人教版高二数学上学期期中解答题精选50题(压轴版)解析版
资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。
期中解答题精选50题(压轴版)1.(2020·四川成都市·北大附中成都为明学校高二期中)已知圆C过点且圆心在直线上(1)求圆C的方程(2)设直线与圆C交于A、B两点,是否存在实数a使得过点P(2,0)的直线垂直平分AB?若存在,求出a值,若不存在,说明理由.【答案】(1)x2+y2-6x+4y+4=0(2)不存在实数【详解】(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0则有解得∴圆C的方程为:x2+y2-6x+4y+4=0(2)设符合条件的实数存在,由于l垂直平分弦,故圆心必在l上.所以l的斜率,而,所以.把直线ax-y+1=0即y=ax+1.代入圆的方程,消去,整理得.由于直线交圆于两点,故,即,解得.则实数的取值范围是.由于,故不存在实数,使得过点的直线l垂直平分弦.2.(2020·四川省渠县中学高二期中(理))已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.【答案】(1);(2)2.【详解】(1)由题意可得,直线l的斜率存在,设过点A(0,1)的直线方程:y=kx+1,即:kx-y+1=0.由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R=1.故由,解得:.故当,过点A(0,1)的直线与圆C:相交于M,N两点.(2)设M;N,由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程,可得,∴,∴,由,解得k=1,故直线l的方程为y=x+1,即x-y+1=0.圆心C在直线l上,MN长即为圆的直径.所以|MN|=23.(2018·天津河东区·高二期中(理))△ABC中,A(3,-1),AB边上的中线CM所在直线方程为:6x+10y-59=0,∠B的平分线方程BT为:x-4y+10=0,求直线BC的方程.【答案】.试题解析:设则的中点在直线上,则,即…………………①,又点在直线上,则…………………②联立①②得,,有直线平分,则由到角公式得,得的直线方程为:.4.(2020·新泰中学高二期中)已知圆和(1)求证:圆和圆相交;(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.【答案】(1)见解析;(2)【详解】(1)圆的圆心,半径,圆的圆心,半径两圆圆心距所以,圆和相交;(2)圆和圆的方程相减,得,所以两圆的公共弦所在直线的方程为,圆心到直线的距离为:故公共弦长为5.(2019·北京海淀区·高二期中)已知抛物线C:x2=−2py经过点(2,−1).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=−1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)见解析.【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程:可得:,故抛物线方程为:,其准线方程为:.(Ⅱ)很明显直线的斜率存在,焦点坐标为,设直线方程为,与抛物线方程联立可得:.故:.设,则,直线的方程为,与联立可得:,同理可得,易知以AB为直径的圆的圆心坐标为:,圆的半径为:,且:,,则圆的方程为:,令整理可得:,解得:,即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.6.(2019·安徽铜陵一中高二期中)已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A,与y轴交于点O和点B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.【答案】(1)证明见解析(2)圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5【详解】(1)证明:因为圆C过原点O,所以OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,所以S△OAB=OA·OB=×|2t|×||=4,即△OAB的面积为定值.(2)因为OM=ON,CM=CN,所以OC垂直平分线段MN.因为kMN=-2,所以kOC=.所以t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时,圆心C到直线y=-2x+4的距离d=<,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=.圆C与直线y=-2x+4不相交,所以t=-2不符合题意,舍去.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.7.(2019·眉山外国语学校高二期中(理))在平面直角坐标系中,点,直线,圆.(1)求的取值范围,并求出圆心坐标;(2)有一动圆的半径为,圆心在上,若动圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.【答案】(1)的取值范围为,圆心坐标为;(2).【详解】(1)由于方程表示的曲线为圆,则,解得,所以,实数的取值范围是,圆心的坐标为;(2)由于点在直线上,且该点的横坐标为,则点的坐标为,由可知,点为线段的垂直平分线上一点,且线段的垂直平分线方程为,所以,直线与圆有公共点,由于圆的圆心坐标为,半径为,则有,即,解得,因此,实数的取值范围是.8.