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高一数学上学期期中期末考试精选50题提升解析版

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期中解答题精选50题(提升版)1.(2020·湖北沙市中学)已知函数是定义在上的奇函数,且.(1)确定函数的解析式;(2)用定义证明在上是增函数:(3)解关于x的不等式.【答案】(1);(2)证明见详解;(3)【分析】(1)由已知条件得到关于的方程组,解方程组即可求出解析式;(2)设;作差法判断,然后根据定义即可判断;(3)利用函数的奇偶性与单调性将不等式转化为一元一次不等式,解不等式即可.【详解】(1)∵函数是定义在上的奇函数∴,即,∴又∵,即,∴∴函数的解析式为(2)由(1)知令,则∵∴∴而∴,即∴在上是增函数(3)∵在上是奇函数∴等价于,即又由(2)知在上是增函数∴,即∴不等式的解集为.【点睛】对于求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).2.(2021·云南省下关第一中学高一期中)已知定义域为的单调减函数是奇函数,当时,.(1)求的值;(2)求的解析式;(3)若任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)利用函数奇函数的性质求的值;(2)利用函数是奇函数,求的解析式,即得函数的解析式;(3)利用函数是奇函数,变形为,再利用函数的单调性,解抽象不等式,利用不等式恒成立,求参数的取值范围.【详解】解:(1)因为定义域为的函数是奇函数,所以.(2)因为当时,,所以,又因为函数是奇函数,所以,所以,综上,(3)由,得,因为是奇函数,所以,又在上是减函数,所以,即对任意恒成立,令,则,由,解得,故实数的取值范围为.3.(2020·乐山外国语学校)定义在上的函数是单调函数,满足,且,(,).(1)求,;(2)判断的奇偶性,并证明;(3)若对于任意,都有成立,求实数的取值范围.【答案】(1),;(2)奇函数,证明见解析;(3).【分析】(1)令可求出,令可得,再令,可得,再结合,可求出的值;(2)令,对变形可得答案;(3)由题意将转化为在上恒成立,由在上为单调函数,且;所以可得在上是增函数,所以问题转化为在上恒成立,即在上恒成立,构造函数求出其最小值即可【详解】解:(1)取,得,即,,,又,得,可得;(2)取,得,移项得函数是奇函数;(3)是奇函数,且在上恒成立,在上恒成立,且;在上是增函数,在上恒成立,在上恒成立,令.由于,.,,即实数k的取值范围为.4.(2020·广东华南师大附中南海实验高中高一期中)已知函数,且.(1)求实数的值;(2)判断函数在上的单调性,并用定义证明;(3)求函数在上的最值.【答案】(1);(2)函数在上单调递增;证明见解析;(3)最大值为,最小值为.【分析】(1)将函数值带入解析式即可求出结果;(2)设,对做差变形判断正负,根据单调性的结论即可求出结果;(3)判断函数在上的单调性,即可求出最值.【详解】(1)因为,且,所以,故;(2)函数在上单调递增证明:由(1)知设,则因为,所以,即,因此函数在上单调递增;(3)由(1)知设,则因为,所以,即,因此函数在上单调递增;所以,,所以函数在上的最大值为,最小值为.5.(2020·广东华南师大附中南海实验高中高一期中)为鼓励大学毕业生自主创业,某市出台了相关政策,由政府协调,企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生校照相关政策投资销售一种新型节能灯,已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月的销售量(单位:件)与销售单价(单位:元)之间的关系近似满足一次函数:.(1)设他每月获得的利润为(单位:元),写出他每月获得的利润与销售单价x的函数关系式,并求出利润的最大值.(2)相关部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于元.如果他想要每月获得的利润不少于元,那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?【答案】(1),;(2).【分析】(1)每件的销售利润乘以每月的销售量即为利润,利用二次函数的性质即可求最值;(2)令可得的范围,设政府每个月为他承担的总差价为元,由一次函数的性质即可求差价的取值范围.【详解】(1)依题意可得:每件的销售利润为元,每月的销售量为件,所以每月获得的利润与销售单价x的函数关系式为:,对称轴为,开口向下,此时最大值为,所以利润与销售单价x的函数关系式,最大利润为元.(2)由每月获得的利润不小于元,得,即,解得:,这种节能灯的销售单价不得高于元,所以,设政府每个月为他承担的总差价为元,则,由可得,所以政府每个月为他承担的总差价的取值范围是元.6.(2020·江苏省西亭高级中学高一期中)已知函数是定义在上的奇函数,且.(1)求实数和的值;(2)判断函数在上的单调性,并证明你的结论;(3)若对上,都有成立,求实数的取值范围.【答案】(1),;(2)函数在上是增函数,证明见解析;(3).【分析】(1)利用和即可求得和的值;(2)利用用定义证明单调性的步骤,取值、作差、定号、下结论即可证明;(3)由奇函数可得,利用单调性脱掉转化为不等式组即可求解.