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陕西省西安市西安中学2021-2022学年高二理科数学下学期期中试题(Word解析版)
陕西省西安市西安中学2021-2022学年高二理科数学下学期期中试题(Word解析版)
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西安中学2021-2022学年度第二学期期中考试高二数学(理科)试题一、单选题(本大题共12小题,共36分)1.已知复数,则()A.B.C.D.1【1题答案】【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则,直接计算即可【详解】,所以,故选:C2.设随机变量的概率分布列为1234则()A.B.C.D.【2题答案】【答案】B【解析】【详解】试题分析: ,故选B考点:概率分布3.从5名志愿者中选出3人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作,则选派方案共有( )A.10种B.20种C.60种D.120种【3题答案】【答案】C【解析】【分析】直接根据排列的定义即可求出.【详解】解:从5名志愿者中选出3人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作,则选派方案共种.故选:.【点睛】本题考查了排列的意义及其计算公式,属于基础题.4.若展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中常数项是()A.180B.120C.90D.45【4题答案】【答案】A【解析】【分析】已知条件中只有第六项的二项式系数最大,应为偶数,可确定值,进而利用展开式即可求得常数项.【详解】如果为奇数,那么是中间两项的二项式系数最大;如果为偶数,那么是中间一项的二项式系数最大;只有第六项的二项式系数最大,展开式的通项为:令,解得:展开式中常数项是:. 故选:A.5.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1【5题答案】【答案】A【解析】【分析】先用导数的定义解出函数在x=0处的导数,进而结合导数的几何意义求得答案.【详解】由题意可知k=,又(0,b)在切线上,解得:b=1.故选:A.6.现有5人站成一排照相,其中甲、乙相邻,且丙、丁不相邻,则不同的站法有()A.12种B.24种C.36种D.48种【6题答案】【答案】B【解析】【分析】甲、乙相邻捆绑作为一全元素,丙、丁不相邻用插入法.【详解】由题意不同站法数为:.故选:B.【点睛】本题考查排列问题.涉及到相邻与不相邻问题,解题方法是相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插入法.7.如图阴影部分为曲边梯形,其曲线对应函数为,在长方形内随机投掷一颗黄豆,则它落在阴影部分的概率是 A.B.C.D.【7题答案】【答案】D【解析】【分析】通过定积分可求出空白部分面积,于是利用几何概型公式可得答案.【详解】由题可知长方形面积为3,而长方形空白部分面积为:,故所求概率为,故选D.【点睛】本题主要考查定积分求几何面积,几何概型的运算,难度中等.8.为了宣传防疫知识,某单位安排甲、乙、丙、丁4位志愿者到A,B,C三处宣讲且每处至少一人,问甲、乙不去同一地点的概率为()A.B.C.D.【8题答案】【答案】A【解析】【分析】先求出所有的方法种数,再求出甲、乙去同一地点的方法种数,利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】把甲、乙、丙、丁4位志愿者到A,B,C三处宣讲且每处至少一人,共有种.甲、乙去同一地点共有种, 所以甲、乙不去同一地点的概率为故选:A9.已知复数满足(为虚数单位),则( )A.B.C.D.【9题答案】【答案】B【解析】【分析】先计算出,再利用共轭复数及概念计算出.【详解】由于,因此,因此,故选B.【点睛】本题主要考查复数的四则运算,共轭复数的相关概念,难度不大.10.已知(1+ax)·(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=A-4B.-3C-2D.-1【10题答案】【答案】D【解析】【详解】由题意知:,解得,故选D.【考点定位】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.11.一辆汽车在平直的公路上行驶,由于遇到紧急情况,以速度(的单位:,的单位:)紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程(单位:)是()A.B.C.D.【11题答案】 【答案】B【解析】【分析】先计算汽车停止的时间,再利用定积分计算路程.【详解】当汽车停止时,,解得:或(舍去负值),所以.故答案选B【点睛】本题考查了定积分的应用,意在考查学生的应用能力和计算能力.12.已知函数在区间上的图象如图所示,则()A.B.C.2D.【12题答案】【答案】B【解析】【分析】法一:利用导函数研究出极值点,进而结合图象及极值求出的值;法二:设函数值为,使用辅助角公式及三角函数的有界性及极值列出方程,求出的值.【详解】法一:当时,设,其中,则,另外,所以,故,解得:,又因为, 所以,故选:B.法二:由,,从而,由于,所以,解得:,又从图象可以看出,即,从而,解得:,由于,故.故选:B.二、填空题(本大题共5小题,共15分)13.袋中有个黄球个白球,甲乙两人分别从中任取一球,取得黄球得分,取得白球得分,两个总分和为,则的概率是______.【13题答案】【答案】【解析】【分析】确定事件是什么事件,然后可求得其概率.【详解】表示:两个球一个是黄球,一个是白球,.故答案为:.14.i是虚数单位,+=________.【14题答案】【答案】-2【解析】 【分析】按照复数除法、乘方运算法则计算即可.【详解】+=故答案为:15.已知 ,则______.【15题答案】【答案】32【解析】【分析】根据题意得到,即可计算求解【详解】由已知得,,所以,可得,所以,故答案为:3216.