(2018·湖北高二期中(文))已知圆.(1)若直线过原点且不与轴重合,与圆交于,,试求直线在轴上的截距;(2)若斜率为的直线与圆交于两点,求面积的最大值及此时直线的方程.【答案】(1)(2)最大值为,或【详解】解:(1)圆,设直线,联立,则有:,故,则,故直线,令,得为直线在轴上的截距(2)设直线的方程:,则圆心到直线的距离为弦长,则面积为.当且仅当,即时的最大值为,此时解得或直线的方程为或9.(2017·北京东城·高二期中(理))如图所示,四边形ABCD是边长为3的正方形,平面ABCD,,,BE与平面ABCD所成角为.求证:平面BDE;求二面角的余弦值;设点是线段BD上的一个动点,试确定点的位置,使得平面BEF,并证明你的结论.【答案】(1)见解析(2)(3)M的坐标为(2,2,0),见解析【详解】(1)证明:∵平面,平面,,∴,又∵是正方形,∴,,∵,∴平面.(2),,两两垂直,所以建立如图空间直角坐标系,∵与平面所成角为,即,而,由,可知:,∴.则,,,,,∴,,设平面的法向量为,则,即,令,则.因为平面,所以为平面的法向量,∵,所以.因为二面角为锐角,故二面角的余弦值为.(3)依题意得,设,则,∵平面,∴,即,解得:,∴点的坐标为,此时,∴点是线段靠近点的三等分点.10.(2017·湖北宜昌市·高二期中(理))四棱锥中,底面为矩形,,为的中点.(1)证明:;(2)设,三棱锥的体积,求二面角DAEC的大小【答案】(1)见解析(2)试题解析:(1)连结BD交AC于点O,连结EO因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点又E为的PD的中点,所以EO//PBEO平面AEC,PB平面AEC,所以PB//平面AEC(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系A—xyz,三棱锥的体积,则A(0,0,0),D(0,,0),B(,0,0),E(0,,),C(,,0),则=(0,,),=(,,0),设为平面ACE的法向量,则即令,得,,则又为平面DAE的法向量,,如图可得二面角为锐角,所以二面角为11.(2019·江苏高二期中(理))如图,在正四棱柱中,,,点是的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1).(2).详解:在正四棱柱中,以为原点,、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.因为,,,所以,,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为.(2),设平面的一个法向量为.则,得,取,得,,故平面的一个法向量为.于是,所以直线与平面所成角的正弦值为.12.(2021·威远中学校(理))如图,已知平面ACD,平面ACD,为等边三角形,,F为CD的中点.求证:平面BCE;求二面角的余弦值的大小.【答案】(1)见解析(2).【详解】设,以,所在的直线分别作为轴、轴,以过点在平面内和垂直的直线作为轴,建立如图所示的坐标系,,,,,.∵为的中点,∴.(1)证明,,,∴,平面,∴平面.(2)设平面的一个法向量,则,即,不妨令可得.设平面的一个法向量,则,即,令可得.于是,.故二面角的余弦值为.13.(2019·兴宁市第一中学高二期中)如图,四棱锥的底面是正方形,,点在棱上.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)当且为的中点时,求与平面所成的角的大小.【答案】(1)见解析(2)【详解】(1)证明:∵底面ABCD是正方形∴AC⊥BD又PD⊥底面ABCDPD⊥AC所以AC⊥面PDB因此面AEC⊥面PDB(2)解:设AC与BD交于O点,连接EO则易得∠AEO为AE与面PDB所成的角∵E、O为中点∴EO=PD∴EO⊥AO∴在Rt△AEO中OE=PD=AB=AO∴∠AEO=45°即AE与面PDB所成角的大小为45°14.(2020·江北区·重庆十八中高二期中)已知点和点关于直线:对称.(1)若直线过点,且使得点到直线的距离最大,求直线的方程;(2)若直线过点且与直线交于点,的面积为2,求直线的方程.【答案】(1)(2)或【详解】解:设点则,解得:,所以点关于直线:对称的点的坐标为(1)若直线过点,且使得点到直线的距离最大,则直线与过点的直线垂直,所以,则直线为:,即.(2)由条件可知:,的面积为2,则的高为,又点C在直线上,直线与直线垂直,所以点到直线AB的距离为.直线方程为,设,则有,即或又,解得:或则直线为:或15.(2020·四川高二期中(理))已知圆C:,直线l:.(1)若圆C截直线l所得弦AB的长为,求m的值;(2)若,直线l与圆C相离,在直线l上有一动点P,过P作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,且的最小值为.求m的值,并证明直线MN经过定点.【答案】(1);(2),证明见解析.【详解】(1)圆C的圆心,半径,由弦AB的长为得:点C到直线l的距离为,又,,解得:;(2),由(1)知点C到直线1的距离,,时,的值最小,即的最小值为,由已知得,解得,,解得或0,,,当时,直线l的方程为,设,以CP为直径的圆记为圆D,则圆D的方程为,即①,圆C的方程为②,由②-①得③,M、N两点为圆C和圆D的公共点,③即为直线MN的方程,③变形得,由,解得,所以,直线MN经过定点.16.(2020·湖北高二期中)已知圆;(1)若圆的切线在轴,轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆外一点向该圆引一条切线,切点为为坐标原点,且有,求的最小值.【答案】,;(2).