【详解】(1)因为,函数是定义在上的奇函数,所以得,又因为,所以,(2)由(1)可知,设所以=因为,所以,所以,,即,所以,函数在上是增函数(3)由(2)可知函数在上是增函数,且是奇函数要使“对上,都有成立”即则不等式组对恒成立,所以对恒成立,所以因为,所以,,所以,,所以,所以,所以实数的取值范围是.7.(2020·广东华侨中学)已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求a,b的值;(2)判断f(x)在定义域R上单调性并证明(3)若对于任意,不等式恒成立,求k的范围.【答案】(1),;(2)减函数,证明见解析;(3).【分析】(1)利用奇函数的性质可得,(1),据此可求得,;(2)是上的减函数,利用定义加以证明;(3)由于是上的减函数且为奇函数,故不等式可化为所以即恒成立,即可求的取值范围.【详解】解(1)为上的奇函数,,,又(1),得,经检验,符合题意.所以,;(2)是上的减函数.证明:任取,且,因为,所以,故所以是上的减函数;(3),不等式恒成立,,又为奇函数,,为减函数,,即恒成立,而,.8.(2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一期中)已知函数()是定义在上的奇函数,且.(1)求,的值;(2)判断函数在的单调性,并证明.【答案】(1),;(2)单调递增,证明见解析.【分析】(1)由奇函数的性质及所给的值列式即可得解;(2)利用函数单调性定义通过“取值,作差,判断符号”的步骤即可作答.【详解】(1)因函数是上的奇函数,于是有,解得,即有,,解得,此时是上的奇函数,所以,;(2)函数在上单调递增,,,而,,,于是得,即,所以函数在上单调递增.9.(2020·兰州市外国语高级中学高一期中)已知函数是定义域为的单调减函数,且是奇函数,当时,(1)求的解析式;(2)解关于的不等式【答案】(1);(2)或.【分析】(1)由是定义域为的奇函数,得,,设,利用,代入可得的解析式可得答案;(2)利用奇偶性得,再利用单调性可得,解不等式可得答案.【详解】(1)因为是定义域为的奇函数,所以,,设时,则,所以,所以,所以.(2)因为是定义域为的奇函数,所以,由得,因为函数是定义域为的单调减函数,所以,解得或,所以不等式的解集为或.10.(2020·江苏泰州·)已知函数,且.(1)求的值;(2)判定的奇偶性;(3)判断在上的单调性,并给予证明.【答案】(1);(2)是奇函数;(3)在上为单调增函数,证明见解析.【分析】(1)由可求得实数的值;(2)判断出函数为奇函数,利用函数奇偶性的定义可证得结论成立;(3)判断出函数在上为增函数,任取,作差,因式分解并判断的符号,由此可证明出函数在上为增函数.【详解】解:(1)因为,所以;(2)由(1)可得,因为的定义域为,又,所以是奇函数;(3)函数在上为增函数,理由如下:任取,则,因为,所以,,所以,所以在上为单调增函数.11.(2020·杭州之江高级中学高一期中)已知函数.(1)判断的奇偶性;(2)当时,用函数单调性定义证明在上单调递减.【答案】(1)函数为奇函数;(2)证明见解析.【分析】(1)利用函数的奇偶性定义判断;(2)利用函数的单调性的定义证明.【详解】(1)函数的定义域为,∵,∴函数为奇函数.(2)证明:任取,则,,∵,∴,即,∴,即,故当时,在上单调递减.12.(2019·罗平县第二中学高一期中)设函数.(1)用函数单调性定义证明:函数在区间上是单调递减函数;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)最大值为,最小值为.【分析】(1)根据定义法步骤完成证明;(2)根据(1)的单调性可得在区间上的最大值和最小值.【详解】(1)证明:设,由题有,∵,∴,,,∴,即,∴函数在区间上是单调递减函数.(2)由(1)可知在区间上单调递减,∴的最大值为,最小值为.∴函数在区间上的最大值为,最小值为.13.(2020·三亚华侨学校高一期中)函数,(1)求证:在区间上单调递增;(2)你还能得到函数的哪些性质?【答案】(1)证明见解析(2)奇函数,值域为【分析】(1)根据函数的单调性定义求证即可;(2)可分析函数的值域,奇偶性等性质.【详解】(1)设且,则因为时,,所以,即在区间上单调递增.(2)因为,,定义域关于原点对称,且所以函数为奇函数.当时,,当时,,当且仅当时,等号成立,所以,当时,,当且仅当时等号成立,所以,当时,,综上,函数的值域为.14.(2021·四川省绵阳南山中学高一期中)已知函数(,)(1)若关于的不等式的解集是,求实数,的值;(2)若,函数,,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)若函数在区间上有两个零点,求的取值范围.【答案】(1),;(2);(3).【分析】(1)由的解集知,的两根为和,根据韦达定理求得参数值.(2)由题意得,,,所以,不等式恒成立等价于在恒成立.通过讨论x的值,分离参数在恒成立,根据函数单调性,求得最值,从而求得k的取值范围.(3)方程在区间有两个不同的实根,应满足条件,把条件中的b用和a表示,从而解得的取值范围.【详解】(1)因为的解集为,所以的两根为和,由韦达定理得,所以,.(2)由题意得,,,所以,因为在恒成立,所以在恒成立.