山东省济南市历城第二中学2021-2022学年高二上学期期末模拟数学试题

山东济南历城二中2020级高二第一学期期末模拟卷2022.01.02一、单选题1．已知直线：，则直线经过哪几个象限（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．二、三、四象限D．一、三、四象限2．圆和圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切3．点M为圆：上任意一点，直线过定点P，则的最大值为（）A．B．C．D．4．若向量，向量，则（）A．B．C．D．5．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．6．定义在区间上的函数的图象如图所示，记为，，为顶点的三角形的面积为，则函数的导数的图象大致是A．B．C．D．试卷第5页，共5页 7．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则A．B．C．D．8．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为，第二行为，，第三行为，，，第四行为，，，，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（　　）A．B．C．D．二、多选题9．等差数列的前项和为，，，则（）A．B．C．当时，的最小值为D．10．已知圆：，下列说法正确的是（）A．的取值范围是B．若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为C．若，圆与圆相交试卷第5页，共5页 D．若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立11．已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（）A．数列为等比数列B．数列为等比数列C．D．12．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（）A．B．C．D．三、填空题13．函数在处的切线方程为___________.14．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数（注：对于的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数为______（注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）15．已知函数，则的值为______．16．过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，其中点试卷第5页，共5页 ，且，则__________.四、解答题17．已知函数f(x)＝alnx（a≠0）．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设g(x)＝2x2﹣mex（e＝2.718…为自然对数的底数），当ae时，对任意x1∈[1，4]，存在x2∈（1，3），使g（x1）≥f（x2），求实数m的取值范围．18．如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足.（1）求边所在直线的方程；（2）求外接圆的方程；19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．20．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.试卷第5页，共5页 21．已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线l交x轴于点A，过点A作直线交椭圆C于M，N．（1）求椭圆C的标准方程和点A的坐标；（2）若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；（3）设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线PM于QN的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．22．已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处切线的方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若，证明对任意，恒成立.试卷第5页，共5页 参考答案1．D【分析】分别求得直线的斜率和纵截距，可得直线经过的象限．【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为，所以直线经过第一、三和四象限，故选：．2．D【分析】分别求出两圆圆心坐标和半径，比较两圆圆心距和半径的关系即可作出判断.【详解】圆化为标准方程为：，圆心，半径，圆化为标准方程为：，圆心，半径，因为，，所以，所以圆和圆的位置关系是外切.故选：D．3．B【分析】先把定点P坐标求出来，，最大值为，，三点共线，且位于与之间，求解方法为连接定点与圆心的线段长加上半径即可.【详解】整理为：令，解得：，所以定点P坐标为，代入圆的方程中，，所以在圆外，因为点M为圆：答案第17页，共17页 上任意一点，设圆C的半径为r=2，所以的最大值应该为，由两点间距离公式：，所以的最大值为故选：B4．C【分析】利用向量的减法可求的坐标.【详解】，故选：C.5．A【分析】由题得，再利用基本不等式求最值得解.【详解】因为是与的等比中项，所以.所以当且仅当时取等.故选：A【点睛】答案第17页，共17页 本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．D【分析】当从运动到的过程中，面积先增加再减小，然后再增加再减小，由此求出结果．【详解】连接，，，以为底，到的距离为高．让从运动到,明显是一个平滑的变化,这样是平滑的变化．因为函数，其中上为点到直线的距离为定值，当点在时，越来越大，也越来越大，即原函数递增，故导函数为正，当点在时，越来越小，也越来越小，即原函数递减，故导函数为负，变化率的绝对值由小变大，当点在时越来越大，也越来越大，即原函数递增，故导函数为正：变化率由大变小，当点在时，越来越小，也越来越小，即原函数递减，故导函数为负．故选D．【点睛】本题考查原函数图像与导函数图像之间的关系，属于一般题．7．B【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得，由椭圆和双曲线的定义得，解得.代入，得，答案第17页，共17页 即，，即，，因此，.故选B.【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．C【分析】奇数数列，即为第1010个奇数.按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数,则第1行到第行末共有个奇数；第1行到第行末共有个奇数；则2019位于第45行；而第行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故位于第45行，从右到左第20列，则，故选C.点睛：本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.【详解】9．AC【分析】根据，由等差中项可知，从而判断出，即可判断AB，再由，化为关于的一元二次不等式即可判断C，计算的正负，即可判断D.【详解】因为，∴，∴，即.答案第17页，共17页 又，所以，A对，B错；当，解得，∴，故C对；∴，D错.故选：AC10．ACD【分析】根据圆的一般方程可判断A；利用点到直线的距离为可判断B；利用两圆心的距离与两圆半径之间的关系可判断C；利用基本不等式可判断D.【详解】对于A，方程表示圆可得，解得，故A正确；对于B，若，可得圆方程：，过的直线与圆相交所得弦长为，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，，满足条件，故B不正确；对于C，，圆心，半径，圆，圆心为，半径，两圆心的距离为，两圆相交，故C正确；对于D，直线恒过圆的圆心，可得.