【详解】解:(1)圆的方程为,若切线的截距为时,设直线方程为,由,得:,切线方程为,若切线的截距不为时,设直线方程为,由,得:,切线方程为,综上所述:切线方程为,;(2)由条件知:,,,化简得:,从而,所以当,时,取得最小值为.17.(2020·嘉祥县第一中学高二期中)古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点,则满足的动点的轨迹记为圆.(1)求圆的方程;(2)若点,当在上运动时,记的最大值和最小值分别为和,求的值.(3)过点向圆作切线,切点分别是,求直线的方程.【答案】(1);(2);(3).【详解】(1)设点,由,且得,整理得,所以圆的方程为(2)由,设得,而,当时,取得最小值;,当时,取得最大值,所以.(3)设切点,则,直线方程为:,整理得,同理可得直线方程为:,由直线均过点,则,即点都在直线上,所以直线的方程为.18.(2020·山东)已知点,关于原点对称,点在直线上,,圆过点,且与直线相切,设圆心的横坐标为.(1)求圆的半径;(2)已知点,当时,作直线与圆相交于不同的两点,,已知直线不经过点,且直线,斜率之和为,求证:直线恒过定点.【答案】(1)r=1或r=3(2)证明见解析【详解】(1)∵圆M过点A,B,圆心M在AB的垂直平分线上,由已知点A在直线x+y=0上,且点A,B关于原点O对称,点M在直线y=x上,则点M的坐标为(a,a).∵圆M与直线x+1=0相切,圆M的半径为,连接MA,由已知得,又,故可得,整理得:,解得a=0或a=2,故圆M的半径为r=1或r=3.(2)由a<2,得a=0,则圆M的方程为.设点,当直线的斜率存在时,设直线:联立方程组,消元得则又直线PM,PN斜率之和为,,得.代入,可得直线方程,直线l恒过定点(2,-1),当直线l的斜率不存在时,因为直线PM,PN斜率之和为,,但,且,故不合题意,舍去.综上,直线l恒过定点(2,-1).19.(2020·四川省南充高级中学高二期中(理))已知圆M与直线相切于点,圆心M在x轴上.(1)求圆M的标准方程;(2)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A,B两点,O为坐标原点,直线,分别与直线相交于C,D两点,记,的面积为,,求的最大值.【答案】(1);(2).【详解】(1)由题可知,设圆的方程为,由直线与圆相切于点,得,解得,,∴圆的方程为;(2)由题意知,,设直线的斜率为,则直线的方程为,由,得,解得或,则点A的坐标为,又直线的斜率为,同理可得:点B的坐标为由题可知:,,∴,又∵,同理,∴.当且仅当时等号成立.∴的最大值为.20.(2020·永丰县永丰中学高二期中(文))在平面直角坐标系中,过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点,与圆交于点.(1)若直线斜率为2,求弦长;(2)若的中点为E,求面积的取值范围.【答案】(1);(2).【详解】(1)直线斜率为2,则直线方程为所以点到直线的距离,(2)当直线的斜率不存在时,的面积;当直线的斜率存在时,设为,则直线,当时,直线的方程为,经过圆心,此时不存在,舍去;当时,直线,由得,所以.因为,所以.因为E点到直线的距离即M点到直线的距离,所以的面积.令,则,所以,因为,所以,所以,综上可得,面积的取值范围是.21.(2020·江苏省苏州中学园区校)在平面直角坐标系中,圆,直线,直线.(1)已知为直线上一点,①若点在第一象限,且,求过点圆的切线方程;②若存在过点的直线交圆于点,且B恰为线段的中点,求点横坐标的取值范围;(2)设直线与轴交于点,线段的中点为,为圆上一点,且,直线与圆交于另一点,求线段长的最小值.【答案】(1)①或;②;(2).【详解】(1)①设,因为,所以,解得,因为点P在第一象限,所以,则,当切线斜率存在时,设直线方程为,即,由圆心到直线的距离相等得,解得,所以切线方程是,当斜率不存在时,,综上:过点圆的切线方程为或;②设,,因为B恰为线段的中点,则,所以,因为点A,B都在圆上,所以即,所以两圆有公共点,所以,解得,所以点P的横坐标的取值范围是(2)设,因为点R在圆上,且,所以。解得,所以RM的方程为,由,解得,又,所以,当,即时,.22.(2021·湖南娄底一中高二期中)已知点,曲线C上任意一点P满足.(1)求曲线C的方程;(2)设点,问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E,F,无论直线l如何运动,x轴都平分∠EDF,若存在,求出Q点坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)存在,.【详解】(1)设点的坐标为,因为,可得,整理得,即曲线的方程为.(2)①如果斜率不存在,直线垂直于x轴,此时与圆交于两点,可得这些直线都是平行的,不可能经过同一点,不符合题意.②设存在定点Q满足条件,设直线的方程为,设,联立方程组,整理得,可得,无论直线如何运动,轴都平分∠EDF,可得,所以,可得,所以,所以,整理得,可得,所以,可得直线经过定点,所以存在过定点的直线与曲线C相交于不同两点E,F,无论直线l如何运动,轴都平分∠EDF.23.(2018·江苏常州市·高二期中)已知圆:(),定点,,其中为正实数.(1)当时,判断直线与圆的位置关系;(2)当时,若对于圆上任意一点均有成立(为坐标原点),求实数的值;(3)当时,对于线段上的任意一点,若在圆上都存在不同的两点,使得点是线段的中点,求实数的取值范围.【答案】(1)相离.(2),.(3)【详解】解:(1)当时,圆心为,半径为,当时,直线方程为,所以,圆心到直线距离为,因为,所以,直线与圆相离.