①当时,满足题意,②当时,在恒成立,即,因为在单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以,,所以;(3)因为方程在区间有两个不同的实根,所以,所以,所以,由,由得,得,综上所述:.所以的取值范围是.15.(2021·四川雅安中学高一期中)(1)解这个关于x的不等式.(2)若不等式对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【分析】(1)按实数a与1的大小关系分类讨论求解即得;(2)时,求出的最小值得关系a的不等式,求解即可作答.【详解】(1)原不等式可化为,时,解不等式得或,时,不等式恒成立,即,时,解不等式得或,综上:时解集为或,时解集为R,时解集为或;(2)因时,,当且仅当时取“=”,又不等式对任意实数x恒成立,即有,解得,所以实数a的取值范围.16.(2020·广东华南师大附中南海实验高中高一期中)已如命题:"恒成立"是真命题,(1)求实数的取值集合;(2)设不等式的解集为,若,求实数的取值范围.【答案】(1);(2)【分析】(1)利用二次函数的图像列不等式,即可求得;(2)比较3a和a+2的大小,分类讨论,根据列不等式,求出a的范围.【详解】(1)因为命题:"恒成立"是真命题,所以解得.故.(2)因为,所以解方程可得或①若时,则.若,则,解得;②若,即a=1,则,显然,符合题意;③若,则若,则,无解.综上,或a=1,即实数的取值范围17.(2020·云南昭通市第一中学)已知,,求的取值范围.【答案】【分析】先把转化为,利用不等式的可乘性和同向不等式相加即可求得.【详解】设,则有:,解得:,所以.因为,所以,因为,所以,所以,即,18.(2020·江苏省板浦高级中学高一期中)(1)若,求的最小值及对应的值;(2)若,求的最小值及对应的值.【答案】(1)最小值为5,;(2)最小值为,.【分析】(1)化简,再利用基本不等式求解;(2)化简,再利用基本不等式求解.【详解】(1)因为,所以,当且仅当即时等号成立,函数取最小值5;(2)当且仅当即时等号成立,函数取最小值.19.(2019·贵阳市清镇养正学校高一期中)若不等式的解集是.(1)解不等式;(2)当的解集为R时,求b的取值范围.【答案】(1)或;(2).【分析】(1)先利用不等式的解集判断符号和的二根,求得参数a,再解一元二次不等式即可;(2)先根据题意判断不等式恒成立,再利用二次函数图象特征可知判别式,即解得结果.【详解】解:(1)因为不等式的解集是,所以,且和是方程的两根,由根与系数关系得,解得,则不等式,即为,所以,解得或,所以不等式的解集为或;(2)由(1)知,不等式,即,因为不等式的解集为,则不等式恒成立,所以,解得,所以的取值范围为.20.(2020·大连市第一中学)已知命题,命题()(1)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围;(2)若,且命题与有且只有一个为真命题,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)先解不等式,再利用逆否命题的等价性将“是的必要不充分条件”转化为“是的必要不充分条件”,由此列不等式组,解不等式组即可;(2)根据命题与有且只有一个为真命题,分真假和假真求解.【详解】解不等式,得,命题:;解不等式,得,命题:;(1)若是的必要不充分条件,则由逆否命题知,是的必要不充分条件,有,解得或.所以实数的取值范围为.(2)当时,:因为命题与有且只有一个为真命题当真假时,由得,;当假真时,由得,或.综上可知,实数的取值范围为21.(2020·扬州市邗江区蒋王中学高一期中)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调査,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】(1)40;(2)a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.【分析】(1)设每件定价为x元,可得提高价格后的销售量,根据销售的总收人不低于原收入,建立不等式,解不等式可得每件最高定价;(2)依题意,x>25时,不等式有解,等价于x>25时,有解,利用基本不等式,可以求得a.【详解】(1)设每件定价为t元,依题意得,整理得,解得:25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意知:当x>25时,不等式有解,等价于x>25时,有解.由于,当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.22.(2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高一期中)已知二次函数.(1)若关于的不等式的解集是.求实数的值;(2)若,解关于的不等式.【答案】(1),;(2)答案见解析.【分析】(1)根据题意可知和是方程的两根,结合韦达定理列方程组即可求解;(2)时,原不等式即,可化为,讨论相应方程的两根和的大小即可得不等式的解集.