如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法有_______种.(用数字作答)【16题答案】 【答案】96【解析】【详解】试题分析:由题意知本题是一个分步计数问题,第一步:涂区域1,有4种方法;第二步:涂区域2,有3种方法;第三步:涂区域4,有2种方法(此前三步已经用去三种颜色);第四步:涂区域3,分两类:第一类,3与1同色,则区域5涂第四种颜色;第二类,区域3与1不同色,则涂第四种颜色,此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色,有3种方法.所以,不同的涂色种数有4×3×2×(1×1+1×3)=96.考点:排列组合的应用.17.若函数在区间上是单调增函数,则实数的取值范围是_________.【17题答案】【答案】【解析】【分析】根据函数在区间上是单调增函数,转化为导数不小于0在区间上恒成立,分离参数,利用函数最值求解.【详解】,函数在区间上是单调增函数,所以在区间上恒成立,即在区间上恒成立,由(),所以,即,故答案为:【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式恒成立问题,二次函数最值,转化思想,属于 中档题.三、解答题(本大题共5小题,共49分)18.在一个选拔项目中,每个选手都需要进行4轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.(Ⅰ)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率;【18题答案】【答案】解:(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】【详解】(Ⅰ)设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”.由已知,,,.(Ⅰ)设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”,则(Ⅱ)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”,则19.在棱长为2正方体中,E,F分别为,CD的中点.(1)求;(2)求直线EC与AF所成角的余弦值;(3)求二面角的余弦值的绝对值.【19题答案】【答案】(1) (2)(3)【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出,再计算模长即可;(2)求出,,再计算EC与AF所成角的余弦值即可;(3)先求出平面ABCD和平面AEF的一个法向量,再计算二面角的余弦值的绝对值即可.【小问1详解】在棱长为2的正方体中,以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则,,,,,∴;【小问2详解】∵,,∴∴直线EC与AF所成角的余弦值为.【小问3详解】 平面ABCD的一个法向量为,设平面AEF的一个法向量为,∵,,∴,令,则,,则二面角余弦值的绝对值为.21.已知函数有极小值−6.(1)求的值;(2)求在上的最大值和最小值.【21题答案】【答案】(1)(2)最大值为,最小值为−6【解析】【分析】①对求导,得到单调性进而可得的极小值点,代入即可得的值.②求出极值点和端点处的函数值,比较大小即可得最大值和最小值.【小问1详解】解:,令,解得:或,令,解得,所以单调递减区间为,单调递增区间为,.则,解得.【小问2详解】由(1)知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, ,,,,所以在上的最大值为,最小值为−6.23.为了了解本学期学生参加公益劳动的情况,某校从初高中学生中抽取100名学生,收集了他们参加公益劳动时间(单位:小时)的数据,绘制图表的一部分如表:性别男69101094女51213868学段初中x81111107高中(1)从男生中随机抽取一人,抽到的男生参加公益劳动时间在的概率;(2)设参加公益劳动时间在的学生中抽取3人进行面谈.记为抽到高中的人数,求随机变量的概率分布.【23题答案】【答案】(1);(2)分布列见解析;【解析】【分析】(1)由图表直接利用随机事件的概率公式求解即可;(2)的所有可能取值为0,1,2,3,由古典概型的概率公式求概率,从而求出分布列.详解】解:(1)100名学生中共有男生48名, 其中共有29人参加公益劳动时间在,,设男生中随机抽取1人,抽到的男生参加公益劳动时间在,的事件为,则;(2)的所有可能取值为0,1,2,3,,,,,随机变量的分布列为:012324.设,.(1)求的单调区间;(2)讨论零点的个数;(3)当时,设恒成立,求实数a的取值范围.【24题答案】【答案】(1)递增区间为,单调递减区间为;(2)当时,有1个零点,当或时,有2个零点,当时,有3个零点.;(3).【解析】【分析】(1)求,解不等式得单调增区间,解不等式得单调增区间;(2)先判断是的一个零点,当时,由得,,分析 图象与交点个数即可求解;(3)通过变形构造函数,转化为该函数的最小值大于或等于0,通过研究该函数的单调性与极值,、最值即可求解.【详解】(1),当时,,单调递增,当时,,单调递减.故的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)是的一个零点,当时,由得,,,当时,递减且.当时,,且时,递减,时,递增,故,.图象如图, 当时,有1个零点当或时,有2个零点;当时,有3个零点.(3),所以:,当时,设的根为,即有,可得,,当时,,递减.当时,,递增.所以:,∴.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数单调性,考查了判断函数零点的个数的数形结合的思想,考查了不等式恒成立问题,属于中档题.
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高中 - 数学
发布时间:2022-05-12 09:00:04
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