(2)设点,则,,∵,∴,,…………由得,,∴,代入得,,化简得,…………因为为圆上任意一点,所以,………又,解得,.…………………(3)法一:直线的方程为,设(),,因为点是线段的中点,所以,又都在圆:上,所以即……………………因为该关于的方程组有解,即以为圆心,为半径的圆与以为圆心,为半径的圆有公共点,所以,,又为线段上的任意一点,所以对所有成立.而在上的值域为,所以所以.………又线段与圆无公共点,所以,∴.故实数的取值范围为.……………法二:过圆心作直线的垂线,垂足为,设,,则则消去得,,直线方程为点到直线的距离为且又为线段上的任意一点,…,,故实数的取值范围为.24.(2019·浙江)已知圆M的圆心在直线:上,与直线:相切,截直线:所得的弦长为6.(1)求圆M的方程;(2)过点的两条成角的直线分别交圆M于A,C和B,D,求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】(1)设圆M的方程为:则,解得:,∴所求圆方程为(2)解法1:如图作,,令,,或当时,,因、、、四点共圆,由正弦定理,∴,又,∴,,,当且仅当时取等,当时,,∴,又,所以,综上所述,四边形面积的最大值为.解法2:(当且仅当时取等号),要使得,则直线PM应是的平分线,当时,圆心M到直线AC、BD的距离为,则,.当时,圆心M到直线AC、BD的距离为,则,.综上所述,四边形面积的最大值为.25.(2019·浙江省柯桥中学高二期中)如图,在平面直角坐标系中,已知点,圆:与轴的正半轴的交点是,过点的直线与圆交于不同的两点.(1)若直线与轴交于,且,求直线的方程;(2)设直线,的斜率分别是,,求的值;(3)设的中点为,点,若,求的面积.【答案】(1)(2)-1(3)【详解】(1)设,求出,,则或6,结合直线圆的位置关系可知,一定满足,,此时直线的方程为:;当时,,,直线的方程为:,圆心到直线距离(舍去);(2)设直线的方程为:,联立可得:,设,则,①,则,②将①代入②化简可得,即;(3)设点,由点,,可得,化简得,③又,④④式代入③式解得或,由圆心到直线的距离,故,此时,圆心到直线距离,则,直线方程为:,,到直线的距离,则26.(2020·浙江宁波·高二期中)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接(Ⅰ)证明:.试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(Ⅱ)若面与面所成二面角的大小为,求的值.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【分析】(解法1)(Ⅰ)因为底面,所以,由底面为长方形,有,而,所以.而,所以.又因为,点是的中点,所以.而,所以平面.而,所以.又,,所以平面.由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.(Ⅱ)如图1,在面内,延长与交于点,则是平面与平面的交线.由(Ⅰ)知,,所以.又因为底面,所以.而,所以.故是面与面所成二面角的平面角,设,,有,在Rt△PDB中,由,得,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时,.(解法2)(Ⅰ)如图2,以为原点,射线分别为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设,,则,,点是的中点,所以,,于是,即.又已知,而,所以.因,,则,所以.由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.(Ⅱ)由,所以是平面的一个法向量;由(Ⅰ)知,,所以是平面的一个法向量.若面与面所成二面角的大小为,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时,.27.(2020·黑龙江佳木斯一中高二期中(文))如图,在棱长为2的正方体中,,,,分别是棱,,,的中点,点,分别在棱,上移动,且.(1)当时,证明:直线平面;(2)是否存在,使面与面所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析;(2).试题解析:以为原点,射线,,分别为,,轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得,,,,,,,则,,,,.(1)当时,,因为,所以,即,又平面,且平面,故直线平面.(2)设平面的一个法向量为,则由,得,于是可取.设平面的一个法向量为,由,得,于是可取.若存在,使面与面所成的二面角为直二面角,则,即,解得,显然满足.故存在,使面与面所成的二面角为直二面角.28.(2018·太原市·山西大附中高二期中(理))如图,由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中,,平面平面(I)求证:;(II)若M为中点,求证:平面;(III)在线段BC上(含端点)是否存在点P,使直线DP与平面所成的角为?若存在,求得值,若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)不存在这样的点P.【详解】(I)由,根据面面垂直的性质得到平面,从而可证明;(II)由于,建立空间直角坐标系,利用的方向向量与平面的法向量数量积为零可得平面;(III)由(II)可知平面的法向量,设,利用空间向量夹角余弦公式列方程可求得,从而可得结论.详解:证明:(I)在直三棱柱中,∵平面∴∵平面平面,且平面平面∴平面∴(II)在直三棱柱中,∵平面,∴又,建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得,,,,,设平面的法向量∵∴令则∵为的中点,∴∵∴又平面,∴平面(III)由(II)可知平面的法向量设则若直线DP与平面所成的角为,则解得故不存在这样的点P,使得直线DP与平面所成的角为29.