【详解】(1)因为关于的不等式的解集是所以和是方程的两根,所以解得:,(2)当时,即可化为,因为,所以所以方程的两根为和,当即时,不等式的解集为或,当即时,不等式的解集为,当即时,不等式的解集为或,综上所述:当时,不等式的解集为或,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为或.23.(2021·全国)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解关于x的不等式:ax2-(ac+b)x+bx<0.【答案】(1)a=1,b=2;(2)答案见解析.【分析】(1)根据不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},由a>0,且方程ax2-3x+2=0的两个根是1和b求解;(2)根据a=1,b=2,得到不等式为x2-(c+2)x+2x<0,即x(x-c)<0,再分.c>0,c=0,c<0讨论求解.【详解】(1)∵不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},∴a>0,且方程ax2-3x+2=0的两个根是1和b.由根与系数的关系,得解得a=1,b=2.(2)∵a=1,b=2,∴ax2-(ac+b)x+bx<0,即x2-(c+2)x+2x<0,即x(x-c)<0.∴当c>0时,解得0<x<c;当c=0时,不等式无解;当c<0时,解得c<x<0.综上,当c>0时,不等式的解集是(0,c);当c=0时,不等式的解集是∅;当c<0时,不等式的解集是(c,0).24.(2020·深圳科学高中高一期中)某企业采用新工艺,把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?【答案】(1)该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低;(2)该单位每月不能获利,国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.【分析】(1)由题意列出该单位每月每吨的平均处理成本的函数表达式,利用基本不等式求解即得;(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数,整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.【详解】(1)由题意可知:,于是得每吨二氧化碳的平均处理成本为,由基本不等式可得:(元),当且仅当,即x=400时,等号成立,所以该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低;(2)该单位每月的获利f(x)=100xx2+300x-80000,因300≤x≤600,函数f(x)在区间[300,600]上单调递减,从而得当x=300时,函数f(x)取得最大值,即=f(300)=-35000,所以,该单位每月不能获利,国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.25.(2020·上海闵行·古美高中)迎进博,要设计的一张矩形广告,该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目,这三栏的面积之和为60000,四周空白的宽度为10,栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5.(1)试用栏目高与宽()表示整个矩形广告面积;(2)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸,能使整个矩形广告面积最小,并求最小值.【答案】(1);(2)当广告矩形栏目的高为,宽为时,可使广告的面积最小为.【分析】(1)由题意知,所以,表示出广告的面积;(2)由(1)可得,利用基本不等式可得出广告面积的最小值.【详解】(1)由栏目高与宽(),可知,广告的高为,宽为(其中)广告的面积(2)由,所以当且仅当,即时取等号,此时.故当广告矩形栏目的高为,宽为时,可使广告的面积最小为.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其满足的三个条件:“一正、二定、三相等”:(1)“一正”:就是各项必须为正数;(2)“二定”:就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.26.(2020·三亚华侨学校高一期中)(1)已知,均为正实数,且,求的最小值.(2)已知,,均为正实数,且,求证:.【答案】(1);(2)证明见详解.【分析】(1)利用基本不等式即可证明,注意取得等号的条件;(2)注意到,故只要证明即可.【详解】(1),两边同时除以,得到,于是,当且仅当,且取等号,即时,的最小值是.(2)注意到,故下只需证即可,当且仅当,且时,,于是得证.27.(2020·江苏高一期中)已知不等式的解集是,不等式的解集是.(1)求;(2)若关于的不等式的解集是,求的解集.【答案】(1);(2)【分析】(1)先解不等式求出集合,,再进行交集运算即可求解;(2)由一元二次方程的实数根与不等式解集的关系可得的值,再解一元二次不等式即可求得答案.【详解】(1)由可得:,解得,所以,由可得:,解得:,所以,所以(2),所以关于的不等式的解集是,所以和是方程的两个根,由根与系数的关系可得:,解得:,所以不等式即为,所以,解得:,所以原不等式的解集为.28.