，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD.答案第17页，共17页 11．ABD【分析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB．求出数列前几项，验证后判断C，求出前20项和可判断D，【详解】因为，所以，又，所以是等比数列，A正确；同理，而，所以是等比数列，B正确；若，则，但，C错；由A是等比数列，且公比为2，因此数列仍然是等比数列，公比为4，所以，D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系，从而得证新数列的性质．而对称错误的结论，可以求出数列的某些项进行检验．12．BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故，答案第17页，共17页 故不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正确.对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.答案第17页，共17页 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.13．【分析】利用导数可求得切线斜率，结合可得切线方程.答案第17页，共17页 【详解】，，又，所求切线方程为：，即.故答案为：.14．1092【分析】由题意分析，传染模型为一个等比数列，可解.【详解】由题意：所以第六轮的传染人数为所以前六轮被传染的人数为.故答案为：1092【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；15．【分析】先对函数求导，然后令代入导函数中求出的值，从而可求出函数解析式，进而可求出的值【详解】由，得，令，则，解得，所以，答案第17页，共17页 所以，故答案为：16．【分析】利用抛物线的定义求出的值，可得出抛物线的方程，设点，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得.【详解】因为抛物线的准线为，点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为.设，由点在抛物线上，可得，由抛物线的对称性不妨设，又，所以直线的斜率，所以直线的方程为，代入抛物线方程得，所以，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．17．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）m．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论．（2）分别求出函数g（x1）和f（x2）的最小值，利用参数分离法进行求解即可．【详解】答案第17页，共17页 （1）函数f(x)的定义域为（0，+∞），，①当a＞0时，由得x＞2a，即f(x)的单调递增区间是（2a，+∞）；由得0＜x＜2a，即单调递减区间是（0，2a）．②当a＜0时，由得x＞﹣6a，即f(x)的单调递增区间是（﹣6a，+∞）；由得0＜x＜﹣6a，即单调递减区间是（0，﹣6a）．（2）当ae时，由（1）知，函数f(x)在（﹣6a，+∞）上递增，在（0，﹣6a）上递减，即当x＝﹣6a＝e∈（1，3）时，函数取得极小值，同时也是最小值f（e）＝alnee．若对任意x1∈[1，4]，存在x2∈（1，3），使g（x1）≥f（x2），即等价为g（x1）e即可，由2x2﹣mexe得2x2e≥mex，即，设h(x)，则h′(x)，由h′(x)＝0，得x＝1，或x＝1（舍），即当1＜x＜1时，h′(x)＞0，函数h(x)递增，当1x＜4时，h′(x)＜0，函数h(x)递减，则当x时，h(x)取得极大值同时也是最大值，∵h（1），h（4），∴h（1）＜h（4），即函数h(x)的最小值为h（1），答案第17页，共17页 则m．18．（1）；（2）.【分析】（1）由，得到为，结合直线的方程，求得直线的斜率，进而求得边所在直线的方程；（2）由（1）边所在直线的方程为，联立方程组求得，根据，得到为外接圆的圆心，进而求得圆的标准方程.【详解】（1）由，可得，又由在上，所以，所以为，因为边所在直线的方程为，斜率为,所以直线的斜率为，又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，即.（2）由（1）边所在直线的方程为，联立方程组，可得，因为，所以为斜边上的中点，即为外接圆的圆心，又由，所以外接圆的方程为.19．（1）；（2）【分析】(1)设数列是公比为的等比数列,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(2)求得,运用数列的分组求和法,结合等差数列和等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】答案第17页，共17页 (1)设数列的公比为,因为,,成等差数列,所以,又因为,所以,即,所以或(舍去),所以;(2)由(1)知,,所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式和求和公式的运用,考查数列的分组求和,难度不大.20．（1）见解析；（2）【分析】（1）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，即可证明平面；（2）求出直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值，即可得出答案.【详解】（1）证明：如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则则，设为平面的一条法向量，则，可取，答案第17页，共17页 因为，所以，又平面，所以平面；（2）解：设直线与平面所成的角为，，则，所以直线与平面所成的角的正弦值为.21．（1），；（2）；（3）与的交点恒在直线上，理由见解析．【分析】（1）根据题意，列出方程组，结合，求得的值，得出椭圆的标准方程，又由抛物线，求得准线方程，即可求得的坐标；答案第17页，共17页 （2）设，则，联立方程组，求得的坐标，即可求得直线的方程；（3）设，得到，联立方程组，求得，得到，再由直线和的方程，求得交点的横坐标，即可求解．【详解】（1）由题意，椭圆过点，离心率为，可得且，又由，解得，即椭圆的方程为，又由抛物线，可得准线方程为，所以．（2）设，则，联立方程组，解得，当时，可得直线；当时，可得直线，所以直线的方程为．（3）设，可得，设，联立方程组，整理得，所以，则，又由直线，，交点横坐标为，所以与的交点恒在直线上．【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：答案第17页，共17页 对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．22．（1）；（2）在和内是增函数，在内是减函数；（3）见解析【分析】（1）当时，求得，进而得到，利用直线的点斜式方程，即可求解；（2）求得函数的导数，三种情况分类讨论，即可求解．（3）把，转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【详解】（1）当时，则函数，则，则，曲线在点处切线的方程为，即.（2）由函数，则，令，，，又，①若，，当变化时，，的变化情况如下表：+0-0+极大值极小值所以在区间和内是增函数，在内是减函数.②若，，当变化时，，的变化情况如下表：答案第17页，共17页 +0-0+极大值极小值所以在和内是增函数，在内是减函数.（3）因，所以在内是减函数，因为不妨设，则.于是，等价于，即，令，因在内是减函数，故，从而在内是减函数，∴对任意，有，即，∴当时，对任意，恒成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．答案第17页，共17页 答案第17页，共17页