(2018·山东青岛·高二期中)如图几何体中,等边三角形所在平面垂直于矩形所在平面,又知,//.(1)若的中点为,在线段上,//平面,求;(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值;(3)若中点为,,求在平面上的正投影.【答案】(1);(2);(3)在平面上的正投影为.【详解】(1)设的中点,连接,因为;所以四点共面,又因为平面,面,平面平面所以;所以.(2)设的中点为,的中点为,连接;因为为等边三角形,所以又因为平面平面,平面平面,所以面设,分别以为轴建立空间直角坐标系,则,,,,则,设为平面的法向量,则,;得,,所以.同理得平面的法向量所以,,所以又因为,所以(3)由(2)知易证:平面,所以又因为,所以又因为在中,,,,所以,所以平面,所以在平面上的正投影为.30.(2020·黑龙江佳木斯一中高二期中(文))如图,直三棱柱中,,,为的中点.(I)若为上的一点,且与直线垂直,求的值;(Ⅱ)在(I)的条件下,设异面直线与所成的角为45°,求直线与平面成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【详解】(Ⅰ)证明:取中点,连接,有,因为,所以,又因为三棱柱为直三棱柱,所以,又因为,所以,又因为所以又因为,平面,平面,所以,又因为平面,所以,因为,所以,连接,设,因为为正方形,所以,又因为所以,又因为为的中点,所以为的中点,所以.(Ⅱ)如图以为坐标原点,分别以为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设,由(Ⅰ)可知,所以,所以,所以,所以,设平面的法向量为,则即则的一组解为.所以所以直线与平面成角的正弦值为.31.(2020·辽宁大连八中高二期中)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,点、分别在线段、上,且,其中,连接,延长与的延长线交于点,连接.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若时,求二面角的正弦值;(Ⅲ)若直线与平面所成角的正弦值为时,求值.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).【详解】(Ⅰ)在线段上取一点,使得,,且,,,且,且,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面.(Ⅱ)以为坐标原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,0,,,0,,,2,,,2,,,0,,,,1,,,0,设平面的一个法向量为,,,,令,,,设平面的一个法向量为,,,,令,,,,,,二面角的正弦值为.(Ⅲ)令,,,,,设平面的一个法向量为,,,,令,,由题意可得:,,,.32.(2020·天津市咸水沽第一中学高二期中)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,侧棱底面,垂直于和,,.是棱的中点.(1)求证:面;(2)求二面角的正弦值;(3)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)答案见解析.【详解】解:(1)以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,.则,,.设平面的法向量是,则,即令,则,.于是.,.又平面,平面.(2)设平面的法向量为.则,即据此可得平面的一个法向量,设二面角的平面角大小为,易知:则,即.二面角的正弦值为.(3)假设存在满足题意的点,且:,设点N的坐标为,据此可得:,由对应坐标相等可得,故,由于平面的一个法向量,由题意可得:解得:,据此可得存在满足题意的点,且的值为.33.(2021·厦门市湖滨中学高二期中)如图1,在边长为2的菱形中,,于点,将沿折起到的位置,使,如图2.(1)求证:平面;(2)在线段上是否存在点,使平面平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)存在,且【详解】(1)证明:因为于点,所以,,,且,平面,,平面.(2)假设在线段上是否存在点,使平面平面.根据(1)建立如图所示空间直角坐标系:则,,设,则,所以,所以,设平面一个法向量为:,则,即,令,所以,设平面一个法向量为:,则,即,令,所以,因为平面平面,所以,即解得.所以在线段上是否存在点,使平面平面,且.34.(2020·和平·天津二十中高二期中)如图,在四棱锥中,底面是矩形,是的中点,平面,且,.(1)求证:;(2)求与平面所成角的正弦值;(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【详解】(1)平面,平面,.底面是矩形,,又,平面,平面,.(2)以为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示则,,设平面的法向量,则,即,令,则,.设直线与平面所成的角为,则.所以与平面所成角的正弦值为.(3).设平面的法向量,则,即,令,则..又平面的法向量.设二面角的大小为,则为锐角,,所以二面角的余弦值为.35.(2020·大连市红旗高级中学高二期中)如图所示的几何体中,和均为以为直角顶点的等腰直角三角形,,,,,为的中点.(1)求证:;(2)求二面角的大小;(3)设为线段上的动点,使得平面平面,求线段的长.