(2018·北京市十一学校高一期中)已知,命题:对任意,不等式恒成立;命题:存在,使得成立.(1)若为真命题,求的取值范围;(2)当时,若为真,为假,求的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)由为真命题,若,只需恒成立,即可求的取值范围;(2)若为真时,结合已知条件:讨论真假、假真,分别求得的范围,取并集即可.【详解】解:(1)对任意,不等式恒成立,令,则,当时,,即,解得.因此,当为真命题时,的取值范围是.(2)当时,若为真命题,则存在,使得成立,所以;故当命题为真时,.又∵,中一个是真命题,一个是假命题.当真假时,由,得;当假真时,有或,且,得.综上所述,的取值范围为.【点睛】关键点点睛:(1)函数不等式在闭区间内恒成立,有求参数范围.(2)由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合,并求对应参数范围取并集即可.29.(2020·天津河西·高一期中)已知,且.(1)求的取值范围;(2)求的最小值,并求取得最小值时的值.【答案】(1);(2),时,取得最小值9.【分析】(1)由已知结合基本不等式即可求解;(2)由已知可利用表示,代入所求式子后进行分离,然后结合基本不等式可求.【详解】(1),当且仅当时取等号,,解得或(舍),故.(2)∵,且,∴,∴,∴,当且仅当即时取等号,此时取得最小值9.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.30.(2020·南京市第十四中学高一期中)已知集合,.(1)求集合;(2)请在:①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的实数存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.若是成立的___________条件,判断实数是否存在?(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)【答案】(1),;(2)答案见解析.【分析】(1)根据一元二次不等式的解法求解即可得答案;(2)选:①充分不必要条件,则集合是集合的真子集,再根据集合关系求解即可;选:②必要不充分条件,则集合是集合的真子集,再根据集合关系求解即可;选:③充要条件,则,再根据集合关系求解即可;【详解】解:(1)不等式,故,不等式,由于,故(2)选:①充分不必要条件由(1)知,,因为若是成立的充分不必要条件,所以集合是集合的真子集;所以,解得,所以实数的取值范围为:选:②必要不充分条件由(1)知,,因为若是成立的必要不充分条件,所以集合是集合的真子集;所以,解得,又因为,故所以实数的取值范围为:;选:③充要条件由(1)知,,因为若是成立的充要条件,所以,所以,方程组无解.所以不存在实数使得是成立的充要条件;【点睛】结论点睛:本题考查充分不必要条件的判断,一般可根据如下规则判断:(1)若是qq的必要不充分条件,则对应集合是对应集合的真子集;(2)若是qq的充分不必要条件,则对应集合是对应集合的真子集;(3)若是qq的充分必要条件,则对应集合与对应集合相等;(4)若是qq的既不充分又不必要条件,则对应的集合与对应集合互不包含.31.(2018·北京一零一中学双榆树校区高一期中)设集合.(1)若,求实数的值;(2)若,求实数的取值范围【答案】(1)或;(2)【分析】(1)根据,可知B中有元素2,带入求解即可;(2)根据得,然后分和两种情况进行分析可得实数的取值范围.【详解】(1)集合,若,则是方程的实数根,可得:,解得或,当时,满足题意;当时,满足题意;所以实数的值为或;(2)∵,∴,当时,方程无实数根,即解得:或;当时,方程有实数根,若只有一个实数根,或;当时,满足题意;当时,不满足题意;所以.若只有两个实数根,则,故,无解.综上可得实数的取值范围是:.【点睛】关键点睛:本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用,将条件转化为是解决本题的关键.32.(2019·河北师范大学附属中学)已知集合,集合.(1)若,求实数的取值范围;(2)若不存在实数使,同时成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2)或.【分析】(1)分和两种情况讨论,结合可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围;(2)由题意可得,分和两种情况讨论,结合已知条件可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围.【详解】(1)当,即时,,故符合题意;当且时,有,解得.综上可知,的取值范围是;(2)因为不存在实数使得且,所以.当时,有;当且时,有或,解得.故实数的取值范围是或.【点睛】易错点点睛:在利用集合的包含关系以及集合运算求参数时,不能忽略对含参数的集合为空集的情况的讨论,从而导致解题不完整.33.(2020·龙海市程溪中学)已知,,.