sinC－sinA所以＝，cosBsinB即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．······2分sinC因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.······3分因此＝2.······4分sinA(2)由sinC＝2，得c＝2a.······5分由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝1，b＝2，sinA4得4＝a2＋4a2－4a2×1.······7分解得a＝1，从而c＝2.······8分4115因为cosB＝，且0<B<π，······9分所以sinB＝，······10分44111515因此S＝acsinB＝×1×2×＝······12分224418.（本小题12分）2（1）由频率分布表可得b0.04······1分50[80,90)内的频数为500.084,∴a508204216······2分16∴[60,70)内的频率为0.32500.32∴x0.032······3分10∵[90,100]内的频率为0.040.04∴y0.004······4分101 由题意，80%分位数在[70,80]组内，······5分则（0.016+0.032）×10+（t-70）×0.04=0.80······6分解得t=78∴估计t的最小值为78分······7分（3）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,设第4组的4人分别为a1、a2、a3、a4；第5组的2人分别为b1、b2······8分从中任取2人的所有基本事件为：a1,a2,a1,a3,a1,a4,a1,b1,a1,b2,a2,a3,a2,a4,a2,b1,a2,b2,a3,a4,a3,b1,a3,b2,a4,b1,a4,b2,b1,b2共15个.······9分至少一人来自第5组的基本事件有：a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,a4,b1,a4,b2b1,b2共9个.·10分93所以P······11分155.3∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.······12分519.（本小题10分）22aa82221（1）an是等差数列，设其公差为d，因为an1an8n，所以22，··2分aa163222a1dd8a11a11所以2，解得或(舍).······4分2ad3d16d2d21所以an1n122n1.即an的通项公式为an2n1.······5分a1n（2）由（1）知2an22n12n4，······6分，即2S2a12a22an14424n所以······7分n22 n1414······8分214n241.······10分3n241所以S.n320.（本小题12分）（1）证明：连接BE，AB//CD，ADDC，CD2，E为CD的中点，ABAD1，四边形ABED是边长为1的正方形，······1分且BEEC．如图，取AE的中点M，连接PM，BM，CM，2APPE1，PMAE，且AE2，PMAM．2MBEEBC45，BMBC．······2分MCBM2BE2EC2(2)2121210．······3分22PC3，PM2，MC10，PM2MC2PC2，······4分22得PMMC．AEMCM，PM平面ABCE．······5分PM平面PAE，平面PAE平面ABCE；······6分（2）解：由（1）知，PM平面ABCE，BEEC，且BEEC1．PBPM2BM21，PBE为正三角形且边长为1．······8分11设点C到平面PBE的距离为d，则VPBECSBECPMSPBEd，······9分3311132BEECPMBEd，······10分32341121326即111d，解得d．······11分3223433 6点C到平面PBE的距离为．······12分3（其它解法对应给分）21.（本小题12分）解：（1）设椭圆焦距为2cc0，b2c2a2c1由，解得a2，b3.a2a2b2722xy椭圆E的标准方程为1.······4分43（2）由题意直线AP、BP斜率存在且均不为0，设直线AP方程为ykxr，Mx,y，Nx,y1122ykxr22222由x2y2得，34kx8krx4kr120.······5分1432228kr4kr12xx，xx.①······6分12212234k34kyykxrkxr2kxxkrxx12121212又kk,②······7分OMONxxxxxx1212126k从而①代入②得kk.······8分OMON22kr31又APBP，以替代k，以r替代r，k6k同理可得kk,······10分OSOT22r3k6k6k,2222kr3r3k22k1r30对k0恒成立，解得r3或r3（舍），······11分经检验，此时0，因此存在r3.······12分22.（本小题12分）22解：（1）不等式gx0，即4ax4ax30a02ax12ax30······1分4 13131.当a0时，，则有x或x.······2分2a2a2a2a13312.当a0时，，则有x或x.······3分2a2a2a2a13综上，当a0时，不等式解集为：xx或x；2a2a31当a0时，不等式解集为：xx或x.······4分2a2a21（2）依题意，函数fx2ax1logax2，函数f(x)在区间[0，]上有一个aa21零点等价于方程2ax1logax2在区间[0，]上恰有一个根.······5分aa2设函数y1(2ax1)和函数y2logaax2，1则两函数图象在区间0,上恰好有一个交点.a21函数y2ax1关于x对称，······6分12a1在0,上有最小值0，a1x0,时，y11，y1[0,1].······7分a函数y2logaax2，令(x)logaax2当0a1时，由复合函数单调性知(x)logaax2单调递减，······8分1当x0,时，(x)(0)loga20，a21所以函数y12ax1和函数y2logaax2的图象在区间0,上无交点.····9分a当a1时，由复合函数单调性知xlogax2单调递增，如图，a5 1由图可知，当(0)1，()1时，函数图象恰好有1个交点，a此时loga31loga2，解得2a3，······10分1因为yx+在[1,+)上单调递增，······11分x11515所以a2，即a的最小值为.······12分a22a26