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)【详解】解:依题意得,和均为以为直角顶点的等腰直角三角形,则,,所以面,又,可以建立以为原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得,,,,,,,(1)证明:由题意,,,因为,所以.(2)解:,,设为平面的法向量,则,即,不妨令,可得,平面的一个法向量,因此有,由图可得二面角为锐二面角,所以二面角的大小为.(3)解:(方法一)设,,所以,因此,令,即,解得,即为的中点,因为平面,平面,,所以当为的中点时,平面平面,此时即,,所以线段的长为.(方法二)设,,所以,因此,设为平面的法向量,则,即,不妨令,可得,因为平面平面,所以,解得:,此时即,,所以线段的长为.36.(2020·南开·天津二十五中高二期中)如图,在三棱柱中,平面,,分别是的中点(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)在棱上是否存在一点,使得平面与平面所成锐二面角为?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在.【详解】(1)取的中点,连接,交于点,可知为的中点,连接,易知四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)分别以所在的直线为轴、轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,可得,则,设平面的法向量为,则,即,令,可得,即,所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.(3)假设在棱是存在一点,设,可得,由,可得,设平面的法向量为,则,即,令,可得,即,又由平面的一个法向量为,所以,因为平面与平面所成二面角为,可得,解得,此时,符合题意,所以在棱上存在一点,使得平面与平面所成二面角为.37.(2019·江苏高二期中(理))如图,已知四棱锥的底面是菱形,对角线,交于点,,,,底面,设点满足.(1)若,求二面角的大小;(2)若直线与平面所成角的正弦值,求的值.【答案】(1)(2)【详解】解:(1)以O为坐标原点,建立坐标系,则,,,,,所以,,设,则,,所以,易知平面的一个法向量,设平面的一个法向量为,则,,所以,,由图形可得,二面角为锐角,所以二面角的大小为.(2),,设,则,,所以,设平面的一个法向量,则,令,则,,因为直线与平面所成角的正弦值,则,,解得:,.38.(2020·福建莆田一中高二期中)在四棱锥中,平面平面,底面为直角梯形,,,,为线段的中点,过的平面与线段,分别交于点,.(1)求证:;(2)若,是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,请确定点的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)存在,为的靠近点的三等分点.【详解】(1)证明:,且为线段的中点,,又,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面,又平面平面,,又,且平面平面,平面平面,平面,平面,又平面,.(2)存在,为的靠近点的三等分点.,为线段的中点,,又平面平面,平面,以为坐标原点,的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,则,,,设,得,,设平面的法向量为,则即令,可得为平面的一个法向量,设直线与平面所成角为,于是有;得或(舍),所以存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,故为的靠近点的三等分点.39.(2020·北京四中高二期中)在四棱锥中,平面平面,底面为直角梯形,,,且,,.(1)求证:平面;(2)线段上是否存在点,使得平面?如果存在,求的值;如果不存在,说明理由;(3)若是棱的中点,为线段上任意一点,求证:与一定不平行.【详解】(1)因为平面平面,平面平面,又,平面ABCD,所以平面.(2)以D为原点,以DA,DC为x,y轴,建立如图所示空间直角坐标系:则,设,则,,,设平面平面的一个法向量为,则,即,令,则,所以,设平面平面的一个法向量为,则,即,令,则,所以.若使得平面平面,则,即,解得,所以线段上存在点,使得平面.(3)假设存在点N,在线段上,使得,如图所示:连接AC,取其中点G,在中,因为M,G都是边的中点,所以,因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行,所以MG与MN重合,所以点N在线段AC上,所以N是AC,BC的交点C,即MN就是MC,而MC与PC相交,矛盾,所以假设错误,问题得证.40.(2020·江苏高二期中)如图在直棱柱中,,、AC、的中点分别为D、E、F.(1)求证平面BEF;(2)若异面直线与BF所成的角为,且BC与平面BEF所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【详解】(1)证明:由直棱柱,可得平面ABC,又E、F是AC、的中点,,平面ABC,又平面ABC,,且E是AC的中点,又,平面BEF.(2)由(1)知异面直线与BF所成的角为,即,则,由平面BEF,知BC与平面BEF所成角为,即,则,设,则如图,以F为原点建立空间直角坐标系,EC为x轴,EF为y轴,EB为z轴,,,,,,,设面的法向量为,则,令,则设面的法向量为,则,令,则所以二面角的余弦值为41.