(1)若是的充分条件,求实数的取值范围;(2)若,命题、其中一个是真命题,一个是假命题,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)由是的充分条件,可得出,可得出关于正实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围;(2)求出,分真假和假真两种情况讨论,求出两种不同情况下的取值范围,综合可求得结果.【详解】解:解不等式,解得,即.(1)是的充分条件,是的子集,故,解得:,所以的取值范围是;(2)当时,,由于命题、其中一个是真命题,一个是假命题,分以下两种情况讨论:①真假时,,解得;②假真时,,解得或.所以实数的取值范围为.【点睛】结论点睛:本题考查利用充分条件求参数,一般可根据如下规则求解:(1)若是的必要不充分条件,则对应集合是对应集合的真子集;(2)是的充分不必要条件,则对应集合是对应集合的真子集;(3)是的充分必要条件,则对应集合与对应集合相等;(4)是的既不充分又不必要条件,则对应集合与对应集合互不包含.34.(2020·北京海淀·清华附中高一期中)已知集合A为数集,定义.若,定义:.(1)已知集合,,,求,的值;(2)若.求证:;求的最大值.【答案】(1),;(2)①证明见解析;②16【分析】(1)根据定义直接计算即可;(2)①可得,根据,可证;②由可得.【详解】(1),,,,;(2)①由题可得,,,,,即,,即,得证;②,当且仅当时等号成立,当且时,有最大值为16.【点睛】关键点睛:本题考查集合的基本运算,新定义的应用,解题的关键是能根据定义得出,进而根据集合的关系可求解.35.(2019·上海市嘉定区封浜高级中学高一期中)设集合,且,求实数的取值范围.【答案】【分析】由题意,可得是集合的子集,按集合中元素的个数,结合根与系数之间的关系,分类讨论即可求解.【详解】由题意,可得是集合的子集,又,当是空集时,即方程无解,则满足,解得,即,此时显然符合题意;当中只有一个元素时,即方程只有一个实数根,此时,解得,则方程的解为或,并不是集合的子集中的元素,不符合题意,舍去;当中有两个元素时,则,此时方程的解为,,由根与系数之间的关系,可得两根之和为5,故;当时,可解得,符合题意.综上的取值范围为.36.(2019·上海市金山中学高一期中)设数集由实数构成,且满足:若(且),则.(1)若,则中至少还有几个元素?(2)集合是否为双元素集合?请说明理由.(3)若中元素个数不超过,所有元素的和为,且中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合.【答案】(1)中至少还有两个元素;(2)不是双元素集合,答案见解析;(3).【分析】(1)由(且),则,结合可计算得出集合中的元素;(2)由,逐项可推导出,,结合集合元素满足互异性可得出结论;(3)由(2)中有三个元素为、、(且),设中还有一个元素,可得出,,由已知条件列方程求出、的值,即可求得集合中的所有元素.【详解】(1),.,.,.中至少还有两个元素为,;(2)不是双元素集合.理由如下:,,,由于且,,则,则,可得,由,即,可得,故集合中至少有个元素,所以,集合不是双元素集合.(3)由(2)知中有三个元素为、、(且),且,设中有一个元素为,则,,且,所以,,且集合中所有元素之积为.由于中有一个元素的平方等于所有元素的积,设或,解得(舍去)或或.此时,,,,由题意得,整理得,即,解得或或,所以,.【点睛】关键点点睛:本题考查集合中元素相关的问题,解题时要结合题中集合满足的定义推导出其它的元素,以及结合已知条件列方程求解,同时注意集合中元素满足互异性.37.(2020·上海市南洋模范中学高一期中)已知集合,,.(1)若,求实数a的值;(2)若,求实数m的取值范围.【答案】(1)或;(2).【分析】(1)先求解出方程的根,则集合可知,再求解出的根,则可确定出集合,根据得到,从而可求解出的可取值,则的值可求;(2)根据得到,分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况,由此确定出的取值.【详解】(1)由得或,所以,由得或,所以,因为,所以,所以或,所以或;(2)因为,所以,当的时,,解得,当时,,无解,当时,,解得,当时,,无解,综上,实数m的取值范围是.【点睛】结论点睛:根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系:(1)若,则有;(2)若,则有.38.(2020·湖南邵阳市·新宁崀山实验学校)已知集合,集合(1)若,求a的取值范围.(2)若命题“”为真命题,求实数a的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据,讨论,然后计算即可.(2)根据题意讨论,计算即可.【详解】(1)由题可知:当时,符合,则当时,由,则故(2)由命题“”为真命题当时,,符合题意当时,则或所以【点睛】易错点点睛:这道题两问都需要注意,是任意集合的子集.39.(2020·黄梅国际育才高级中学高一期中)已知集合,.(1)当a=2时,求;(2)若___________,求实数a的取值范围.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在(2)问中的横线上,并求解.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)【答案】(1);(2)若选择①;若选择②;若选择③.