(2020·天津市咸水沽第一中学高二期中)如图,已知多面体,,,均垂直于平面,,,,.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2);【详解】(1)作于E,于D,即,,在△中,由余弦定理知:,则,∴在中,;在中,;而,,∴,即,,又,∴平面;(2)构建以中点O为原点,为x,y轴正方向,垂直于且同方向作为z轴正方向,如下图示,则,可令,∴,若为面的一个法向量,则,令,即,∴,即直线与平面所成的角的正弦值为.42.(2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中)如图,在四棱锥中,面ABCD,,且,,,,,N为PD的中点(1)求证:平面.(2)求平面与平面所成二面角的余弦值(3)在线段PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是,若存在求出的值,若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,且.【详解】(1)证明:过作,垂足为,则,如图,以为坐标原点,分別以,,为轴建立空间直角坐标系,则,,, ,,,为的中点,,则,设平面的一个法向量为,,,则,令,解得:.,即,又平面,所以平面.(2)设平面的一个法向量为,,,所以,令,解得.所以.即平面与平面所成二面角的余弦值为.(3)假设线段上存在一点,设,,.,,则又直线与平面所成角的正弦值为,平面的一个法向量,化简得,即,,,故存在,且.43.(2020·重庆市杨家坪中学高二期中)如图,平面,,点M为BQ的中点.(1)求二面角的正弦值;(2)若为线段上的点,且直线与平面所成的角为,求线段的长.【答案】(1);(2)【详解】解:(1)平面,,以为坐标原点,,,的方向为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,由题意得:,,,,,,,设平面和平面的法向量分别为,,则,即,令,即,,即,令,即,,,二面角的正弦值为;(2)设,,即,则,,由(1)知:平面的法向量为,由题意知:,即,整理得:,解得:,或,又,,,,即线段的长为.44.(2020·北京市八一中学高二期中)如图1,在中,,,别为棱,的中点,将沿折起到的位置,使,如图2,连结,(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若为中点,求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)线段上是否存在一点,使二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,.试题解析:(Ⅰ)证:因为,分别为,中点,所以//.因为,所以.所以.因为,所以.又因为=,所以平面.又因为平面,所以平面平面.(Ⅱ)解:因为,,,所以,,两两互相垂直.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,依题意有,,,,,.则,,,,,.设平面的一个法向量,则有,即,令得,.所以.设直线与平面所成角为,则.故直线与平面所成角的正弦值为.(Ⅲ)解:假设线段上存在一点,使二面角的余弦值为.设,,则,即.所以,,.易得平面的一个法向量为.设平面的一个法向量,则有,即,令,则.若二面角的余弦值为,则有,即,解得,,.又因为,所以.故线段上存在一点,使二面角的余弦值为,且.45.(2020·青岛市黄岛区教育发展研究中心高二期中)如图,在几何体中,四边形为菱形,为等边三角形,,,平面平面.(1)证明:在线段上存在点,使得平面平面;(2)求二面角的余弦值;(3)若平面,求线段的长度.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)【详解】解:(1)如图所示:取线段的中点,连接,、均为等边三角形,,平面,又平面,平面平面在线段存在中点,使得平面平面;(2)平面平面,平面平面,平面,即两两垂直,以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,设平面的一个法向量,,,,得:,令,则,设平面的一个法向量,因为,由,得:,令,则,设二面角的平面角为,,又二面角为锐二面角,二面角的余弦值为;(3),设,,,则,又平面,且平面的一个法向量为,,,.46.(2020·沙坪坝·重庆一中高二期中)图1是直角梯形ABCD,,,,,,,以BE为折痕将BCE折起,使点C到达的位置,且,如图2.(1)求证:平面平面ABED;(2)求直线与平面所成角的正弦值.(3)在棱上是否存在点P,使得二面角的平面角为?若存在,求出线段的长度,若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,.【详解】(1)证明:在图1中,连结AE,由已知条件得,∵且,∴四边形ABCE为菱形,连结AC交BE于点F,∴,又∵在中,,∴,在图2中,,∵,∴,由题意知,且∴平面ABED,又平面,∴平面平面ABED;(2)如图,以D为坐标原点,DA,分别为x,y轴,方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.由已知得各点坐标为,,,,,,所以,,,设平面的法向量为,则,,所以,即,令,解得,,所以,,记直线与平面所成角为,则.(3)假设存在,设,所以,,∵平面,易得平面的一个法向量,设平面PBE的一个法向量,由,可得,可取,则,解得,此时.47.(2020·浙江省杭州第二中学高二期中)已知四棱锥中,底面为梯形,,,,,,.