【分析】(1)当a=2时,得出集合,求得集合,根据集合的并集运算可得答案;(2)若选择①,则,分集合A是空集和不是空集两种情况讨论得实数a的取值范围;若选择②,则A是的子集,分集合A是空集和不是空集两种情况讨论得实数a的取值范围;若选择③,分集合A是空集和不是空集两种情况讨论得实数a的取值范围.【详解】(1)当a=2时,集合,,所以;(2)若选择①,则,当,即时,,满足题意;当时,应满足,解得;综上知:实数a的取值范围;若选择②,则A是的子集,,当,即时,,满足题意;当时,应满足,或,解得或,综上知:实数a的取值范围;若选择③,当,即时,,满足题意;当时,应满足,或,解得或,综上知:实数a的取值范围;【点睛】易错点睛:本题容易忽略集合A是空集的情况,导致出错:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.40.(2020·上海财经大学附属中学高一期中)已知集合(为实数).(1)求;(2)若,求的值;(3)若,实数的取值范围.【答案】(1),(2),;(3)【分析】(1)依题意,再解一元二次不等式即可得解;(2)依题意与为方程的两根,根据根与系数的关系得到方程组,解得即可;(3)依题意任取,,所以,参变分离可知对任意的成立,再利用基本不等式计算可得;【详解】解:(1)因为,所以,因为,即,解得或,即;(2)因为,且,所以与为方程的两根,所以,解得(3)因为,所以任取,,所以,即对任意的成立,又因为,当且仅当,即时取等号,所以,,所以,即41.(2020·吉林江城中学)设a,b为正实数,且.(1)求的最小值;(2)若,求ab的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据条件利用均值不等式求出,从而可以再次利用均值不等式求的最小值;(2)根据条件得到;把等式变形为,两式结合即可求出的值.【详解】(1)因为a,b为正实数,所以,即,当且仅当时等号成立,所以,当且仅当时等号成立,所以的最小值为.(2)因为,所以,因为,所以,即,因为,所以,即,所以.42.(2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中)已知,,.(1)当时,求的最小值;(2)当时,求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由解得,得到,变形后利用基本不等式可求得结果;(2)利用将化为积为定值的形式后,再用基本不等式可求得结果.【详解】(1)当时,,,显然,所以,由,得,所以,当且仅当,时等号成立,所以的最小值为.(2)当时,由得,得,所以,当且仅当时,等号成立.所以的最小值为.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.43.(2020·泰州市第二中学)设函数.(1)若,且关于的不等式的解集是,解不等式;(2)若,解关于的不等式;(3)若在区间上的最大值是,且,求的取值范围.【答案】(1)(2)当时,不等式,解集为空集.当时,不等式,解集为,当时,不等式,解集为;(3)【分析】(1)根据条件可得是方程的两个实数根,由韦达定理可求出的值,再解不等式得出答案.(2)将条件代入可得,比较与1的大小进行分类讨论得出答案.(3)由条件可得,即,则,由,可得,从而可得出的范围,即可得出答案.【详解】(1)当时,不等式的解集是,则是方程的两个实数根.所以,所以所以不等式化为,即也即,解得故不等式的解集为(2)若时,当时,,解集为空集.当时,,则,即所以不等式的解集为:当时,,则,即所以不等式的解集为:综上:当时,不等式,解集为空集.当时,不等式,解集为当时,不等式,解集为(3)由在区间上的最大值是,且所以,即,则,由,可得,即又,由,可得所以,则,所以所以,所以的范围是【点睛】关键点睛:本题考查根据二次不等式的解集求参数和解二次不等式即求范围,解答本题的关键是由在区间上的最大值是,得到,即,则,由,可得,即,从而得出,属于中档题.44.(2020·泰州市第二中学)(1)已知正数满足,求的最小值;(2)已知,求函数的最大值.【答案】(1)8;(2)-1【分析】(1)运用基本不等式由,可求得的最小值;(2)原式可变形为,运用基本不等式可求得的最大值.【详解】(1)因为正数,满足,所以,得,当且仅当时,即时取等号,则的最小值为8;(2)因为,所以,所以当且仅当,即时取等号,所以的最大值为-1.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.45.(2020·上海市嘉定区第一中学高一期中)已知.(1)试比较与的大小;(2)当时,证明:,并指出等号成立的条件;(3)判断“”是“”的什么条件?并说明理由.【答案】(1);(2)证明见解析,等号成立的条件;(3)分非必要条件,理由见解析【分析】(1)作差、分解因式、然后判断差的符号,进而可得结论;(2)由,可得,展开后利用基本即可得答案;(3)根据基本不等式等号成立的条件可得充分性成立,根据基本不等式等号成立的条件可得必要性不成立.【详解】(1)()=因为,所以;大于等于;(2)因为,所以=,当时等号成立;时等号成立,因为所以.所以,当且仅当时等号成立.(3)因为,所以,时等号成立;,时等号成立.因为,所以,,把,代入式中,等号成立,所以“”是“”充分条件;化简得,所以,把带入后得.所以“”是“”充分非必要条件.46.(2021·江苏高一期中)已知定义域为的函数是奇函数,且指数函数的图象过点.(Ⅰ)求的表达式;(Ⅱ)若方程,恰有个互异的实数根,求实数的取值集合;(Ⅲ)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【分析】(Ⅰ)先利用已知条件得到的值,再利用奇函数得到,进而得到的值,经检验即可得出结果;(Ⅱ)先利用指数函数的单调性判断的单调性,再利用奇偶性和单调性得到,把在恰有个互异的实数根转化为在恰与轴有两个交点,求解即可;(Ⅲ)先利用函数为上的减函数且为奇函数,得到,把问题转化为对任意的恒成立,令,利用二次函数的图像特点求解即可.【详解】(Ⅰ)由指数函数的图象过点,得,所以,又为上的奇函数,所以,得,经检验,当时,符合,所以;(Ⅱ),因为在定义域内单调递增,则在定义域内单调递减,所以在定义域内单调递增减,由于为上的奇函数,所以由,可得,则在恰有个互异的实数根,即在恰与轴有两个交点,则,所以实数的取值集合为.(Ⅲ)由(Ⅱ)知函数为上的减函数且为奇函数,由,得,所以,即对任意的恒成立,令,由题意,得,所以实数的取值范围为:.【点睛】关键点睛:利用函数的奇偶性求解析式,(Ⅱ)把问题转化为在恰与轴有两个交点的问题;(Ⅲ)把问题转化为对任意的恒成立是解决本题的关键.47.(2020·安徽省宣城市第二中学高一期中)已知函数的定义域为集合A,函数的定义域为集合B,(1)当时,求;(2)设命题,命题,的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2)或【分析】(1)分别求两个集合,再求;(2)根据的充分不必要条件可知Ü,转化为子集问题,根据端点值列不等式求的取值范围.【详解】(1),得,解得:,所以,当时,,当,解得:或,所以或所以或.(2),即,解得:或,所以或,由题意可知Ü,所以或,得或.【点睛】结论点睛:本题考查充分不必要条件的判断,一般可根据如下规则判断:(1)若是的必要不充分条件,则对应集合是对应集合的真子集;(2)是的充分不必要条件,则对应集合是对应集合的真子集;(3)是的充分必要条件,则对应集合与对应集合相等;(4)是的既不充分又不必要条件,对的集合与对应集合互不包含.48.(2020·武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)高一期中)已知函数,且的解集为.(1)求的解析式;(2)设,在定义域范围内若对于任意的,使得恒成立,求M的最小值.【答案】(1);(2).【分析】(1)代入方程的根,求得参数值.(2)使不等式恒成立,根据函数单调性求得函数的最值,从而求得参数的值.【详解】解:(1)由题意解得(2)由题意当当令,当,当取等号,当当取等号,综上,【点睛】关键点点睛:利用函数单调性研究函数带参最值问题.49.(2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中)已知函数.(1)判断的奇偶性,并给出理由;(2)当时,①用定义证明函数在区间上是单调增函数;②若存在,使得不等式成立,求实数的取值范围.【答案】(1)当时,为偶函数,当时,为非奇非偶函数,理由见解析,(2)①证明见解析,②或【分析】(1)分和两种情况讨论,利用奇偶函数的定义判断可得结果;(2)①按照取值、作差、变形、判号、下结论5个步骤证明即可;②利用定义判断出函数在区间上的单调性,利用单调性求出函数在上的最小值,再将不等式能成立转化为最值成立,解不等式即可得解.【详解】(1)当时,为偶函数,理由如下:因为的定义域为,且,所以为偶函数;当时,为非奇非偶函数,理由如下:因为,即,所以不是奇函数,因为,即,所以不是偶函数,所以为非奇非偶函数.(2)当时,,①任取,则,因为,所以,,,,所以,即,所以函数在区间上是单调增函数;②任取,则,因为,,,,所以,即,所以函数在区间上为单调递减函数,又由①知函数在区间上是单调增函数,所以函数在上的最小值为,若存在,使得不等式成立,则,即,得,得或.【点睛】结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:①若在上恒成立,则;②若在上恒成立,则;③若在上有解,则;④若在上有解,则.50.(2020·河北英才国际学校高一期中)已知函数.(1)证明函数在上是增函数;(2)求在上的最值.【答案】(1)证明见解析;(2)最大值,最小值.【分析】(1)用定义法证明函数在某区间上的单调性.(2)利用函数在某区间上为增函数求最值.【详解】(1)证明:任取,且,,因为,所以,,,所以,.所以函数在上是增函数.(2)由(1)知,在上是增函数,又,所以在上是增函数,的最大值为,最小值为.</x<c;当c=0时,不等式无解;当c<0时,解得c<x<0.综上,当c>

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-06-10 21:18:05 页数:62
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文章作者:138****3419

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