(1)若为的中点,求证:平面;(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)【详解】解:(1)取中点,连接,∵为的中点,∴在中,,,∵,,∴,,∴四边形是平行四边形,∴,∵平面,平面,∴平面;(2)取中点,连接,∵,,∴,,∴四边形为平行四边形,∴,∵,∴,,∴,∵,∴,∴在中,由正弦定理得:,解得,∴,∴在中,,在中,,∴,,∴,即,∵,,∴在中,∴,即,∵,∴平面,故如图建系,,,设,由得,解得,∴,∴,设平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,∴,即,故;,即,故.∴,∴二面角的正弦值为.48.(2021·四川雅安中学高二期中(理))如图,在四棱锥中,底面为边长为2的菱形,为正三角形,且平面平面,为线段中点,在线段上.(1)当是线段中点时,求证:平面;(2)当时,求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)【详解】证明:(1)连结,交于点,连结,由底面为菱形,为中点,∵为中点,∴.又面,面,∴面.(2)∵为正三角形,为的中点,∴.又∵面面,∴面,又底面菱形,,为线段中点,以为原点,以为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,则又,即,可得,,设平面的法向量为,则,令,则由面,所以平面的法向量为,所以所以二面角的正弦值为49.(2018·上海浦东新·华师大二附中)如果从北大打车到北京车站去接人,聪明的专家一定会选择走四环.虽然从城中间直穿过去看上去很诱人,但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向,事实上不会真有人认为这样走能抄近路.在城市中,专家估算两点之间的距离时,不会直接去测量两点之间的直线距离,而会去考虑它们相距多少个街区.在理想模型中,假设每条道路都是水平或者竖直的,那么只要你朝着目标走(不故意绕远路),不管你这样走,花费的路程都是一样的.出租车几何学(taxicabgeometry),所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的.在出租车几何学中,点还是形如的有序实数对,直线还是满足的所有组成的图形,角度大小的定义也和原来一样.只是直角坐标系内任意两点,定义它们之间的一种“距离”:,请解决以下问题:(1)定义:“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形,求“圆周”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程,并作出大致图像;(2)在出租车几何学中,到两点、“距离”相等的点的轨迹称为线段的“垂直平分线”,已知点,,;①写出在线段的“垂直平分线”的轨迹方程,并写出大致图像;②求证:三边的“垂直平分线”交于一点(该点称为的“外心”),并求出的“外心”.【答案】(1);(2),若,则;若,则;若,则;②证明略,“外心”【详解】(1)“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形,“圆周”上的所有点到点的“距离”均为,“圆”方程为:;(2)①由题意知,设到两点距离相等的点的坐标为,则.(ⅰ)当时,去绝对值符号得:整理得,显然或时,该方程无解.当时,去绝对值符号得:,整理得:,解得.则此情况下,与的关系为.(ⅱ)当时,去绝对值符号得整理得当时,去绝对值符号得:即当时,去绝对值符号得:,舍去;当时,去绝对值符号得:,舍去;所以此情况下,与的关系为.(ⅲ)当时,去绝对值符号得:,整理得,显然或时,该方程无解.当时,去绝对值符号得:,解得.所以.综上所述,到两点距离相等的坐标为的点的轨迹方程,即线段的垂直平分线的方程为:当时,;当时,;当时,.②由题意知由知到点距离相等的点的坐标为满足:即,解得.故线段的垂直平分线的方程为.由知到点距离相等的点的坐标为满足:解得:.故线段的垂直平分线的方程为.则线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的唯一交点坐标为.由(2)①知,当时,即线段的垂直平分线也经过点.所以三边的“垂直平分线”交于一点,且.50.(2020·北京人大附中)已知四棱锥的底面是平行四边形,平面与直线,,分别交于点,,且,点在直线上,为的中点,且直线平面.(1)设,,,试用基底表示向量;(2)证明,四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形;(3)证明,对所有满足条件的平面,点都落在某一条长为的线段上.【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析.【详解】(1)∵,而,∴,所以.(2)不妨设是四面体最长的棱,则在,中,,,∴,即,故,至少有一个大于,不妨设,∴,,构成三角形.(3)设,,,由(1)知.又,有,,,∴,,,设,又∴因为平面,所以存在实数,使得:,∴∴,消元:在有解.当时,,即;当时,,解得.综上,有.所以对所有满足条件的平面,点都落在某一条长为的线段上.
版权提示
- 温馨提示:
- 1.
部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
- 2.
本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
- 3.
下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
- 4.
下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)